概率论与数理统计习题集及答案可编辑修改word版.docx

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《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件

1.

（1）一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：

S=；

（2）一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：

S=；

2.

（1）丢一颗骰子.A：

出现奇数点，则A=；B：

数点大于2，则B=.

（2）一枚硬币连丢2次，A：

第一次出现正面，则A=；B：

两次出现同一面，则=；C：

至少有一次出现正面，则C=.

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

（1）A、B、C都不发生表示为：

.

（2）A与B都发生,而C不发生表示为：

.（3）A与B都不发生,而C发生表示为：

.（4）A、B、C中最多二个发生表示为：

.

（5）A、B、C中至少二个发生表示为：

.（6）A、B、C中不多于一个发生表示为：

.

2.设S={x:

0≤x≤5},A={x:

1

2≤<4}：

则

（1）

A⋃B=，

（2）

AB=，（3）AB=

，

（4）A⋃B=，（5）AB=。

§1.3概率的定义和性质

1.已知P（A⋃B）=0.8,P（A）=0.5,P（B）=0.6，则

（1）P（AB）=,

（2）（P（AB））=,（3）P（A⋃B）=.

2.已知P（A）=0.7,P（AB）=0.3,

§1.4古典概型

则P（AB）=.

1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:

（1）正好有2个女同学的概率,

（2）最多有2个女同学的概率,（3）至少有2个女同学的概率.

2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。

2.已知P（A）=1/4,P（B|A）=1/3,P（A|B）=1/2,

§1.6全概率公式

则P（A⋃B）=。

1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个

签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中

随机地取一个球，求取到红球的概率。

§1.7贝叶斯公式

1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求

（1）

该厂产品能出厂的概率，

（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:

2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率

均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

3.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率:

（1）恰好命中一次,

（2）至少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：

（1）S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；

（2）S={0,1,

2,3}

2：

（1）A={1,

3,5}

B={3,

4,5,

6}；

（2）A={正正，正反},B={正正，反反},C={正正，正反，反正}。

§1.21：

（1）

ABC；

（2）

ABC；（3）

ABC；（4）A⋃B⋃C；（5）

AB⋃AC⋃BC；

（6）

AB⋃AC⋃BC

或ABC+ABC+ABC+ABC；

2：

（1）A⋃B={x:

1

（2）AB={x:

2≤x≤3}；（3）

AB={x:

3

（4）A⋃B={x:

0≤x≤1或2≤x≤5}；（5）AB={x:

1

§1.31：

（1）

P（AB）=0.3,

（2）P（AB）=0.2,（3）

P（A⋃B）

=0.7.2：

P（AB））=0.4.

§1.41：

（1）C2C8

/C10,

（2）（（C10+C1C9

+C2C8）/C10,（3）1-（C10+C1C9）/C10.

82230

22822

82230

2282230

4

2：

P3/43.

§1.51：

.2/6；2：

1/4。

§1.61：

设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10

设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=2⋅1

109

+8⋅2=2

10910

两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。

2：

随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：

p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45

§1.71：

（1）94%

（2）70/94；2：

0.993；

§1.8.1：

用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB∪CD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）

=P（A）P（B）+P（C）P（D）–P（A）P（B）P（C）P（D）

=p2+p2-p4=2p2-p4

2：

（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38；

（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.

第2章随机变量及其分布

§2.1随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球

中的最大号码.,试写出X的分布律.

2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。

§2.2

0-1分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；

（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；

（3）每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：

X23,Y～π（X）,试求：

p0.40.6

（1）P（X=2,Y≤2）；

（2）P（Y≤2）；（3）已知Y≤2,求X=2的概率。

§2.3贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算

机是否被使用相互独立，问在同一时刻

（1）恰有2台计算机被使用的概率是多少？

（2）至少有3台计算机被使用的概率是多少？

（3）至多有3台计算机被使用的概率是多少？

（4）至少有1台计算机被使用的概率是多少？

2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率

不小于0.9？

§2.4随机变量的分布函数

⎧0x<-1

1设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

⎪

⎨0.5

-1≤x<1

⎪x≥1

（1）求P（X≤0）；P（0

（2）写出X的分布律。

2设随机变量X的分布函数是：

F（x）=

⎧⎪Ax

⎨1+x

⎪⎩0

x>0

x≤0

求

（1）常数A,

（2）P（1

≤2）.

