高三第三次调研数学含答案Word文件下载.docx
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11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为▲．
12．已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为▲．
（-5，0）
13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且，则实数a的值为▲．
【答案】3或-2
14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：
平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，
求证：
DE∥平面ABC1．
解：
（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，
故B1C⊥BC1．………………………………………………………………………2分
又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，
故B1C⊥平面ABC1．5分
因B1C平面BCC1B1，
故平面ABC1⊥平面BCC1B1．7分
（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．
又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．
因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，
故DF∥面ABC1．…………………10分
同理，EF∥面ABC1．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC1．………………………………………………………………12分
因DE平面DEF，
故DE∥面ABC1．……………………………………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
已知函数（其中A，，为常数，
且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，求的值．
（1）由图可知，A=2，……………………………………………………………2分
T=，故，所以，f（x）=．……………………………………4分
又，且，故．
于是，f（x）=．…………………………………………………………7分
（2）由，得．…………………………………………9分
所以，
…………………………12分
=．……………………………………14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．
①求k1k2的值；
②求OB2+OC2的值．
（1）方法一
依题意，c=，a2=b2+3，………………………………………………………2分
由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4．
故所求椭圆方程为：
．
离心率e=．……………………………………………………………………5分
方法二
由椭圆的定义知，2a=
=4，
即a=2．……………………………………………………………………………2分
又因c=，故b2=1．下略．
（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（-x1，-y1），
于是k1k2====．…………………8分
②方法一
由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=．
所以，（x1x2）2=（-4y1y2）2，即（x1x2）2==，
所以，=4．……………………………………………………………………11分
又2==，故．
所以，OB2+OC2==5．…………………………………………14分
由①知，k3k4=k1k2=．
将直线y=k3x方程代入椭圆中，得．……………………9分
同理，．
所以，==4．……………………11分
下同方法一．
18．（本小题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°
的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：
内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；
△OAB区域为文化展示区，AB长为m；
其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．
（1）设，
在△中，，
即，……………………………………………………2分
，…………4分
所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．
答：
当都为50m时，△的周长最大．6分
（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．
过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，
则分别为AB，CD的中点，
所以，由，得．8分
在△中，．
又在△中，，故．10分
=
，．…………12分
（一直没有交代范围扣2分）
令
，，
又y=及y=在上均为单调递减函数，
故在上为单调递减函数．
因＞0，故＞0在上恒成立，
于是，在上为单调递增函数．………14分
所以当时，有最大值，此时S有最大值为．
当时，梯形面积有最大值，且最大值为m2．…16分
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）若，求Sn；
（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？
若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；
若不存在，说明理由；
（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：
0≤Sn＜2．
（1）当an=时，bn==．………………………………………2分
所以，Sn=．………………………………………4分
（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．
证明：
在中，令n=1，得b3=b1．
设an=，则bn=．…………………………………………………6分
由b3=b1，得．
若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．…………………8分
若q，则，即q2=1，矛盾．
综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=．10分
（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．
所以，≥0，n=1，2，3，…．
所以，Sn=b1+b2+…+bn≥0．…………………………………………………………13分
又，=
=≤．
故，Sn=b1+b2+…+bn≤
==＜2．
所以，0≤Sn＜2．…………………………………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数（a∈R）．
（1）若a=2，求函数在（1，e2）上的零点个数（e为自然对数的底数）；
（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；
（3）若有两零点x1，x2（x1＜x2），求证：
2＜x1+x2＜-1．
（1）由题设，=，故在（1，e2）上单调递减．……………………2分
所以在（1，e2）上至多只有一个零点．
又＜0，故函数在（1，e2）上只有一个零点．……………4分
（2）=，令=0，得x=1．
当x＞1时，＜0，在上单调递减；
当0＜x＜1时，＞0，在（0，1）上单调递增，
故=f
（1）=a-1．………………………………………………………6分
①当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；
……………8分
②当＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不合题设；
③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；
另一方面，＜1，≤2a-ea＜0（易证：
ex≥ex），
于是，f（x）有两零点，不合题设．
综上，a的取值集合为{1}．…………………………………………………………10分
（3）证：
先证x1+x2＞2．
依题设，有a==，于是．
记=t，t＞1，则，故．
于是，x1+x2=x1（t+1）=，x1+x2-2=．
记函数g（x）=，x＞1．
因＞0，故g（x）在上单调递增．
于是，t＞1时，g（t）＞g
（1）=0．
又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．……………………………………………………………13分
再证x1+x2＜-1．
因f（x）=0h（x）=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h（x）的两零点．
由=a-1-lnx=0，得x=（记p=）．
仿
（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有
作函数h（x）=，则≥0，故h（x）单调递增．
故，当x＞p时，h（x）＞h（p）=0；
当0＜x＜p时，h（x）＜0．
于是，ax1-1=x1lnx1＜．
整理，得＞0，
即，＞0．
同理，＜0．
故，＜，
，
于是，．
综上，2＜x1+x2＜-1．………………………………………………………16分
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（本小题满分10分）
如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．
求证：
PA·
AH=PC·
HB．
证：
连AC，AB．
因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．
又AH⊥PB，故AH2=CH·
HB，即．………………………………5分
因PA为圆O的切线，故∠PAC=∠B．
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°
．
在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°
所以，∠HAC=∠B．
所以，∠PAC=∠CAH，
所以，，即．
所以，，即PA·
HB．…………………………………………10分
B．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．
因，，，
即．……………………………………………………6分
故．………………………………………………………………10分
C．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．
由，得，
即直线l的方程为．……………………………………………………3分
由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，………6分
所以，圆心到直线的距离，由，则．………………10分
D．（本小题满分10分）
已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：
因a＞b＞c＞d，故a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0．
故
，……………6分
所以，．…………………………………………………10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，．
（1）求与面所成角的正弦值；
（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，
求的值．
（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系D-xyz．
设，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），
A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．2分
（1）设与面所成角的大小为，
设平面的法向量为n=（x，y，z），
，，则，即．
令，则，所以，，
所以与平面所成角的正弦值为．…………………………6分
（2）设E（1，0，），0≤≤2．
设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），
由，得，
令，则，，，
令z2=1，则x2=2，y2=-2，，，
所以，得．所以．……………………………10分
23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；
如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E（X2）；
（2）求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
（1）由题意可知X2=3，4，5．
当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P（X2=3）==；
当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P（X2=4）==；
当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P（X2=5）==．……3分
所以随机变量X2的概率分布如下表：
X2
3
4
5
P
（一个概率得一分不列表不扣分）
数学期望E（X2）=．………………………………5分
（2）设P（Xn=3+k）=pk，k=0，1，2，3，4，5．
则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E（Xn）=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．
P（Xn+1=3）=，P（Xn+1=4）=p0+p1，P（Xn+1=5）=p1+p2，P（Xn+1=6）=p2+p3，
P（Xn+1=7）=p3+p4，P（Xn+1=8）=p4+p5，………………………7分
所以，E（Xn+1）
=3×
p0+4×
（p0+p1）+5×
（p1+p2）+6×
（p2+p3）+7×
（p3+p4）+8×
（p4+p5）
=p0+p1+p2+p3+p4+p5
=（3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5）+p0+p1+p2+p3+p4+p5
=E（Xn）+1．…………………9分
由此可知，E（Xn+1）-8=（E（Xn）-8）．
又E（X1）-8=，所以E（Xn）=．……………………………10分
V204805000倀]35215898F規2530762DB招3379183FF菿320897D59絙|3013475B6疶292417239爹316437B9B箛2941072E2狢30219760B瘋
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