高考理科数学安徽卷word解析版.docx
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高考理科数学安徽卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（安徽卷）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（2013安徽，理1）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi+2=2z，则z＝（）．
A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i
2．（2013安徽，理2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）．
125311
6B．24C．4D．12
A．
3．（2013安徽，理3）在下列命题中，不是．．公理的是（）．
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此
平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
4．（2013安徽，理4）“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内
单调递增”的（）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2013安徽，理5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五
名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为
88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）．
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
1
6．（2013安徽，理6）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为xx1或x，则f（10
2
（）．
A．{x|x＜－1或x＞－lg2}
B．{x|－1＜x＜－lg2}
C．{x|x＞－lg2}
D．{x|x＜－lg2}
x
）＞0的解集为
7．（2013安徽，理7）在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）．
A．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝2
π
B．θ＝
2（ρ∈R）和ρcosθ＝2
π
C．θ＝
2（ρ∈R）和ρcosθ＝1
D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1
2013安徽理科数学第1页
8．（2013安徽，理8）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，,，
fxfxfx
xn，使得12n
===
xxx
12n
，则n的取值范围是（）．
A．{3,4}B．{2,3,4}
C．{3,4,5}D．{2,3}
9．（2013安徽，理9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足OA=OBOAOB2，
则点集POP=OA+OB,1,R所表示的区域的面积是（）．
A．22B．23
C．42D．43
10．（2013安徽，理10）若函数f（x）＝x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3（f（x））
3＋ax2＋bx＋c有极值点x
A．3B．4C．5D．6
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
8
a
4
的系数为7a__________.，则实数＝
11．（2013安徽，理11）若x
的展开式中x
3
x
2
12．（2013安徽，理12）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sin
B，则角C＝__________.
13．（2013安徽，理13）已知直线y＝a交抛物线y＝x
2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．
14．（2013安徽，理14）如图，互不相同的点A1，A2，,，An，,和B1，B2，,，
Bn，,分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An
＋1的面
积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是__________．
15．（2013安徽，理15）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的
中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为
S.则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜
1
2
时，S为四边形
②当CQ＝
1
2
时，S为等腰梯形
③当CQ＝
3
4
时，S与C1D1的交点R满足C1R＝
1
3
④当
3
4
＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ＝1时，S的面积为
6
2
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
2013安徽理科数学第2页
16．（2013安徽，理16）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝4cosωx·
期为π.
（1）求ω的值；
sin
π
x（ω＞0）的最小正周
4
（2）讨论f（x）在区间0,
π
2
上的单调性．
17．（2013安徽，理17）（本小题满分12分）设函数f（x）＝ax－（1＋a2）x2，其中a＞0，区间I＝{x|f（x）＞
0}．
（1）求I的长度（注：
区间（α，β）的长度定义为β－α）；
（2）给定常数k∈（0,1），当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
2013安徽理科数学第3页
18．（2013安徽，理18）（本小题满分12分）设椭圆E：
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
22
xy
22=1
a1a
的焦点在x轴上．
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P
⊥F1Q.证明：
当a变化时，点P在某定直线上．
19．（2013安徽，理19）（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角
为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.
（1）证明：
平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD.
2013安徽理科数学第4页
20．（2013安徽，理20）（本小题满分13分）设函数fn（x）＝
明：
1x
23n
xxx
222
23n
*）．证
（x∈R，n∈N
（1）对每个n∈N*，存在唯一的xn∈
*，存在唯一的x
n∈
2
3
1
，满足fn（xn）＝0；
1
（2）对任意p∈Nn构成的数列{xn}满足0＜xn－xn.
*，由
（1）中x
＋p＜
n
21．（2013安徽，理21）（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测
试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都
是固定的正整数）．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且
所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（2）求使P（X＝m）取得最大值的整数m.
2013安徽理科数学第5页
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（安徽卷）第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．答案：
A
解析：
设z＝a＋bi（a，b∈R），则由z·zi+2=2z得（a＋bi）（a－bi）i＋2＝2（a＋bi），
22
即（a＋b）i＋2＝2a＋2bi，
所以2a＝2，
2＋b2＝2b，a
所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.
2．答案：
D
解析：
开始2＜8，
11
s0+，n＝2＋2＝4；
22
返回，4＜8，
113
s，n＝4＋2＝6；
244
返回，6＜8，
3111
s，n＝6＋2＝8；
4612
返回，8＜8不成立，输出
3．答案：
A
11
s.
12
解析：
由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理．
4．答案：
C
解析：
函数f（x）的图象有以下三种情形：
a＝0a＞0a＜0
由图象可知f（x）在区间（0，＋∞）内单调递增时，a≤0，故选C.
5．答案：
C
解析：
五名男生成绩的平均数为
1
5
（86＋94＋88＋92＋90）＝90，
五名女生成绩的平均数为
五名男生成绩的方差为
1
5
（88＋93＋93＋88＋93）＝91，
2
s＝
1
22222
86909490889092909090
5
＝8，
2
五名女生成绩的方差为
s
2
22
2889139391
＝
5
22
ss，故选C.
所以
12
6
，
2013安徽理科数学第6页
6．答案：
D
解析：
由题意知－1＜10x＜1
x＜1
2
，
所以x＜
lg
1
2
＝－lg2，故选D.
7．答案：
B
解析：
由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为（x－1）
22
＋y＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝
π
（ρ∈R）和ρcosθ＝2，故选B.2
8．答案：
B
fxfxfx
解析：
12
n
===
xxx
12n
可化为
fx0fx0fx
12n
===
x0x0x0
12n
0
，故上式可理解为y＝
f（x）图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f（x）的交点个数．
如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.
