最新人教版七年级数学初一下册第八章二元一次方程组教案设计.docx

最新人教版七年级数学初一下册第八章二元一次方程组教案设计.docx

《最新人教版七年级数学初一下册第八章二元一次方程组教案设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新人教版七年级数学初一下册第八章二元一次方程组教案设计.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新人教版七年级数学初一下册第八章二元一次方程组教案设计

8.1二元一次方程组

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

深刻理解方程组解的意义，并会利用解的概念解决问题．

数学思考

在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型，进而感受方程思想．

解决问题

能够判断一个方程组是否是二元一次方程组；

能够利用二元一次方程组解的概念解决相关问题．

情感态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性．

重点

对二元一次方程组解的意义的理解和运用．

难点

对二元一次方程组解的概念的理解和转化能力．

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1鸡兔同笼问题．

活动2体验二元一次方程组的优点．

活动3巩固练习．

活动4解决问题

小结与作业

创设情境、主体探究，引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念．

应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生应用知识的能力以及创新能力．

复习巩固、归纳总结．

教学过程设计

一、创设情境、主体探究，引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念

活动1

问题：

（投影）

一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各多少只？

教师提出：

这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？

先让学生思考一下，自己做出解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出各种解法．

　　解法一：

在分析时，可提出如下问题：

　　1．50只动物都是鸡，对吗？

　　（不对，因为50只鸡有100只脚，脚数少了．）

　　2．50只动物都是兔子对吗？

　　（不对，因为50只兔子共有200只脚，脚数多了．）

　　3．一半是鸡，一半是兔子对吗？

　　（不对，因为25只鸡，25只兔共有150只脚，多10只脚．）

　　怎么办？

（在学生思考后，教师指出：

我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决．）

　　4．若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？

　　（当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只．）

　　5．现在你是否知道有几只鸡、几只兔？

　　（若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多10只脚，做出5次如问题4所述的方法进行调整，即增加5只鸡，减少5只兔，则多出的10只脚就没有了，故答案是30只鸡、20只兔．）

　　此时，教师指出：

这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字50和140比较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了．然后提出问题：

是否有其他方法来解决这个问题呢？

（若学生在思考后，还很茫然，则教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．由一名学生板演，其余学生自行完成）

　　解法二：

设有x只鸡，则有（50-x）只兔．根据题意，得2x＋4（50-x）=140．

　　（解方程略）

　　追问：

对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其他方法可解？

（若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？

让学生自己设未知数，列方程．然后请一名学生板演解所列的方程．）

　　解法三：

设有x只鸡，y只兔，依题意得

　　x＋y=50，

　　2x+4y=140．

　　针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

　　1．结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？

　　2．为什么叫二元一次方程呢？

　　3．什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：

含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程．

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．

进而归纳二元一次方程组的定义以及二元一次方程组的解的定义．

两个二元一次方程和在一起，就组成了二元一次方程组．

从解法一，我们还知道，x=30，y=20，使方程组中每一个方程成立．所以我们把

叫做二元一次方程组

的解．

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

活动2

问题

将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？

（若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：

当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，进一步体会二元一次方程的优点．）

活动3巩固练习（教材）

此活动的设计意图是让学生进一步巩固对二元一次方程（组）的认识，加深方程意识．

二、应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生的应用知识的能力以及创新能力

活动４　解决问题．

问题1现有一些边长相等的正三角形、正方形瓷砖，用这两种瓷砖围绕一点拼地板，有几种拼法？

谈谈你的看法．

学生活动设计：

小组讨论，分组探索，然后每组派一人进行交流．学生根据思考、讨论可以发现，围绕一点拼地板，必须满足在这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是360°，于是可以设围绕一点的正三角形有x个、正方形有y个，得到二元一次方程60x＋90y＝360，即2x＋3y＝12，进一步探索这个二元一次方程的解（正整数解），经过讨论可以得到这个二元一次方程的正整数解是

，即围绕一点用正三角形、正方形拼地板只有一种情况：

用3个正三角形、2个正方形

教师活动设计：

参与学生的讨论，在学生找不到等量关系（这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是360°）时，进行适当启发和引导，在学生交流时，可能会出现“试出来”的情况，此时可以让学生讨论如何用数学的知识进行解释．

