初中数学学科知识.docx
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初中数学学科知识
1.1实数
第一章数与代数
核心考点提示
1.了解实数、有理数、无理数、代数式、整式、分式等概念，并掌握其相应的运算法则。
2.掌握基本的因式分解的方法：
提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法、分组分解法。
3.掌握解方程的基本方法，会解一元一次方程、二元一次方程。
第一节实数
一、实数的概念★★
（一）实数的组成
实数有理数整数
正整数零负整数
分数正分数负分数有限小数或无限循环小数
无理数正无理数负无理数无限不循环小数
（二）数轴
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
数轴上面一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
（三）相反数
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
（四）绝对值
|a|=a（a>0）
|a|=0（a=0）
|a|=-a（a<0）
1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
2.正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（五）倒数
乘积为1的两个数互为倒数。
1.a的倒数是1/a（a≠0）。
2.0没有倒数。
3.若a与b互为倒数，则ab=1。
二、实数的运算★★
（一）加法
1.同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
2.异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.一个数与0相加，仍得这个数。
（二）减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
（三）乘法
1.两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
2.任何数与0相乘得0。
3.乘积为1的两个有理数互为倒数。
（四）除法
1.除以一个数等于乘一个数的倒数。
2.0不能作除数。
（五）乘方
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
（六）混合顺序
在同一个式子里，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
1.2代数式
第二节代数式
一、代数式★
（一）代数式的概念
用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式（单个的数字或单个字母也是代数式）。
（二）代数式的值
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
（三）代数式的分类
代数式有理式整式单项式多项式分式
无理式（二次根式）
二、整式★★★
（一）整式基本概念
1.整式
不含除法运算或分数，以及虽含有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数式者，称为整式。
2.整式的分类
整式单项式（定义系数次数）
多项式（按同类项次数升或降幂排列）
3.单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的指数.。
4.多项式
几个单项式的和，叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号,看作各项的性质符号。
一元n次多项式最多有n+1项。
多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
5.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。
掌握同类项的概念时应注意:
（1）判断几个单项式或项是否是同类项,要掌握两个条件:
①所含字母相同。
②相同字母的指数也相同。
（2）同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关。
（3）所有常数项都是同类项。
（4）合并同类项。
①合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
②合并同类项的法则
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
③合并同类项步骤
准确地找出同类项;逆用分配律,把同类项的系数加在一起（用小括号）,字母和字母的指数不变;写出合并后的结果。
④合并同类项应注意事项
如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0。
不要漏掉不能合并的项。
只要不再有同类项,就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
1.3方程与方程组
第三节方程与方程组
一、一元一次方程★★
（一）基本概念
含有未知数的等式叫做方程。
在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。
通常形式是ax+b=0（a,b为常数，且a≠0）。
其中a是未知数的系数，b是常数。
等式性质：
1.等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
2.等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
3.等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。
解方程一般依据等式的这三个性质。
（二）方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
1.解一元二次方程的一般步骤
（1）去分母——等式的性质2
（2）去括号——分配律
（3）移项——等式的性质1
（4）合并——分配律
（5）系数化为1——等式的性质2
（6）验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等
2.解一元一次方程的注意事项
（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数;
（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号;
（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号;
（4）移项时，切记要变号，不要丢项，应先合并再移项，以免丢项;
（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号;
（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
（三）列方程解应用题的一般步骤
1.审题
分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量及它们之间的数量关系。
2.设未知数
设未知数有直接和间接两种，恰当地设未知数有利于列方程和解方程。
3.找等量关系
根据已知条件找出等量关系列方程或方程组。
4.列方程
5.解方程
6.检验
7.写出答案
2.1不等式及其基本性质
第二章不等式
核心考点提示
1.掌握不等式的基本性质，以及不等式证明的基本方法，熟记常见的重要不等式。
2.掌握求解常见不等式方程（分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等）的基本方法。
3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法。
第一节不等式及其基本性质
一、不等式的概念★
用不等号“>”“<”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。
不等式分为严格不等式和非严格不等式。
二、不等式的基本性质★
1.如果x>y，那么yy;（对称性）
2.如果x>y，y>z;那么x>z;（传递性）
3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;（加法法则）
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz5.如果x>y，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那么x÷z6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;（充分不必要条件）
7.a>b,ab>01/a<1/b;（倒数法则）
8.a>b,ab>0an>bn（n∈N*且n>1）;（乘方法则）
9.含有绝对值不等式的性质：
（1）|a|+|b|≥|a+b|;
（2）|a|-|b|≤|a+b|;
（3）|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|。
三、不等式的证明★★★
（一）比较法
比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。
1.差值比较法
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：
“若a-b≥0，则a≥b;若a-b≤0，则a≤b”。
其一般步骤为：
（1）作差：
观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;
（2）变形：
把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;
（3）判断：
根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：
当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
2.商值比较法
商值比较法的理论依据是：
“若a，b∈R+，ab≥1，则a≥b;ab≤1，则a≤b”.其一般步骤为：
（1）作商：
将左右两端作商;
（2）变形：
化简商式到最简形式;
（3）判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：
当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
（二）综合法
从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式。
（三）分析法
从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”。
（四）缩放法
2.2解不等式
第二节解不等式
一、分式不等式的解法★
（一）化分式不等式为标准型
方法：
移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式。
（二）将分式不等式转化为整式不等式求解
具体解法如下：
1.f（x）g（x）>0f（x）g（x）>0;
2.f（x）g（x）<0f（x）g（x）<0;
3.f（x）g（x）≥0f（x）g（x）≥0，
g（x）≠0;
4.f（x）g（x）≤0f（x）g（x）≤0，
g（x）≠0.
