概率论与数理统计习题集及答案可编辑修改word版.docx

1、概率论与数理统计习题集及答案可编辑修改word版概率论与数理统计作业集及答案第 1 章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H反面 T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= .(2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= .1 .2 随机事件的运算1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下

2、列各事件：(1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： . (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .(5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设 S = x : 0 x 5, A = x :1 x 3, B = x : 2 4：则（ 1）A B = ，（ 2）AB = ，（3） AB = ，（4） A B = ，（5） AB = 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知 P( A B) = 0.8, P( A) = 0.5, P(B) = 0.6

3、 ，则 (1) P( AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P( A B) = .2. 已知 P( A) = 0.7, P( AB) = 0.3,1 .4 古典概型则 P( AB) = .1.某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率,(2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率.2.将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 。2. 已知 P( A) = 1/

4、 4, P(B | A) = 1/ 3, P( A | B) = 1/ 2,1 .6 全概率公式则 P( A B) = 。1.有 10 个签，其中 2 个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2.第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有 5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1.某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2.将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收

5、站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为 3 : 2，若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中 A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p,求 L 与 R 为通路（用 T 表示）的概率。3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第 1 章作业答案1 .1 1：（1） S = HHH , HH

6、T , HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT ；（2） S = 0, 1,2, 32：（1） A = 1,3, 5B = 3,4, 5,6；（2） A = 正正，正反, B = 正正，反反, C = 正正，正反，反正。1 .2 1： (1)ABC ；(2)ABC ；(3) A B C ；(4) A B C ；(5)AB AC BC ；(6) A B A C B C 或 A B C + A B C + A B C + A B C ；2： (1) A B = x :1 x 4 ；(2) AB = x : 2 x 3；(3)AB = x : 3 x 4 ；（4） A B = x

7、 : 0 x 1或2 x 5 ；（5） AB = x :1 x 4。1 .3 1： (1) P( AB) =0.3, (2) P( A B) = 0.2, (3) P( A B)= 0.7. 2： P( AB) )=0.4.1 .4 1：(1) C 2C 8/ C10 ,(2)(（C10 + C1C 9+ C 2C 8 ）/ C10 ,(3)1-( C10 + C1C 9 ）/ C10 .8 22 3022 8 228 22 3022 8 22 3042： P3 / 43 .1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。1 .6 1： 设 A 表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10设 B 表

8、示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( A )P(B| A )= 2 110 9+ 8 2 = 210 9 10两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为： p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；1 .8. 1： 用 A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = ABCD,从而，由概率的性质及 A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(

9、A)P(B)P(C)P(D)= p 2 + p 2 - p 4 = 2 p 2 - p 42： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取出的 3 个球中的最大号码., 试写出 X 的分布律.2某射手有 5 发子弹，每次命中率是 0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射击

10、的次数, 试写出 X 的分布律。2.20 - 1 分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X 是服从=4 的泊松分布，求(1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率；2设随机变量 X 有分布律： X 2 3 , Y(X), 试 求 ：p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求 X=2 的概率。2.3 贝努里分布1一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有 2 台计算机被使用的概率

11、是多少？(2)至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？2.4 随机变量的分布函数 0 x -11 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) =0.5- 1 x 1 x 1（1）求 P(X0 )； P (0 0x 0, 求（1）常数 A, (2) P (1 X 2).2.5 连续型随机变量kx0 x 110设连续型随机变量 X 的密度函数为： f (x) = 其 他（1）求常数 k 的值；（2）求 X 的

12、分布函数 F(x)，画出 F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5X0.5). 0 x 12设连续型随机变量x 0的分布函数为：F(x) =ln x1 x 0.5).2.6 均匀分布和指数分布1设随机变量 K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4 x 2 + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从 = 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到 20 分钟的概率。2.7 正态分布1 随机变量 XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(

13、- 42), P(X3)；(2)确定 c，使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标 X 服从正态分布，=160，若要求 P(120X200)0.80，试问最多取多大？2.8 随机变量函数的分布1 设随机变量 X 的分布律为； X012p0.30.40.3Y = 2X 1, 求随机变量 X 的分布律。2(1 - x) 0 x 102 设随机变量 X 的密度函数为： f (x) = ， 其 他Y = X 2 ；求随机变量 Y 的密度函数。3. 设随机变量 X 服从（0， 1）上的均匀分布， Y = -2 ln X，求随机变量 Y 的密度函数。第 2 章作业答案2.1 1：p2：p 0

14、.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2) P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ( e-2 + 2e-2 + 2e-2 )= 2 e-2（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3)

15、P(Y2 | X=3)= 0.45 e-2+ 0.6 17 e-3 = 0.27067 + 0.25391 = 0.524582（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y2)=P( X = 2,Y 2)= 0.27067= 0.516P(Y 2)0.524582.3 1： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) =C 2 0.620.43(2) P(X 3 ) =C 3 0.630.42 + C 4 0.640.4 + 0.655(3) P(X 3 ) = 1 -C 4 0.640.4 - 0.655(4)P(X 1 ) = 1 -50.4552：