§2.5连续型随机变量

⎧kx

0

1

0

设连续型随机变量X的密度函数为：

f（x）=⎨

⎩其他

（1）求常数k的值；

（2）求X的分布函数F（x），画出F（x）的图形，

（3）用二种方法计算P（-0.5

⎧0x<1

2设连续型随机变量x≥0的分布函数为：

F（x）=

⎪

⎨lnx

1≤x

⎪x≥e

（1）求X的密度函数f（x），画出f（x）的图形，

（2）并用二种方法计算P（X>0.5）.

§2.6均匀分布和指数分布

1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布,求方程4x2+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间（单位：

分）X服从=0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：

（1）超过10分钟的概率；

（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布

1随机变量X～N（3,4）,

（1）求P（22）,P（X>3）；

（2）确定c，使得P（X>c）=P（X

2某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P（120

§2.8随机变量函数的分布

1设随机变量X的分布律为；X

0

1

2

p

0.3

0.4

0.3

Y=2X–1,求随机变量X的分布律。

⎧2（1-x）0

0

2设随机变量X的密度函数为：

f（x）=⎨，

⎩其他

Y=X2；求随机变量Y的密度函数。

3.设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，Y=-2lnX

，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§2.11：

p

2：

p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1

§2.21：

（1）P（X=1）=P（X≥1）–P（X≥2）=0.981684–0.908422=0.073262,

（2）P（X≥1）=0.981684,

（3）P（X≤1）=1-P（X≥2）=1–0.908422=0.091578。

2：

（1）由乘法公式：

P（X=2,Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）=0.4×（e-2+2e-2+2e-2）=2e-2

（2）由全概率公式：

P（Y≤2）=P（X=2）P（Y≤2|X=2）+P（X=3）P（Y≤2|X=3）

=0.4×5e-2

+0.6×17e-3=0.27067+0.25391=0.52458

2

（3）由贝叶斯公式：

P（X=2|Y≤2）=

P（X=2,Y≤2）

=0.27067

=0.516

P（Y≤2）

0.52458

§2.31：

设X表示在同一时刻被使用的台数，则X～B（5,0.6）,

（1）P（X=2）=

C20.620.43

（2）P（X≥3）=

C30.630.42+C40.640.4+0.65

5

（3）P（X≤3）=1-

C40.640.4-0.65

5

（4）P（X≥1）=1-

5

0.45

5

2：

至少必须进行11次独立射击.

§2.41：

（1）P（X≤0）=0.5；P

（2）X的分布律为：

（0

=0.5；P（X≥1）=0.5，

2：

（1）A=1,

（2）P（1

⎧0

⎨

§2.51：

（1）k=2，

（2）F（x）=⎪x2

1

⎪

⎩

0.5

0.5

=1/6

x<0

0≤x<1；

x≥1

0

0.51

（3）P（-0.5

⎰-0.5f（x）dx=⎰-0dx+⎰0

2xdx=；

4

或=F（0,5）–F（-0.5）=

1-0=1。

44

⎧1/x1

2：

（1）f（x）=⎨

⎩

（2）P（X

0

其他

>

2）=1-ln2

§2.61：

3/52：

（1）e-2

（2）e-2-e-4

§2.8

1：

Y

-1

1

3

p

0.3

0.4

0.3

§2.71：

（1）0.5328,0.9996,0.6977,0.5；

（2）c=3，2：

σ≤31.25。

2：

fY

⎧1（y）=⎪

（1-

y）0

，3：

⎧⎪1

fY（y）=⎨2

e-y/2

y>0；

⎪⎩0其他

⎪⎩0

y≤0

第3章多维随机变量

§3.1二维离散型随机变量

1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球

个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。

2.

设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：

试根椐下列条件分别求a和b的值；

（1）P（X

=1）=0.6；

（2）P（X

=1|Y=2）=0.5；（3）设F（x）是Y的分布函数，F（1.5）=0.5。

§3.2二维连续型随机变量

⎧k（x+y）

0

1.（X、Y）的联合密度函数为：

f（x,y）=⎨

⎩0其他

求

（1）常数k；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）；（3）P（X+Y<1）；（4）P（X<1/2）。

⎧kxy0

2.