〔解答〕设围绕一点有x个正三角形，y个正方形，则

60x＋90y＝360，

即：

2x＋3y＝12．

这个二元一次方程的正整数解只有

，

围绕一点只能用3个正三角形、2个正方形拼地板．

问题2写出一个二元一次方程组使它的解是

学生活动设计：

学生分组讨论进行探索，充分发挥学生的主体性，利用学生的智慧编出各种各样的二元一次方程，然后进行交流．

教师活动设计：

给予学生充分的思考问题的时间和空间，这样才能充分展示学生的创新能力．

三、归纳小结、布置作业

小结：

让学生回答以下问题：

1．本节课学习了哪些内容？

2．什么叫二元一次方程？

3．什么叫二元一次方程组？

4．什么叫二元一次方程组的解？

作业：

习题8.1

8.3实际问题与二元一次方程组

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题．

数学思考

通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性．

解决问题

使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解．

情感态度

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨慎密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想.

重点

能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程或方程组解决实际问题．

难点

准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性．

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

探究1养牛场问题

探究2种植面积问题

探究3运输问题

小结与作业

创设问题情境，激发学生兴趣，引起探索渴望．

主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性．

问题解决，在交流解法的过程中培养学生的语言表述能力以及交流能力．

复习巩固、归纳总结．

教学过程设计

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引起探索渴望．

探究1：

养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约需要饲料940kg．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需要饲料18～20kg，每只小牛1天约需要7～8kg．你能否通过计算检验他的估计？

探究2：

根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200m，宽100m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？

图1

探究3：

如图2，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运往B地．公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路的运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

图2

二、主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性

活动1：

对上述问题进行探究，表述自己的解答方案．

学生活动设计：

学生首先独立思考，在独立思考的基础上进行合作交流．

对于探究1：

学生分析题意，发现存在这样的相等关系：

（1）30只大牛1天所需饲料＋15只小牛1天所需饲料＝1天的饲料总量；

（2）42只大牛1天所需饲料＋20只小牛1天所需饲料＝后来1天的饲料总量．根据上述相等关系，可以设未知数列出方程组（比如可以设平均每只大牛和每只小牛1天各需饲料约xkg、ykg，有方程组

），求出解后要对解进行检验，说明李大叔的估计的准确性．

对于探究2：

学生自己画出示意图，找出一种种植方案（近似，然后通过计算确定数据），根据学生思维的特点，可能有如下种植方案，此时可以设AE=x，BE＝y，然后根据问题中的产量、长度找到相等关系，列出方程组

，解出方程组的解后解释具体方案．

对于探究3：

学生经过分析可以发现其中的数量关系有，

（1）两段公路费共有15000元；

（2）两段铁路总费用是97200元，销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，可以设产品重x吨，原料重y吨，于是从A到化工厂铁路费是120y×1.2、公路费用是10y×1.5元；从化工厂到B地的铁路费是110x×1.2、公路费用是20x×1.5元．

于是有方程组

，解出结果后，进行检验，进一步计算这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元．

教师活动设计：

本节课的主要目的，是使学生在探究如何用方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性的能力，同时这些问题要比以前的问题更接近现实，因此分析、解决的难度也要大一些．对于这些问题不能像对待前面的例题一样，应充分发挥学生的自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流．

探究1是有关牛饲料的问题，学生分析解决问题后要对李大叔的估计作出判断，从而要求进行精确计算．

探究2是一个开放性的问题，其解决方法不止一种，通过此问题的解决，让学生体会一题多解的问题情境，学习从多角度考虑问题；分析这个问题，提醒学生注意：

（1）要把这个长方形分成两个长方形；

（2）两块地分别种甲、乙两种作物，它们的产量比是3:

4．

首先可以考虑前一个要求，容易想到划分的方法是沿这块土地的边的方向画线．在此基础上考虑另一要求，这就与长方形面积以及两种作物的产量比有关了．（注意此时得到的答案不是整数值，为了符合要求需要取近似值．）

探究3索要的答案是一个值，但是直接设这个值为未知数列方程不太容易．为此可以引导学生设间接的未知数，即先设产品数量和原料数量分别为x、y，解出它们后再计算问题索要的答案．另外在探究3的解决过程中，注意培养学生从图表中获取信息的能力．

最后引导学生归纳：

方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具，列出方程组要根据问题中的数量关系，得出方程组的解后要进一步考虑它是否符合问题的实际意义．

