学年高考物理主题一第二章匀速圆周运动122匀速圆周运动的向心力和向心加速度学案教科版116.docx
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学年高考物理主题一第二章匀速圆周运动122匀速圆周运动的向心力和向心加速度学案教科版116
1.2.2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
学习目标
核心凝炼
1.理解向心力的概念。
2个概念——向心力、向心加速度
4个表达式——F＝m
、F＝mω2r，a＝
、a＝ω2r
2.知道向心力大小与哪些因素有关，理解公式的含义。
3.理解向心加速度的概念，结合牛顿第二定律得出向心加速度的公式。
4.知道在变速圆周运动中，可用公式求质点在圆周上某一点的向心力和向心加速度。
一、向心力
[观图助学]
（1）图甲中地球绕太阳做匀速圆周运动，地球受到了太阳对它的作用力，这个力可能沿什么方向？
（2）图乙中细线系着小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，小球受到重力、桌面对它的支持力和细线的拉力三个力的作用，这几个力的合力沿什么方向？
答案
（1）由地球指向太阳中心。
（2）沿细线指向圆心。
向心力的定义、方向及作用效果
定义
物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力。
方向
始终沿半径指向圆心。
作用
效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。
来源
向心力是按照力的作用效果命名的。
可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供。
[理解概念]
判断下列说法的正误。
（1）向心力只改变物体的运动方向，不可能改变物体运动的快慢。
（√）
（2）向心力和重力、弹力一样，是性质力。
（×）
（3）向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力。
（√）
二、向心力的大小
[观图助学]
用手拉细绳使小球在光滑水平地面上做匀速圆周运动，在小球质量、角速度、半径不同的条件下，测得的绳的拉力的情况如图所示。
则
（1）质量m、半径r相同，角速度加倍，绳的拉力如何变化？
（2）半径r相同，质量和角速度加倍，绳的拉力如何变化？
（3）质量m相同，角速度和半径加倍，绳的拉力如何变化？
1.实验探究
控制变量
探究内容
ω、r相同，改变m
探究向心力F与m的关系
m、r相同改变ω
探究向心力F与ω的关系
m、ω相同，改变r
探究向心力F与r的关系
2.结论：
F＝m
或F＝mω2r。
[理解概念]
判断下列说法的正误。
（1）匀速圆周运动的物体，合力的大小不变。
（√）
（2）质点做匀速圆周运动受到的合力为零。
（×）
（3）做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是恒力。
（×）
三、向心加速度
[观图助学]
实例1：
卫星绕着地球近似做匀速圆周运动（图甲）。
实例2：
用细绳牵着小球在光滑水平面上做匀速圆周运动（图乙）。
请思考：
做匀速圆周运动的物体有加速度吗？
方向呢？
向心加速度的定义、公式及方向
定义
做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的指向圆心的加速度。
大小
（1）a＝
；
（2）a＝ω2r。
方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速（填“匀加速”或“变加速”）曲线运动。
[理解概念]
判断下列说法的正误。
（1）向心力的作用是改变物体的速度，产生向心加速度。
（√）
（2）匀速圆周运动的加速度大小不变，故此运动是匀变速曲线运动。
（×）
（3）由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比。
（×）
（4）向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（√）
实验：
探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
[探究归纳]
1.实验装置：
向心力演示仪（介绍向心力演示仪的构造和使用方法）
2.实验方法：
控制变量法
3.实验过程
（1）保持两个小球质量m和角速度ω相同，使两球运动半径r不同进行实验，比较向心力F与运动半径r之间的关系。
（2）保持两个小球质量m和运动半径r相同，使两球的角速度ω不同进行实验，比较向心力F与角速度ω之间的关系。
（3）保持运动半径r和角速度ω相同，用质量m不同的钢球和铝球进行实验，比较向心力的大小与质量m的关系。
4.实验结论
两球相同
的物理量
不同的
物理量
实验结论
1
m、ω
r
r越大，F向越大，F向∝r
2
m、r
ω
ω越大，F向越大，F向∝ω2
3
r、ω
m
m越大，F向越大，F向∝m
[试题案例]
[例1]用如图1所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
图1
（1）本实验采用的科学方法是__________。
A.控制变量法B.累积法
C.微元法D.放大法
（2）图示情景正在探究的是__________。
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度大小的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
（3）通过本实验可以得到的结果是__________。
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正反比
解析
（1）这个装置中，控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，故采用控制变量法，A正确。
（2）控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力与质量之间的关系，所以选项D正确。
（3）通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，所以选项C正确。
答案
（1）A
（2）D （3）C
[针对训练1]某兴趣小组用如图2甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。
实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力。
（1）电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为__________。
（2）图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知。
曲线①对应的砝码质量__________（选填“大于”或“小于”）曲线②对应的砝码质量。
图2
解析
（1）物体转动的线速度v＝
由ω＝
计算得出：
ω＝
（2）图中抛物线说明：
向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F＝ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
然后再结合图像中的数据判断是否满足：
在半径相同的情况下，F∝mω2。
答案
（1）
（2）小于
向心力的理解
[观察探究]
（1）甲图中小球受几个力作用？
合力的方向如何（不计空气阻力）?
