二次函数的图像与性质教学案例.docx

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二次函数的图像与性质教学案例

二次函数的图象和性质（第一课时）教学案例

函数是中学数学学习的重要内容，函数概念通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。

这种变化与对应的思想对于中学生来讲，学习起来非常困难。

虽然，函数图像将函数的数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，但在没有信息技术支持下的教学，研究函数图像对教师来讲也是较为困难的一件事。

二次函数教学时间约为10课时，下面是第一课时的教学设计，此时学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和反比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：

认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。

再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．

二、教学目标：

知识技

1．探索并归纳二次函数的定义；

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

数学思考：

1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；

2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

解决问题：

1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；

2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。

情感态度：

1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；

3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．

三、教学重点、难点：

教学重点：

1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。

2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．

教学难点：

经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．

四、教学方法：

教师引导——自主探究——合作交流。

五：

教具、学具：

教学课件

六、教学媒体：

计算机、实物投影。

七、教学过程：

[活动1]温故知新，引出课题。

师：

对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?

生：

学过正比例函数，一次函数，反比例函数．

师：

那函数的定义是什么，大家还记得吗?

生：

记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．

师：

能把学过的函数回忆一下吗?

生：

可以。

一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）

正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）

反比例函数y=k/x（k是不为0的常数）

师：

学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?

生：

定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。

师：

很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?

本节课我们将揭开它神秘的面纱．

师生行为：

教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。

教师重点关注：

学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。

设计意图：

由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。

[活动2]创设情境探究新知：

问题

1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为是什么？

2．多边形的对角线数d与边数n有什么关系？

n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线。

因此，n边形的对角线总数d=＿＿＿＿＿＿。

3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

4．问题2中有哪些变量?

其中哪些是自变量?

大家根据刚才的分析，判断一下式子中的d是否是n的函数?

若是函数，与原来学过的函数相同吗?

问题3呢？

5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？

师生行为：

教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。

定义：

一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的函数叫做x的二次函数。

教师重点关注：

1．强调几个注意的问题：

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。

（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

（4）x的取值范围是任意实数。

2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。

设计意图：

由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。

学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。

[活动3]例题学习内化新知

问题

例1，下列函数中，哪些是二次函数？

若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项。

（1）y=3（x-1）²+1

（2）y=x+5

（3）s=3-2t²（4）y=（x+3）²-x²

（5）y=-x（6）v=10∏r²

例2，函数y=（m-3）x2-3x+5

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（2）m取什么值时，此函数是二次函数？

师生行为：

教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。

教师重点关注：

（1）探究中各小组是否积极展开活动；

（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。

设计意图：

通过例1的设计，有利于学生对二次函数的概念的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；例2中三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。

整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。

[活动4]练习反馈巩固新知

问题：

（1）P80．练习1、2

（2）若y=3xm-2+6x-4是二次函数，求m的值．

师生行为：

教师提出问题，问题

（1）学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题

（2）学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路；

教师重点关注：

学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。

设计意图：

问题

（1）是从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得用二次函数表示变量之间关系的体验；问题

（2）是让学生对二次函数定义很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；

八、自主小结，深化提高：

请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。

设计意图：

学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。

九、分层作业，发展个性：

作业设计1.已知函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数），

　当a＿＿＿时是二次函数；

　当a＿＿＿，b＿＿＿时是一次函数；

　当a＿＿，b＿＿，c＿＿时是正比例函数。

2、画出最简单的二次函数y＝x2的图象。

3、写好数学日记。

十、教学反思：

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。

二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺利。

由此，我的设计是从温故知新开始，通过温故知新，引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内化新知、练习反馈、巩固新知等几个数学活动，引导学生用类比的思想，用已有的知识经验归纳总结出新知、内化新知、巩固应用新知的。

活动中也注意了学生的知识与实际问题的联系，使学生充分体会数学源于生活又服务于生活。