三、问题解决，在交流解法的过程中培养学生的语言表述能力以及交流能力．

〔解答〕

探究1：

设平均每只大牛和每只小牛各需饲料约xkg、ykg，则

，

解得

．

因此饲养员李大叔对大牛的食量估计较为准确，而对小牛的食量的估计偏高．

探究2：

如图这种种植方案，设AE=x，BE＝y，则

，

解得

，

由于结果要取整数，

可以确定这种种植方案是：

过长方形土地的长边上离一端约为106米处，把这个长方形分为两个长方形．较大的一块种甲种农作物，较小的一块种乙种农作物．

探究3：

设产品重x吨，原料重y吨，则

，

解得

，进而计算得到这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．

四、归纳小结、布置作业．

小结：

本节你遇到了哪些问题？

你是怎样解决的？

作业：

1．已经进入汛期，七年级二班的同学们到水库调查了解汛情．水库一共有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库．同学们经过一天的观察和测量，做了如下记录：

上午打开一个泄洪闸，在2小时内水位继续上升了0.06米；下午再打开2个泄洪闸后，4小时水位下降了0.1米．目前水位仍超过安全线1.2米．

（1）如果打开5个泄洪闸，还需几小时水位降到安全线？

（2）如果防汛指挥部要求6小时内使水位降到安全线，至少应该打开几个泄洪闸？

〔解答〕

设河水的流入使水位上升x米/时，每个闸门泄洪可以使水位下降y米/时，则有

，解得

．

（1）设打开5个泄洪闸，需t小时水位降到安全线，则有

0.0575t－0.0275×5t＝－1.2，t＝15时．

（2）设打开n个闸门，需要6小时水位降到安全线，则有

6×0.0575－6×0.0275n＝－1.2，n≈9.36，因此应打开10个闸门．

2．习题8.3．

8.4三元一次方程组解法举例

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

1．了解三元一次方程组的定义；

2．掌握三元一次方程组的解法；

3．进一步体会消元转化思想．

数学思考

使学生进一步体验解多元方程组的过程，熟悉多元方程组的解法，进而感受消元转化的思想．

解决问题

掌握解三元一次方程组的基本思路；

使学生能够顺利地解简单的三元一次方程组．

情感态度

使学生在学习的过程中体会数学思想，感受成功，体验成长．

重点

三元一次方程组的解法及主要思路．

难点

消元转化思想的理解和应用．

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节要研究的内容．

二、主体探究，培养学生解决问题的能力．

三、自主练习、巩固新知．

四、小结与作业．

通过活动1和活动2，使学生了解三元一次方程组的概念以及解三元一次方程组的整体思路．

通过问题1和问题2的解决，使学生理解并掌握三元一次方程组的解法，进一步熟悉解多元方程组的思路――消元转化．

通过练习，巩固新学的知识，进一步强化三元一次方程组的解法以及思路．

归纳小结、复习巩固．

教学过程设计

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节要研究的内容．

活动1纸币问题

小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？

学生活动设计：

自然想法是，设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程:

x+y+z=12,

x+2y+5z=22,

x=4y.

这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此可以把三个方程合在一起写成

教师活动设计：

在学生活动的基础上，适时给出三元一次方程组的概念，并激发学生探究其解法的热情．

三元一次方程组：

含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

活动2讨论如何解三元一次方程组

我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

观察方程组：

①

②

③

仿照前面学过的代入法，可以把

分别带入

，得到两个只含y，z的方程：

4y＋y＋z＝12

4y＋2y＋5z＝22

即

得到二元一次方程组后就不难求出y和z的值，进而可以求出x了．

总结：

解三元一次方程组的基本思路是：

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即

消元消元

二、主体探究，培养学生解决问题的能力．

问题1：

解三元一次方程组

①

②

③

分析：

方程

只含x，z，因此可以由

消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程

组成一个二元一次方程组．

解：

×3＋

，得

11x＋10z＝35

与

组成方程组

解这个方程组，得

把x＝5，z＝－2代入

得

因此三元一次方程组的解为

问题2在等式

中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a、b、c的值．

分析：

把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．

解：

根据题意得三元一次方程组

①

②

③

-

，得

a＋b＝1；

-

，得

4a＋b＝10．

与

组成二元一次方程组

解之

把

代入

，得

c＝－5．

因此，

答：

a＝3，b＝－2，c＝－5．

三、自主练习、巩固新知

1．解下列三元一次方程组

（1）

（2）

2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一．求这三个数．

四、小结与作业

小结：

本节内容：

1．三元一次方程组的解法；

2．解多元方程组的思路――消元．

作业：

习题8.4