（2）乙图地球中受什么力作用？
（3）丙图中“旋转秋千”（模型）受几个力作用？
合力的方向如何（不计空气阻力）?
（4）这三个实例中，物体做匀速圆周运动时合力的方向与线速度方向有什么关系？
合力在匀速圆周运动中起到什么样作用？
答案
（1）甲图中小球受绳的拉力、水平地面的支持力和重力的作用，合力等于绳对小球的拉力。
（2）乙图中地球受太阳的引力作用。
（3）丙图中秋千受重力和拉力共同作用，合力在水平方向上。
（4）合力的方向与线速度的方向垂直。
合力提供物体做匀速圆周运动所需的向心力，其作用效果是改变线速度的方向。
[探究归纳]
1.对向心力公式的理解
（1）F向＝m
的含义是质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动时所需的合力（向心力）的大小为m
。
（2）F向＝mω2r的含义是质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动时所需的合力（向心力）的大小为mω2r。
（3）当物体所受到的合力满足大小等于m
或mω2r，并且方向总是垂直于线速度方向时，物体就会做匀速圆周运动。
2.效果
向心力因其方向时刻指向圆心而得名，是效果力。
它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以提供向心力。
受力分析时不分析向心力。
3.匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度大小不变的圆周运动
线速度大小不断变化的圆周运动
运动特点
F向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
向心力由F合沿半径方向的分力提供
[试题案例]
[例2]对做圆周运动的物体所需要的向心力说法正确的是（ ）
A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力是物体所受的合外力
D.向心力的方向是不变的
【思路探究】
（1）向心力是标量还是矢量？
向心力的方向有什么特点？
（2）向心力与线速度方向垂直，向心力改变线速度的大小吗？
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，故A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，故B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，故C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，故D错误。
答案 B
向心力与合外力的关系
（1）向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种特定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。
（2）对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力。
（3）无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力。
[针对训练2]（多选）上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8000m，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300m，一个质量为50kg的乘客坐在以360km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2500m的弯道，下列说法正确的是（ ）
A.乘客所需要的向心力大小约为200N
B.乘客所需要的向心力大小约为539N
C.乘客所需要的向心力大小约为300N
D.弯道半径设计的特别大可以使乘客在转弯时更舒适
解析 由Fn＝m
，可得Fn＝200N，故A正确；设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，故D正确。
答案 AD
向心加速度的理解
[观察探究]
下面图像是大量实验表明的规律，则
（1）向心加速度a与线速度的平方v2有什么比例关系？
向心加速度a与半径r有什么比例关系？
（2）向心加速度a与半径r有什么比例关系？
向心加速度a与角速度的平方ω2有什么比例关系？
答案
（1）当r一定时，a与v2成正比；当v一定时，a与r成反比。
（2）当ω一定时，a与r成正比；当r一定时，a与ω2成正比。
[探究归纳]
1.向心加速度的几种表达式
2.圆周运动的性质
不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
3.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动
（1）物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足a＝
＝ω2r。
（2）无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度都指向圆心。
[试题案例]
[例3]如图3所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。
已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。
A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（ ）
图3
A.1∶2∶3B.2∶4∶3
C.8∶4∶3D.3∶6∶2
【思维导图】
解析 因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率。
根据向心加速度公式a＝
，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。
由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同。
根据向心加速度公式
a＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。
由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选项C正确。
答案 C
分析向心加速度时两点注意
（1）向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。
（2）在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应先确定各点是线速度相等，还是角速度相同。
