角平分线模型的构造.docx
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角平分线模型的构造
第二讲角平分线模型的构造3月
角平分线
(l)定义:
如图2-1,如果∠AOB=∠BOC,那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC,像OB这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线.
(2)角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(3)角平分线的判定定理
①在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,
②在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,
与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,
已知P是∠MON平分线上一点,
(l)若PA⊥OM于点A,如图2-2(a),可以过P点作PB⊥ON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.
(2)若点A是射线OM上任意一点,如图2-2(b),可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB∽△OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”.
(3)若AP⊥OP于点P,如图2-2(c),可以延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.
(4)若过P点作PQ∥ON交OM于点Q,如图2-2(d),可以构造△POQ是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”.
例1
(1)如图2-3(a),在△ABC中,∠C=90。
,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D
到直线AB的距离是()cm.
(2)如图2-3(b),已知:
∠1=∠2,∠3=∠4,
求证:
AP平分∠BAC.
例2
如图2-4(a),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
⑴求证:
CE=CF.
⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A,D,E,的位置,使点E,落在BC边上,其它条件不变,如图2-4(b)所示.试猜想:
BE'与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
例3
阅读下列学习材料:
如图2-5(a)所示,OP平分∠MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB=OA,连接BC(如图2-5(b)),易证△AOC≌△BOC.
请根据上面的学习材料,解答下列各题:
(l)如图2-5(c)所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
(2)如图2-5(d)所示,AD是△ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由.
例4
如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为点E,
求证:
BD=2CE.
(1)如图2-7(a),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD上BD、AE⊥CE,垂足分别为D、E,连接DE.
求证:
DE∥BC,DE=
(AB+BC+AC);
(2)如图2-7(b),BD、CE分别是△ABC的内角平分线,其它条件不变;
(3)如图2-7(c),BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,其它条件不变,
则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下,DE与BC还平行吗?
它与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
变式
如图2-8,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:
AD=DE
例6
如图2-9(a),AB=AC,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB.问:
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形?
(2)过D点作EF∥BC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?
(3)如图2-9(c),若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?
直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
(4)如图2-9(d),BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.DE∥BC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系?
并说明理由.
(5)如图2-9(e),BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线,DE∥BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
例7如图2-10(a)所示,已知△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠CAB,
求证:
AB=ACD
变式1
如图2-11所示,已知△ABC中,AB=AC,
∠A=108°,BD平分∠ABC.
求证:
BC=AB+CD.
变式2
如图2-12,已知△ABC中,AB=AC,∠A=IOO°,BD平分∠ABC,
求证:
BC=BD+AD.
例8
如图2-13(a),OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,
请你参考上图构造全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图2-13(b),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图2-13(c),在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(l)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否依然成立?
若成立请证明;若不成立,请说明理由.
牛刀小试
(l)如图2-14(a),在△ABC中,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,过点F作DF∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE之长为()
(2)如图2-14(b),在△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,DE∥AB,FD∥AC.,BC=6,求△DEF的周长,
2.已知:
如图2-15,∠BAD=∠CAD,AB>AC,CD⊥AD于点D.H是BC中点.
求证:
DH=
(AB-AC).
3、已知如图2-16,四边形ABCD中,∠B+=D=180°,BC=CD.
求证:
AC平分∠BAD.
4.如图2-17,△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,若∠BPC=40。
,求∠CAP的度数.
5.已知:
如图2-18,在四边形中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC.
求证:
∠A+∠C=180°
6.在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图2-19(a)中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图2-19(c),求∠BDG的度数.
7.已知:
如图2-20,在△ODC中,∠D一90°,EC是∠DCO的角平分线,且OE=CE,过点E作EF⊥OC交OC于点F.猜想:
线段EF与OD之间的关系,并证明.
8.已知:
如图2-21,在四边形ABCD中,AB+BC=CD+DA,∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P,
求证:
∠APB=∠CPD.