例1解不等式：
x-3x+7<0。
解法1：
化为两个不等式组来解：
∵（x-3）*（x+7）<0
∴x-3>0，x+7<0，或x-3<0，x+7>0，
由x-3>0，x+7<0，得x∈,
由x-3<0，x+7>0，得-7
∴原不等式的解集是{x|-7
解法2：
化为二次不等式来解：
∵（x-3）（x+7）<0,∴-7
∴原不等式的解集是{x|-7
第三节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
一、二元一次不等式（组）与平面区域★★
（一）基本概念
1.二元一次不等式
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
2.二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
3.二元一次不等式（组）的解集
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x,y）,所有这样的有序数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
注意：
有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标。
于是,二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。
（二）二元一次不等式的表示区域
二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）在直角坐标系中表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.直线叫做这两个区域的边界。
若是“>”号，则区域不包括边界，直线画为虚线.若是“≥”号，则区域包括边界，直线画为实线。
判断二元一次不等式表示平面区域的方法：
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点（x0,y0）,根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。
例1画出下列不等式表示的区域
（1）（x-y）（x-y-1）≤0;
（2）x≤|y|≤2x.
解：
（1）原不等式可化为x-y≥0，x-y-1≤0，
0≤x-y≤1或x-y≤0
x-y≥1矛盾无解，
故点（x,y）在一带形区域内（含边界）。
（2）由x≤2x，得x≥0;当y>0时，有x-y≤0，
2x-y≥0，点（x,y）在一三角形区域内（含边界）;
当y≤0，由对称性得出。
例2画出不等式组x-y+5≥0，
x+y≥0，
x≤3，表示的平面区域.
解：
不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域为三角形区域。
3集合与简易逻辑
第一节集合的概念及表示方法
一、集合的概念★★
集合：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合.构成集合的每个对象（或成员）称为集合的元素.
空集：
不含任何元素的集合叫做空集.
全集：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.
子集：
对于两个集合A与B，如果A中任何一个元素都是集合B的元素，则集合A是B的一个子集.记作：
AB，或BA.
真子集：
对于两个集合A与B，若A是B的子集且B中至少存在一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作：
AB，或BA.
交集：
由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个,真子集的个数为2n-1个.
空集是任何集合的子集.这个结论在解题时容易忽略.
集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”.
常用的数集及其符号:
N：
非负整数集（或自然数集）
N*或N+：
正整数集（或自然数集去掉0）
Z：
整数集
Q：
有理数集
R：
实数集
二、集合的表示方法★
1.列举法
把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
3.区间表示法和图示法
4.韦恩（Venn）图
用一条封闭曲线（内部区域）直观地表示集合及其关系的图形称为韦恩图.
注：
有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示.
例用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合;
（2）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
（3）由大于10小于20的整数组成的集合.
解：
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
（2）方程x2-2=0有两个实数根2，-2，因此，用列举法表示为：
A={2，-2}.
（3）大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为：
B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
第二节集合的运算
一、交集★
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
说明：
两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.
二、并集★
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B,即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
说明：
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.
第三节简易逻辑
一、四种命题的基本概念★★
1.在数学中,用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
3.如果原命题为“若p,则q”，则它的否命题为“若，则”.
4.四种命题之间的关系
5.四种命题的真假性
（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真;
（2）原命题为真，它的否命题不一定为真;
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真.
例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.
（1）正三角形的三内角相等;
（2）全等三角形的面积相等;
（3）已知a，b，c，d是实数，如果a=b,c=d,那么a+c=b+d.
解：
（1）原命题:
若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.
逆命题：
若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：
三个内角相等的三角形是正三角形）.
否命题：
若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.
逆否命题：
若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：
三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.
（2）原命题:
若两个三角形全等，则它们的面积相等.
逆命题：
若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：
面积相等的两个三角形全等）.
否命题：
若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：
不全等的两个三角形的面积不相等）.
逆否命题：
若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.
（3）原命题:
已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d.
逆命题：
已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d分别相等.
否命题：
已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不分别相等，则a+c≠b+d.
逆否命题：
已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不分别相等.
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