《配方法》数学人教九上.docx

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《配方法》数学人教九上

《21.2.1配方法》教学设计

第1课时

教材分析:

本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：

x²=p和（x+n）²=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据.

教学目标：

【知识与能力目标】

1.使学生知道形如x2＝a（a≥0）的一元二次方程可以用直接开平方法求解；

2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；

3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解；

【过程与方法】

1.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法．

2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一元二次方程，同时为配方法的学习打好基础．

【情感态度与价值观】

通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．

教学重难点：

【教学重点】

使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.

【教学难点】

探究一元二次方程（x－m）2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？

（请设未知数列方程解决）

【解】设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144.

根据平方根的意义，得x＝±

＝±12，

∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12.

∵边长不能为负数，

∴x＝12.

即这个正方形舞台的边长是12米．

【设计意图】用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．

问题2：

（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里．

A：

9（　±3　），5（　±

　），49（　±7　）；

B：

8（　±2

　），24（　±2

　），14（　±

　）；

C：

3（　±

　），1.2（　±

　），2（　±

　）．

（2）．若x2＝4，则x＝__±2__．

【设计意图】通过对平方根的复习为本节课做准备，同时对平方根概念的掌握情况进行教学诊断，起到承上启下的作用．建议：

在做第1小题时最好先让学生回顾平方根和算术平方根的概念．对于第2题，根据平方根的概念求解，从而导出新课．

（2）追问：

什么叫做平方根？

平方根具有哪些性质？

【结论】一个数x的平方等于a，则这个数叫做a的平方根.

性质：

正数的平方根有两个，它们是互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.

【设计意图】通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义，有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程，为学习新知打下基础.

问题3：

（1）如何解一元二次方程x2＝5，m2＝16，x2－121＝0?

（2）你能求出一元二次方程－x2＋3＝0和x2＋1＝0的解吗？

若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．

【解】

（1）∵x²=5，∴x=

.

∵m²=16，∴m=±4.

∵x²-121=0，即x²=121，∴x=±11.

（2）∵-x²+3=0即x²=3，∴x=

.

∵x²+1=0即x²=-1，

由负数没有平方根，故方程无实数根.

【结论】一般地，对于方程x²=p（※），

（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（※）有两个不等的实数根x1=

，x2==

；

（2）当p=0时，方程（※）有两个相等的实数根x1=x2=0；

（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（※）无实数根.

这种解方程的方法叫做直接开平方法.

板书课题：

直接开平方法解一元二次方程

【设计意图】设置问题

（1），使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式；设置问题

（2），通过对一些复杂问题的探究帮助学生更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.并为总结出一般的情况作出铺垫.

问题4：

例1解方程：

（x＋3）2＝5.

【解】x+3=

∴x1=

x2=

.

[变式练习]解一元二次方程：

（1）2（x－8）2＝50；

（2）（2x－1）2－32＝0.

【解】

（1）原方程可化为（x-8）²=25

∴x-8=±5，

∴x1=13，x2=3.

（2）原方程可化为（2x-1）²=32

∴2x-1=

.

∴x1=

，x2=

.

例2　已知x1，x2是一元二次方程3（x－1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（A）

A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3

C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于3

【解】原方程化为（x-1）2=5

∴x=1±

即x1=1-

≈-1.236，x2=1+

≈3.236

故选A.

例3　若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m＋1与2m－4，则

=.

【解】：

方程的解为

，

∴m+1和2m-4是互为相反数，

即（m+1）+（2m-4）=0.

解得，m=1.

∴方程的两个根为2和-2.

即

故答案为4.

【设计意图】题目的设置采用逐步递进、提升的方式，既巩固了直接开平方法，为学习配方法做好铺垫，又使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法.通过拓展练习，及时地反馈学生的学习情况，及时地查漏补缺，进一步提升教学效果.

问题5：

1.课堂总结：

（1）本节课主要学习了哪些知识？

学习了哪些数学思想和方法？

（2）本节课还有哪些疑惑？

说一说！

2．布置作业：

（1）教材第6页练习；

（2）教材第16页习题21.2第1题．

3.知识结构图：

【设计意图】注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.通过构建知识结构图使提纲挈领，重点突出.

