湖南省娄底市学年高一上学期期末数学试题 1.docx
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湖南省娄底市学年高一上学期期末数学试题1
湖南省娄底市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．下列说法中正确的是（）
A．圆锥的轴截面是等边三角形
B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台
C．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
3．以为圆心，且经过点的圆的方程是（）
A．B．
C．D．
4．函数的零点所在区间为（）
A．B．
C．D．
5．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，则实数（）
A．1B．C．D．
7．如图，在长方体中，为棱上的点，且，过三点的平面把长方体分成两个部分，记多面体的体积为，三棱锥的体积为，则（）
A．14B．15C．16D．17
8．函数的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
9．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
10．已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
12．已知函数的图象分别如图1，2所示，方程，的实根个数分别为a、b、c，则（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．函数的定义域为___________.
14．已知直线与直线垂直，则________.
15．已知直线与圆的两个交点关于直线对称，则_______.
16．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.
三、解答题
17．设集合.
（1）全集，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
18．已知的顶点坐标分别为，，．
（1）求边上的中线所在的直线的方程；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，且，平面，分别为棱的中点.
（1）证明：
平面.
（2）若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
20．已知圆.
（1）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程；
（2）已知圆的圆心在直线上，且与圆外切于点，求圆的方程.
21．某工艺公司要对某种工艺品深加工，已知每个工艺品进价为20元，每个的加工费为n元，销售单价为x元.根据市场调查，须有，，，同时日销售量m（单位：
个）与成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时，日销售量为1000个.
（1）写出日销售利润y（单位：
元）与x的函数关系式；
（2）当每个工艺品的加工费用为5元时，要使该公司的日销售利润为100万元，试确定销售单价x的值.（提示：
函数与的图象在上有且只有一个公共点）
22．已知二次函数.
（1）若是的两个不同的根，是否存在实数，使成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（2）设，函数已知方程恰有3个不同的根.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设分别是这3个根中的最小值与最大值，求的最大值.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
化简集合，根据交集的定义，结合数轴，即可求解
【详解】
因为，，
所以.
故选:
B.
【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题.
2．D
【分析】
根据圆锥的结构特征即可判断A选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C；由棱柱的定义即可判断选项D.
【详解】
圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确．
【点睛】
解决空间几何体结构特征问题的3个策略
（1）把握几何体的结构特征，提高空间想象力．
（2）构建几何模型、变换模型中的线面关系．
（3）通过反例对结构特征进行辨析．
3．A
【分析】
由题可知圆心和半径，代入圆的标准方程即可.
【详解】
设所求圆的半径为，则，
故所求圆的方程是.
故选：
A.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
令函数f（x）＝0得到，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．
【详解】
令0，
可得，
再令g（x）＝2x，，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（，1），
从而函数f（x）的零点在（，1），
故选Ｃ．
【点睛】
本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．
5．B
【分析】
由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.
【详解】
设圆柱的底面半径为．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为．因为该圆柱的体积为，，解得，所以该圆柱的侧面积为．
【点睛】
设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积，体积.
6．C
【分析】
利用分段函数中的三个区间分别讨论对进行求解即可.
【详解】
当时,显然无解.
当时,
有不满足.
当时,
有满足.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型.
7．D
【分析】
设长方体的体积和底面面积，从而计算出三棱锥体积，用长方体体积减去三棱锥体积求得剩余多面体的体积，求得比值.
【详解】
设长方体的体积为，底面的面积为，
由题意可得，
则，故.
故选：
D.
【点睛】
本题考查长方体中的截面问题，涉及棱锥体积、不规则几何体体积的求解.
8．C
【分析】
根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.
【详解】
由题意，，即是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，，排除D
故选：
C.
【点睛】
本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.
9．B
【分析】
选项A由线面垂直的性质定理可得；选项B，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D，找到反例即可.
【详解】
A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得；B选项正确，若，则存在，在平面内存在，由，可得，由线面垂直的判定定理可得；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“在平面内或者平行于”这个条件，才能判定；D选项不正确，直线可能在平面上．
【点睛】
解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点
（1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．
（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
（3）会举反例或用反证法推断命题是否正确．
10．A
【分析】
在上恒成立，则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得，求解即可得出结论.
【详解】
因为在上恒成立，
所以解得.
故选:
A.
【点睛】
本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.
11．A
【分析】
通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.
【详解】
解：
因为，，，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.
故选：
【点睛】
本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.
12．A
【分析】
结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定a,b,c的值，即可求解.
【详解】
由方程，可得.
此方程有4个实根，
所以方程有4个实根，则；
由方程，可得或.
所以方程有2个实根，则，
由方程，可得或或或，
这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0.
则.
故，
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结合，属于难题.
13．
【分析】
根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可.
【详解】
因为，
所以，
即
解得，
所以函数的定义域为,
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，属于中档题.
14．2.
【分析】
两直线垂直，则其斜率相乘为-1，由此求得.
【详解】
因为，所以，所以.
故答案为：
2.
【点睛】
本题考查由直线垂直求参数的值，属基础题.
15．
【分析】
由题意可得直线与直线互相垂直且直线过圆心，由此可列出关于，的方程组，解出方程组即可得结果.
【详解】
由题意可得解得，，
故，
故答案为：
.
【点睛】
本题主要考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的对称性，属于中档题．
16．
【分析】
先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，
于是等价转化为，得，即对任意的，，从而有，即可求解.
【详解】
因为，
所以为奇函数，且定义域为R.
又因为函数在上为增函数
所以在上为减函数，
从而在R上为减函数.
于是等价于
，
所以，即.
因为，所以，所以，
解得.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.
17．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）求出集合，再按集合运算法则计算；
（2）说明，由集合的包含关系列出的不等关系可求解，注意讨论为空集的情形。
【详解】
（1）
.
.
（2）.
当时，.
当时，依题意得，解得,
综上所述，的取值范围是.
【点睛】
本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，属于基础题。
18．
（1）；
（2）
【分析】
（1）求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式；
（2）由直线与直线平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式．
【详解】
（1）设的中点为，因为，，所以．
因为直线的斜率，所以所求直线的方程为，即．
（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率．
故的方程为，即．
【点睛】
本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题．
19．
（1）证明见详解；
（2）.
【分析】
（1）在平面PBC中，找到与直线EF平行的直线，由线线平行，推出线面平行；
（2）由等体积法，求得点A到平面PBC的距离.
【详解】
（1）证明：
取的中点，连接，作图如下：
因为为棱的中点，所以.
因为底面是菱形，所以，
所以.
因为为棱的中点，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）连接.因为底面是边长为4的菱形，且，
所以，菱形的面积为.
因为平面，所以四棱锥的体积
，
所以，则，
故的面积为.
设点到
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