四川省南充市届第三次诊断考试数学理试题.docx
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四川省南充市届第三次诊断考试数学理试题
南充市高2017届第三次高考适应性考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则等于（）
A．B．C．D．
2.若,则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3.若角的终边经过点,则（）
A．B．C．D．
4.若某程序框图如图所示，则输出的值是（）
A．B．C.D．
5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后再生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据
3
4
5
6
2.5
4
4.5
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为那么表中的值为（）
A．B．C.D．
6.已知是上的增函数，那么的取值范围是（）
A．B．C.D．
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？
”其意思为：
“已知甲，乙，丙，丁，戊五人分五钱，甲，乙两人所得与丙，丁，戊三人所得相同，且甲，乙，丙，丁，戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？
”（“钱”是古代的一种重量单位），这个问题中，甲所得为（）
A．钱B．钱C.钱D．钱
8.已知向量，且，若实数满足不等式组，则的最大值为（）
A．B．C.D．21
9.如图，正方形的边长为为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至,在旋转的过程中，记为所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论，其中不正确的是（）
①②函数在上为减函数；③任意都有
A．①B．③C.②D．①②③
10.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的顶点都在球的表面上，则球的体积是
A．B．C.D．
11.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点,若,且,则等于（）
A．B．C.D．
12.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，则下列结论不正确的是（）
A．B．
C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若的二项展开式中各项的二项式系数的和是,则．
14.已知圆的方程是，则经过圆上一点的切线方程是．
15.已知数列满足，若首项，则数列的前项和．
16.设是定义在上的偶函数，对任意的,都有,且当时,若关于的方程在区间内恰有三个不同的实根，则实数的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在中，角所对的边分别为已知
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若,求的面积
18.某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：
成绩大于或等于分的具有参赛资格，某校有名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有次选题答题的机会，累计答对题或答错题即终止，答对题者方可参加复赛，已知参赛者即答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望
19.如图，已知垂直于以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角余弦值.
20.已知椭圆的中心为原点，离心率,其中一个焦点的坐标为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为若点满足:
其中是上的点.直线的斜率之积为,试说明:
是否存在两个定点,使得为定值?
若存在,求的坐标；若不存在，说明理由.
21.已知函数（是自然对数的底数,是函数在的导数）.
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）若，解关于的不等式
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知直线与椭圆的极坐标方程分别为
（Ⅰ）求直线与椭圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若是直线上的动点，是椭圆上的动点，求的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）已知常数解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12：
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）因为所以
所以
又故
故,由正弦定理可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，联立
解得
由，得为直角三角形
所以
18.解：
（Ⅰ）由题意知之间的频率为
故获得参赛资格的人数为
（Ⅱ）设甲答对每一个问题的概率为,则
解得
甲在初赛中答题个数的所有值为
故的分布列为
数学期望
19.解：
（Ⅰ）证明：
由知点为的中点，
连接,因为
所以为等边三角形
又点为的中点，所以
因为平面平面
所以
又平面平面
所以平面,又平面,
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三线两两垂直，以为原点，以所在的直线分别为轴，轴,轴建立空间直角坐标系，则
所以
设平面与平面的法向量分别为
显然平面的一个法向量为
设,由得
解得令
则
所以
所以，二面角的余弦值为.
20.解:
（Ⅰ）由题意知,
所以
所以
故椭圆的方程为
（Ⅱ）设则
因为点在椭圆上运动，
所以
故动点的轨迹的方程为
由得
设分别为直线的斜率，由已知条件知
所以
因为点在椭圆上，
所以
故
从而知点是椭圆上的点，
所以，存在两个定点且为椭圆的两个焦点，使得为定值.其坐标分别为
21.解：
（Ⅰ）由得
所以得
又得
所以
所以函数在处的切线方程为
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以等价于
令则
令则
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即恒成立.
所以在定义域内单调递增.
又
当时，，当时，
所以的解集为
22.解：
（Ⅰ）
及直线的直角坐标方程为
即椭圆的直角坐标方程为
（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为（为参数）
所以可设
因此点到直线的距离
所以当时，取最小值，
所以的最小值为
23.解：
（Ⅰ）由得
所以或
所以或
故不等式解集为
（Ⅱ）因为函数的图像恒在函数图像的上方，所以恒成立，
则恒成立，
因为
所以的取值范围是
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