教学反思：

1.在复习回顾环节中，教师应给予充分的时间让学生交流、讨论，平方根是直接开平方运算的依据，所以必须使学生清楚平方根的意义；在课堂训练中，教师点名让学生回答问题，从多个角度进行多人次的提问．

2.对于难点问题，教师引导学生注意以下几点：

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，这时方程有两个实根；

（2）若一个数的平方为负数，则方程无实根．

3.本课时难度较小，重视学生自学能力的提高，教师起到引导、点拨、评价的作用．

第2课时

教材分析:

本节课结合具体方程，通过将方程ax²+bx+c=0（a≠0）配方成为能运用开平方法求解方程的形式，进而求出方程的解.配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式做好了知识上的准备，而且也是后续学习二次函数等知识的基础.

教学目标：

【知识与能力目标】

探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．

【过程与方法】

1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．

2.通过配方将其转化为可利用直接开平方法解的一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法：

化未知为已知．

【情感态度与价值观】

通过学生间的交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神．

教学重难点：

【教学重点】会用配方法解一元二次方程；

【教学难点】能够熟练地进行配方；

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

（1）回顾用直接开平方法解一元二次方程的步骤，解下列方程：

①x2＝3；②（x＋3）2＝5；③x2＋6x＋9＝7.

（2）图21－2－1中的两个图形各验证了什么公式呢？

与同伴交流一下．

图21－2－1

（3）将下列各式填上适当的项，配成完全平方式（口头回答）．

①x2＋2x＋__1__＝（x＋__1__）2；②x2－4x＋__4__＝（x－__2__）2；

③x2＋__12x__＋36＝（x＋6）2；④x2＋10x＋__25__＝（x＋__5__）2.

【解】

（1）①x=

，∴x1=

x2=

.

②x+3=

∴x1=

x2=

.

③（x+3）2=7,∴x+3=

∴x1=

x2=

.

（2）完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2.

（3）见题目.

追问：

要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？

学生讨论，发现规律：

常数项是一次项系数一半的平方．

填空：

x2＋

x＋__

__＝

.

【设计意图】1.巩固直接开平方法解方程，为配方法打下基础；2.学会利用完全平方的知识填空，感受配方，为课题的学习做好铺垫.

问题2：

思考：

（1）你会解一元二次方程x2+4x＋4＝0吗？

（2）会解x2+6x＋4＝0吗？

提示：

能否将方程x2+6x＋4＝0转换为直接开平方法的形式再求解？

【解】

（1）（x+2）2=0，∴x+2=0，∴x1=x2=-2.

（2）移项，x2+6x=-4

两边加9，x2+6x+9=5

∴（x+3）2=5.

∴x+3=

∴x1=

x2=

.

板书课题：

配方法解一元二次方程

【设计意图】1.体现启发式教学，每位学生都能参与课堂，循序渐进，充分调动学生的积极性和充满探索的精神；

2．学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程，形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想.

问题3：

例1　解方程：

（1）x2－8x＋1＝0；

（2）3x2－6x＋4＝0.

【师生活动】教师指导学生观察方程的特点，指导学生阐述做题的思路，然后学生给予书写解题过程，教师做好评价和辅导．

解：

（1）移项，x2-8x=-1

∴配方，x2-8x+16=16-1

∴（x-4）2=15

∴x=

∴x1=

x2=

.

（2）移项，3x2-6x=-4

系数化为1，x2-2x=-

配方，x2-2x+1=1-

∴（x-1）2=-

∴方程无实数根.

变式练习：

（1）x2－10x＋9＝0；

（2）2x2＋1＝3x.

答案：

（1）x1=9,x2=1；

（2）x1=1,x2=

.

【设计意图】1.此题的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程；

2.学生不断质疑、解惑，不但完善了思维也锻炼了能力，使学生形成对知识的总体把握.

问题4：

例2　用配方法求2x2－7x＋2的最小值；

解：

2x2－7x＋2=2（（x2-

x）+2

=2（x2-

x+

）-

+2

=2（x-

）2-

∴当x=

时，代数式最小值-

.

变式练习：

求－3x2＋5x＋1的最大值．

答案：

最大值为

.

【设计意图】学生对已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解．这里求二次三项式的最值为后续学习二次函数打下基础.

问题5：

1.课堂总结：

（1）本节课主要学习了哪些知识？

学习了哪些数学思想和方法？

（2）本节课还有哪些疑惑？

说一说！

师生总结：

①移项；②二次项系数化为1；③配方；④开方；⑤得解。

2.布置作业：

教材第9页，练习第1.2题.

3.知识网络图：

【设计意图】注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.

教学反思：

1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.

2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.

3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.