在线速度相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比。
[针对训练3]（2018·安徽师范大学附中高一下期中）（多选）放在赤道上的物体1和放在北纬60°处的物体2，由于地球的自转，它们的（ ）
A.角速度之比为ω1∶ω2＝1∶1
B.线速度之比为v1∶v2＝2∶1
C.向心加速度之比为a1∶a2＝2∶1
D.向心加速度之比为a1∶a2＝4∶1
解析 因为两物体同轴转动，所以角速度相等，周期也相等，即T1＝T2，ω1＝ω2，故A正确；由题意知，物体1处于赤道，设1的运动半径为R，物体2处于北纬60°，运动半径为
，由v＝ωr知v1∶v2＝2∶1，故B正确；由a＝ω2r可知，所以a1∶a2＝2∶1，故C正确，D错误。
答案 ABC
分析综合等方法在匀速圆周运动问题的具体运用
【针对练习】 质量相等的小球A和B分别固定在轻杆的中点及端点，如图4所示。
当杆在光滑水平桌面上绕O点匀速转动时，求杆OA段及AB段对小球的拉力之比。
图4
【思路探究】
（1）小球A和B绕O点匀速转动时，两者角速度有什么关系？
（2）小球B的合力与AB段对B球的拉力有什么关系？
（3）对小球A进行受力分析，杆OA段、AB段对小球A的拉力情况是怎样的？
小球A的合力与杆OA段、AB段对小球A的拉力有什么关系？
解析 设小球质量为m，两者角速度为ω，OA长为L，则OB长为2L。
由受力分析可知，杆OA段对A球的拉力F1减去杆AB段对A球的拉力F2等于A球运动的向心力，即F1－F2＝mω2L。
杆AB段对B球的拉力F2′（F2′＝F2）等于B球运动的向心力，即F2＝F2′＝2mω2L
可得F1∶F2＝3∶2。
答案 3∶2
向心力来源的分析可以从力的分解来考虑，也可以从力的合成来考虑。
向心力公式的选用要注意取其所需，即题中所要求或涉及的物理量。
1.（向心力的理解）（多选）对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是（ ）
A.合力的大小不变，方向一定指向圆心
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C.合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
解析 匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A正确；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，D正确；由于合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，故C错误。
答案 AD
2.（向心加速度的理解）（多选）关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.由a＝
可知，a与r成反比
B.由a＝ω2r可知，a与r成正比
C.由a＝
可知，当v一定时，a与r成反比
D.由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
解析 利用a＝
和a＝ω2r来讨论a与r的关系时，应该先明确v与ω的情况，不能单从数学关系出发，故选项A、B错误，C正确；由ω＝2πn可知，式中的2π是常数，故ω与n成正比，所以选项D正确。
答案 CD
3.（传动装置中的向心加速度）（2018·河南郑州一中高一下期中）如图5，靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点、距轴为r；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点；小轮半径为r，c为它边缘上的一点。
若传动中靠轮不打滑，则下列说法错误的是（ ）
图5
A.a点与d点的向心加速度大小之比为1∶4
B.a点与c点的线速度之比为1∶1
C.c点与b点的角速度之比为2∶1
D.b点与d点的周期之比为2∶1
解析 因为a、c两点靠摩擦传动，则a、c两点的线速度之比为1∶1，c、d两点角速度相等，根据v＝rω知，a、c两点的角速度之比为1∶2，a、b两点的角速度相等，所以c、b两点的角速度之比为2∶1，b、d两点的角速度之比为1∶2，根据T＝
，可知b点与d点的周期之比为2∶1，故B、C、D说法正确；因为a、c两点的角速度之比为1∶2，c、d两点的角速度相等，所以a、d两点的角速度之比为1∶2，a、d两点的半径之比为1∶2，根据a＝rω2知，a、d两点的向心加速度之比为1∶8，故A说法错误。
答案 A
4.（圆周运动的向心力及有关计算）如图6所示，质量为1kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2m/s，已知球心到悬点的距离为1m，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求小球在最低点时对绳的拉力的大小。
图6
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力T提供（如图所示），
即T－mg＝
所以T＝mg＋
＝（1×10＋
）N＝14N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14N。
答案 14N
合格性检测
1.（2018·湖北西南三校合作体高一下期中）对于做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是（ ）
A.速度和加速度均不变
B.速度不变，加速度为零
C.速度和加速度均改变
D.速度改变，加速度不变
解析 匀速圆周运动的线速度和加速度的大小不变，方向时刻改变。
所以速度和加速度均改变，故C正确。
答案 C
2.（多选）关于向心加速度，以下说法中正确的是（ ）
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。
物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选项A、D正确。
答案 AD
3.如图1所示，两轮压紧，通过摩擦传动（不打滑），已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是（ ）
图1
A.aC＝aD＝2aEB.aC＝2aD＝2aE
C.aC＝
＝2aED.aC＝
＝aE
解析 同轴转动，C、E两点的角速度相等，由a＝ω2r，有
＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点的线速度大小相等，由a＝
，有
＝
，即aC＝
aD，故选项C正确。
答案 C
4.如图2所示，一小球绕圆心O做匀速圆周运动，已知圆周半径为r，小球转动的角速度为ω，则它运动的向心加速度大小为（ ）
图2
A.