9．答案：
D
解析：
以OA，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴
对称，由已知|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可得出∠AOB＝60°，点A（3，1），点B（3，－1），点
D23，0）．
现设P（x，y），则由OP＝λOA＋μOB得（x，y）＝λ（3，1）＋μ（3，－1），即
3x,
y.
由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，
可得
3x3,
1y1,
画出动点P（x，y）满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为
232=43.
2013安徽理科数学第7页
10．答案：
A
2
解析：
由f′（x）＝3x＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，
2
即3（f（x））＋2af（x）＋b＝0的根为f（x）＝x1或f（x）＝x2的解．如图所示，
x1＜x2x2＜x1
2
由图象可知f（x）＝x1有2个解，f（x）＝x2有1个解，因此3（f（x））＋2af（x）＋b＝0的不同实根个数为3.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答．题．卡．上．．作答，在．试．题．卷．上．答．题．无．效．．．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．答案：
1
2
解析：
∵x
3
a
x
8
的通项为
1
rxrarxr
83
C（）
8
rr
8r
=CC
88
∴8－r－
r
3
＝4，解得r＝3.
∴
33
Ca7，得
8
1
a.
2
2
12．答案：
π
3
解析：
∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①
又∵b＋c＝2a，②
∴由①②可得，
5
ab，
3
7
cb，
3
∴
cosC
22
57
2
bbb
33
222
bac
1
5
2ab2
2bb
3
，∴
2
C.
3
π
13．答案：
[1，＋∞）
解析：
如图，设C（x0，2
x）（
0
2
x≠a），A（a，a），B（a，a），
0
则CA＝（
ax，
0
2
ax），CB＝（ax0，
0
2
ax）．
0
∵CA⊥CB，∴CA·CB＝0，
2013安徽理科数学第8页
即－（a－
14．
2
x）＋（a－
0
2
x）
0
2＝0，（a－2
x）（－1＋a－
0
2
x）＝0，∴
0
2
x＝a－1≥0，∴a≥1.
0
答案：
a3n2
n
S＝S，解析：
设
OAB
11
∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，
∴OA1＝1，OA2＝2.
又易知△OA1B1∽△OA2B2，
SOA
OAB
1
∴11
SOA
OAB2
22
2
2
2
11
24
.
∴
S梯形＝3
ABBA
1122
S＝3S.
OAB
11
∵所有梯形AnBnBn＋1An
＋1的面积均相等，
且△OA1B1∽△OAnBn，
∴
S
OA1S1
OAB
11
OASS3n1S3n2
nOAB
nn
.∴
a11
an
n
32
，∴a3n2.
n
15．答案：
①②③⑤
解析：
当CQ＝
1
2
时，D1Q
2＝2
DC＋C1Q
2＝5
11
4
，AP2＝AB2＋BP
2＝AB2＋BP
2＝5
4
，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以
②正确；当0＜CQ＜
1
2
时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图
（1）所示；
图
（1）
1
如图
（2），当CQ＝
3
4
时，由△QCN∽△QC1R得C1QC1R
CQCN
，即
CR
4
1
31
4
，C1R＝
1
3
，故③正确；
图
（2）
3
如图（3）所示，当＜CQ＜1时，截面为五边形APQM，F所以④错误；
4
当CQ＝1时，截面为APC1E，
2013安徽理科数学第9页
图（3）
可知AC1＝3，EP＝2，且四边形APC
1E为菱形，S四边形APC1E＝
6
2
，故⑤正确．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
16．解：
（1）f（x）＝4cosωx·sin
x
π
4
2
＝22sinωx·cosωx＋22cos
ωx
＝2（sin2ωx＋cos2ωx）＋2
π
2sin2x2.
4
因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有
2π
=π
，故ω＝1.
2
（2）由
（1）知，f（x）＝
π
2sin2x2.
4
若0≤x≤
πππ5π
，则
2x.
2444
当
πππ
2x，即
442
0
π
x时，f（x）单调递增；
8
当
ππ5π
2x，即
244
ππ
x时，f（x）单调递减．
82
综上可知，f（x）在区间0,
π
8
上单调递增，在区间
ππ
82
上单调递减．
17．解：
（1）因为方程ax－（1＋a1＝0，2）x2＝0（a＞0）有两个实根x
2）x2＝0（a＞0）有两个实根x
故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．
a
x
212
a
，
因此区间I
0,
1
a
2
a
，I的长度为
1
a
2
a
.
（2）设d（a）＝
1
a
2
a
，则d′（a）＝
1
1
2
a
22
a
.
令d′（a）＝0，得a＝1.
由于0＜k＜1，故当1－k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；
2013安徽理科数学第10页
当1＜a≤1＋k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减．
所以当1－k≤a≤1＋k时，d（a）的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．
而
1k
d1k11k2kk
223
23
1k
d1k2kk
2
11k
1
，
故d（1－k）＜d（1＋k）．
因此当a＝1－k时，d（a）在区间[1－k,1＋k]上取得最小值
1k
2
22kk
.
2
18．解：
（1）因为焦距为1，所以2a－1＝
1
4
，
解得a2＝5
2＝5
8
.
故椭圆E的方程为
22
8x8y
53
=1
.
（2）设P（x0，y0），F1（－c,0），F2（c,0），其中
由题设知x0≠c，
2
c2a1.
则直线F1P的斜率
k＝
FP
1
y
0
xc
0
，
直线F2P的斜率
k＝
FP
2
y
0
xc
0
，
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