千古第一定理勾股定理.docx

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千古第一定理勾股定理

千古第一定理——勾股定理

　　在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则

a2+b2=c2

　　反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足

a2+b2=c2

　　则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．

　　不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：

（1）勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．

（2）勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．

　　（3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．

　　（4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．

　　3.1勾股定理的历史

　　世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．

　　中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7组，《缉古算经》中有（287，984，102），是明显表出的最大一组勾股数．

　　埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角（图3.1）．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．

　　印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足

a2+b2=c2

的三整数组（a，b，c），在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有

　　12，16，20；15，20，25；

　　5，12，13；15，36，39；

　　8，15，17；12，35，37．

　　不过，他们也没有进一步的结果．

　　现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组（表3.1），其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．

　　3.2勾股定理的几何方面

　　勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．

　　欧几里得的证明（参见图3.3）出现在第二篇命题47中，

　　这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：

　　△ABD≌△FBC，

　　矩形BDLI=2△ABD，

　　正方形GFBA=2△FBC，

　　因此矩形BDLI=正方形GFBA，

　　同样可证矩形CILE=正方形ACKH，

　　两式相加即得定理.

　　第二篇命题48是勾股定理的逆定理：

如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．

　　欧几里得的证明是这样的（参见图3.4）：

　　作AD垂直于AC且等于AB．

　　由题设

AB2+AC2=BC2

　　对直角三角形ACD有

AD2+AC2=DC2

　　∵AB=AD，∴BC2=DC2

　　从而BC=DC

　　由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB为直角．

　　关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．

　　如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于

（a+b）2=a2+2ab+b2；

　　另一方面，大正方形面积又等于

　　因此a2+b2=c2

　　另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为

　　3.3勾股定理的数论方面

　　勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．

　　毕达哥拉斯的公式

x2+y2=z2（3.1）

　　并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．

　　近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程（3.1）的解之后，很容易发现，（3，4，5）是一组解，它们的倍数，比如（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如（45，60，75）．这样我们便得到第一个规律：

　　定理3.1如果（a，b，c）是方程

x2+y2=z2

的一组解，则（ka，kb，kc）也是一组解，其中k是任意整数．

　　这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素（详见4．1．3节）的解，也就是它们的最大公因数（a，b，c）=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．

　　显然（3，4，5）是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如（5，12，13），（7，24，25）等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？

从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是

　　当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．

表3.2

　　要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：

　　但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明（你不妨试试看），从这点出发不难推出它们互素．

　　对于不定方程（3.1）来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为

　　（3.2）

的形式？

答案是否定的，因为

82+152=172，

　　不过，它们可以纳入

（2m,m2-1,m2+1）（3.3）

的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．

　　经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即

（m2-n2,2mn,m2+n2）（3.4）

　　其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．

　　不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程

x2+y2=z2

的每组满足（x,y）=1的解，均可表示为（3.4）的形式．因x，y互素，可证x,y一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此

　　都是整数，而且它们互素．因为

　　即得z=m2+n2,y=m2-n2,x=2mn

　　最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程（3.1）的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式（3.4）表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．

　　勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．

　　在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：

x2+y2=z2

　　有无穷多组解，而

xn+yn=zn（3.5）

　　没有非平凡解（关于平凡解，下面就要讲到）．但是，它们却有许多共同的东西，例如：

（1）它们都是三个变元的齐次不定方程．

（2）由于齐次性，如果（a，b，c）是一组解，那么（ma，mb，mc）也是一组解，这里m是任何一个整数（正数、负数或零）．因此，求解时，我们感兴趣的是（a，b，c）=1的解，这样的解我们称为本原解．

　　（3）无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程（3.5）就成为

　　on+yn=zn

　　xn+on=zn,

　　或者xn+yn=on，

　　这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有（0，-a，a）及（a，0，-a），其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．

　　（4）对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，

　　是任意整数但k≠0．因此若不定方程

xn+yn=zn

　　存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．

　　（5）为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程（3.5）中的zn（假定z≠0）除方程的每一项即可：

　　我们还可以用

（x′）n+（y′）n=1（3.6）

　　表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程（3．5）的数论问题就可以变成方程（3．6）的几何问题．

　　我们不妨把方程（3.6）仍写为x，y的方程

xn+yn=1（3.7）

　　它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程（3．5）的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．

　　现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．

　　首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：

满足不定方程

x2+y2=z2

的本原整数解，都可以表示为

x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2

　　其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．

　　由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为

a＞b，（a,b）=1

　　且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即

x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2

　　也是一组解．

　　根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：

（1）初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；

（2）几何方法；

　　（3）三角方法；

　　（4）复数方法．

　　现分别讲述如下．

　　1．初等方法

　　初等方法分为下面四步．

　　第一步，奇偶性分析．如果（x，y，z）是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：

（1）x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，（x，y，z）不是本原解，它们可以化为更简单的情形．

（2）x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设

x=2m+1，y=2n+1，

　　则

x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1

x2+y2=4（m2+m+n2+n）+2，

　　但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．

　　（3）x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．

　　第二步，因子分解．由于

x2+y2=z2

　　那么，

y2=z2-x2=（z+x）（z-x）

　　由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此

　　都是正整数．

　　整除z+x和z-x，也就可以整除z和x（读者想想为什么），而由式（3.8），p也可以整除y，

　　第四步，利用因子唯一分解定理．

　　由因子唯一分解定理（参见4.3节）可以得出：

如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即

n2=p·q

　　则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．

　　现在

z+x=2a2，z-x=2b2，

　　这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为

x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2

　　而本原条件为

a＞b，（a，b）=1，a，b奇偶性不同．

　　反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．

　　2．几何方法

　　前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程

x2+y2=z2

的整数解问题，变成平面代数曲线

x2+y2=1

　　上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点（1,0）的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为

x+ty=1，（3.9）

　　如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得

（ty-1）2+y2=（1+t2）y2-2ty+1=1，

（1+t2）y2-2ty=0.

　　如y不等于0，则有

　　它所对应的正是勾股方程的本原解

　　x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.

　　3．三角方法

　　现在我们的问题还是求单位圆

　　x2+y2=1

　　上的有理点问题．三角中第一个重要公式是

　　cos2θ+sin2θ=1，

　　因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式

sin2θ=2sinθcosθ，

cos2θ=cos2θ-sin2θ

　　可得

　　这同样可得

x2+y2=1

　　的有理解

　　它对应勾股方程

x2+y2=z2

　　的原本解为

x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2

　　4．复数方法

论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．