B.ωrC.ω2rD.ωr2
解析 小球的半径r和角速度ω已知，则小球的线速度大小为v＝ωr，根据向心加速度公式a＝
，得a＝ω2r，故C正确。
答案 C
5.如图3所示，上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98m，世界排名第五。
游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25min，下列说法中正确的是（ ）
图3
A.乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
B.乘客运动的加速度始终保持不变
C.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动
D.每时每刻，每个乘客受到的合力都不等于零
解析 做匀速圆周运动的物体，在运动过程中具有向心加速度，所以受到的合力一定不为零。
乘客受到重力以及座位对人的作用力，两力的合力充当向心力，由于重力是恒定的，而乘客的向心加速度方向在变化，即向心力方向在变化，所以座位对乘客的作用力在变化，即乘客在乘坐过程中对座位的压力在变化。
故A、B、C错误，D正确。
答案 D
6.如图4所示，甲、乙两快艇在湖面上做匀速圆周运动。
关于两快艇的运动，下列说法正确的是（ ）
图4
A.若两快艇运动的周期相等，半径较小的向心加速度较大
B.若两快艇运动的线速度大小相等，半径较小的向心加速度较大
C.若两快艇运动的角速度相等，半径较小的向心加速度较大
D.若两快艇运动的线速度大小相等，半径较大的向心加速度较大
解析 根据公式a向＝
可得，若两快艇运动的周期相等，半径较小的向心加速度较小，A错误；根据公式a向＝
可得，若两快艇运动的线速度大小相等，半径较小的向心加速度较大，B正确，D错误；根据公式a向＝ω2r可得，若两快艇运动的角速度相等，半径较小的向心加速度较小，C错误。
答案 B
7.如图5所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么（ ）
图5
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确。
答案 D
8.如图6所示，长为l的细线一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，让小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，细线与竖直方向成θ角，重力加速度为g，求小球运动的向心加速度大小。
图6
解析 法一 小球在水平面内做匀速圆周运动，受力分析如图所示，
小球受到的重力和细线拉力的合力提供小球的向心力，
根据牛顿第二定律，有mgtanθ＝ma
解得a＝gtanθ
法二 小球在水平面内做匀速圆周运动，根据向心加速度的公式，有a＝ω2r
根据几何关系，有r＝lsinθ
联立上式，解得a＝ω2lsinθ。
答案 gtanθ（或ω2lsinθ）
等级性检测
9.（2018·徐州高一检测）链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图7所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是（ ）
图7
解析 设链条长为L，链球质量为m，则链球做圆周运动的半径r＝Lsinθ，向心力F＝mgtanθ，而F＝mω2r。
由以上三式得ω2＝
·
，即ω2∝
，D正确。
答案 D
10.（多选）如图8所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是（ ）
图8
A.线速度vA＞vB
B.运动周期TA＞TB
C.它们受到的摩擦力fA＞fB
D.筒壁对它们的弹力NA＞NB
解析 由于两物体角速度相等，而rA＞rB，所以vA＝rAω＞vB＝rBω，A项正确；由于ω相等，则T
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