0

（X、Y）的联合密度函数为：

f（x,y）=⎨

⎩其他

求

（1）常数k；

（2）P（X+Y<1）；（3）P（X<1/2）。

§3.3边缘密度函数

1.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

f（x,y）=

1

2（1+x2）（1+y2）

-∞

-∞

2.设（X,Y）的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。

⎧e-x

f（x,y）=⎨

0

⎩0其他

§3.4随机变量的独立性

（1）

P（Y=1）=1/3；

2ab1/9

（2）

P（X

>

1|Y=2）=0.5；（3）已知X与Y相互独立。

2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数c，并讨论X与Y是否相互独立？

⎧cxy2

f（x,y）=⎨

0

⎩0其他

第3章作业答案

§3.21：

（1）k=1；

（2）P（X<1/2,Y<1/2）=1/8；（3）P（X+Y<1）=1/3；（4）P（X<1/2）=3/8。

2：

（1）k=8；

（2）P（X+Y<1）=1/6；（3）P（X<1/2）=1/16。

+∞12

§3.31：

fX（x）=⎰-∞2（1+x2）（1+y2）dy=（1+x2）

-∞

fY（y）=

+∞1dx=

-∞（1+x）（1+y）

2

（1+y2）

-∞

⎧xe-x

2：

fX（x）=⎨

⎩0

x>0

；

x≤0

⎧e-y

fY（y）=⎨

⎩0

y>0

；

y≤0

§3.41：

（1）a=1/6b=7/18；

（2）a=4/9b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。

2：

c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量的数字特征

§4.1数学期望

1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：

（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.

⎧3x2

2≤x≤4

2.设X有密度函数：

f（x）=⎪8

⎪⎩0

求E（X）,

其他

E（2X-1）,E（1

X2

）,并求

X大于数学期望E（X）的概率。

3.

设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：

XY

012

已知E（XY）=0.65，

00.10.2a

则a和b的值是：

10.1b0.2

（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。

4.设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下：

求EX,EY,E（XY+1）。

f（x,y）=⎧xy

0

⎨

⎩

§4.2数学期望的性质

1．设X有分布律：

X0123则E（X2-2X+3）是：

p0.10.20.30.4

（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.

⎧⎪5y

2.设（X,Y）有f（x,y）=⎨4

x2

，试验证

E（XY）=E（X）E（Y），但X与Y

⎪⎩0其他

不

相互独立。

§4.3方差

1.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,

DX.

⎧（x+1）/4

0≤x≤2

2.X有密度函数：

f（x）=⎨

⎩0

，求D（X）.

其他

§4.4常见的几种随机变量的期望与方差

1.设X

~

（2）

Y~B（3,

0.6）

相互独立，则E（X-2Y）,

D（X-2Y）的值分别是：

（A）-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.

2.设X

~U（a,

b）,

Y~N（4,

3）

，X与Y有相同的期望和方差，求a,

b的值。

（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.

§4.6独立性与不相关性矩

1.下列结论不正确的是（）

（A）X与Y相互独立，则X与Y不相关；

（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；

（C）E（XY）=E（X）E（Y），则X与Y相互独立；

（D）f（x,y）=

fX（x）fY（y）

，则X与Y不相关；

2.若

COV（X,Y）=0，则不正确的是（）

（A）E（XY）=E（X）E（Y）；（B）E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

（C）D（XY）=D（X）D（Y）；（D）D（X+Y）=D（X）+D（Y）；

3．（X,Y）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。

X

Y

－1

0

1

.

－1

1/8

1/8

1/8

0

1/8

0

1/8

1

1/8

1/8

1/8

4.E（XY）=E（X）E（Y）是X与Y不相关的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

5.E（XY）=E（X）E（Y）是X与Y相互独立的（）

（A）必要条件；（B）充分条件：

（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。

6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：

试验证X与Y不相关，但不独立。

⎧21x2y/4

f（x,y）=⎨

x2

⎩0其他

第4章作业答案

§4.11：

B；2：

3/2,2,3/4,37/64；3：

D；4：

2/3，4/3，17/9；

§4.21：

D；

§4.31：

7/2,35/12；2：

11/36；

§4.41：

A；2：

B；

§4.51：

0.2，0.355；2：

－1/144,－1/11；

§4.61：

C；2：

C；3：

X与Y不相关，但X与Y不相互独立；4：

C；5：

A；

第5章极限定理

*§5.1大数定理

§5.2中心极限定理

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，

其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§5.22：

0.1788；3：

0.889，0.841；

第6章数理统计基础

§6.1数理统计