16、 至少必须进行 11 次独立射击.2.4 1：（1）P(X0 )=0.5； P (2) X 的分布律为：(0 X 1)= 0.5；P(X1) = 0.5，2： (1) A = 1, (2) P (1 X 2)02.5 1：（1） k = 2 ，（2） F (x) = x 210.50.5=1/6x 00 x 1 ；x 100.5 1（3）P(- 0.5X0.5) =-0.5 f (x)dx = - 0dx + 02xdx = ；4或= F(0,5) F(-0.5) =1 - 0 = 1 。4 41/ x 1 x 2) = 1 - ln 22.6 1： 3/5 2：(1) e-2(2) e-2

17、- e-42.81：Y- 113p0.30.40.32.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：31.25。2： fY 1 ( y) = (1 -y ) 0 y 0 ； 0 其 他0y 0第 3 章 多维随机变量3.1 二维离散型随机变量1.设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2.设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为：试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；(1)P( X= 1) = 0.6

18、；(2)P( X= 1 | Y = 2) = 0.5 ； (3)设 F (x) 是Y 的分布函数， F (1.5) = 0.5 。3.2 二维连续型随机变量k (x + y)0 x 1, 0 y 11.( X、Y ) 的联合密度函数为： f (x, y) = 0 其 他求（1）常数 k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1)；(4) P(X1/2)。kxy 0 x 1, 0 y x2.0( X、Y ) 的联合密度函数为： f (x, y) = 其 他求（1）常数 k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。3.3 边缘密度函数1.设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求

19、 X 与Y 的边缘密度函数。f (x, y) =1 2 (1 + x 2 )(1 + y 2 )- x +,- y +2.设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 X 与Y 的边缘密度函数。e- xf (x, y) = 0 y 1 | Y = 2) = 0.5 ； （3）已知 X 与Y 相互独立。2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 X 与Y 是否相互独立？cxy 2f (x, y) = 0 x 1, 0 y 10 其 他第 3 章作业答案3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X1/2, Y1/2) = 1/8；(3) P(X+Y1) = 1/3；(4) P(X1/

20、2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y1) = 1/6；(3) P(X1/2) = 1/16。+ 1 23.3 1：f X (x) = - 2 (1 + x 2 )(1 + y 2 )dy = (1 + x 2 )- x + ；fY ( y) =+ 1 dx =- (1 + x )(1 + y )2 (1 + y 2 )- y 0；x 0e- yfY ( y) = 0y 0；y 03.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X 与 Y 相互独立。第 4 章 随机变量的数字特

21、征4.1 数学期望1.盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球的个数，则 EX 是：（A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.3x 22 x 42.设 X 有密度函数： f (x) = 80, 求 E( X ),其 他E(2 X - 1), E( 1X 2) ,并求X 大于数学期望 E( X ) 的概率。3.设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为： X Y0 1 2已知 E( XY ) = 0.65 ，0 0.1 0.2 a则 a 和 b 的值是： 1 0.1 b 0.2（A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1；

22、（C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25 。4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求 EX , EY , E( XY + 1) 。f (x, y) = xy0 x 1, 0 y 24.2 数学期望的性质1设 X 有分布律： X 0 1 2 3 则 E( X 2 - 2 X + 3) 是：p 0.1 0.2 0.3 0.4（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.5 y2. 设( X ,Y ) 有 f (x, y) = 4x 2 y 1，试验证E( XY ) = E( X )E(Y ) ，但 X 与Y 0 其 他不相互独立。4.3 方差1.丢一颗均匀的

23、骰子，用 X 表示点数，求 EX ,DX .(x + 1) / 40 x 22.X 有密度函数： f (x) = 0，求 D(X).其 他4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1.设 X (2), Y B(3,0.6),相互独立，则 E( X - 2Y ),D( X - 2Y ) 的值分别是：（A）-1.6 和 4.88； （B）-1 和 4； （C）1.6 和 4.88； （D）1.6 和-4.88.2.设 X U (a,b),Y N (4,3)， X 与Y 有相同的期望和方差，求 a,b 的值。（A） 0 和 8； （B） 1 和 7； （C） 2 和 6； （D） 3 和 5.4.6 独

24、立性与不相关性 矩1.下列结论不正确的是（ ）（A）X 与Y 相互独立，则 X 与Y 不相关；（B）X 与Y 相关，则 X 与Y 不相互独立；（C）E( XY ) = E( X )E(Y ) ，则 X 与Y 相互独立；（D）f (x, y) =f X (x) fY ( y)，则 X 与Y 不相关；2.若COV ( X ,Y ) = 0 ，则不正确的是（ ）（A） E( XY ) = E( X )E(Y ) ；（B） E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ；（C） D( XY ) = D( X )D(Y ) ；（D） D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ；3

25、（ X ,Y ）有联合分布律如下，试分析 X 与Y 的相关性和独立性。XY101.11/81/81/801/801/811/81/81/84.E( XY ) = E( X )E(Y ) 是 X 与Y 不相关的（ ）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5.E( XY ) = E( X )E(Y ) 是 X 与Y 相互独立的（ ）（A） 必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。6.设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证 X 与Y 不相关，但不独立。21x 2 y / 4f (x, y) = x 2 y 1 0 其 他第

26、 4 章作业答案4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；4.2 1： D；4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36；4.4 1：A； 2： B；4.5 1：0.2， 0.355； 2：1/144, 1/11；4.6 1：C； 2：C； 3： X 与Y 不相关，但 X 与Y 不相互独立；4：C；5：A；第 5 章 极限定理*5.1 大数定理5.2 中心极限定理1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。2.某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6 次的概率的近似值。第 5 章作业答案5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；第 6 章 数理统计基础6.1 数理统计