坐标系与参数方程联系题真题含答案.docx

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坐标系与参数方程联系题真题含答案

1、在极坐标系下，圆O：

ρ＝θ＋θ和直线l：

ρ＝（ρ≥0,0≤θ＜2π）．

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

解：

（1）圆O：

ρ＝θ＋θ，即ρ2＝ρθ＋ρθ，

故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρ＝，即ρθ－ρθ＝1，

那么直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

（2）由

（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，

将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为（0,1），

将（0,1）转化为极坐标为即为所求．

2、圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·＝2.

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

解：

（1）由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρ＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρθ＋ρθ＝1，

即ρ＝.

3、（2017·全国卷Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段上，且满足·＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△面积的最大值．

解：

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1＞0）．

由题设知＝ρ，＝ρ1＝.

由·＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4θ（ρ＞0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB＞0），

由题设知＝2，ρB＝4α，于是△的面积

S＝·ρB·∠＝4α·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△面积的最大值为2＋.

4、（2015·全国卷Ⅰ）在直角坐标系中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）假设直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2的面积．

解：

（1）因为x＝ρθ，y＝ρθ，

所以C1的极坐标方程为ρθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρθ－4ρθ＋4＝0.

（2）将θ＝代入ρ2－2ρθ－4ρθ＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即＝.

由于C2的半径为1，

所以△C2的面积为.

5．（2016·全国卷Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4θ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足α0＝2，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解：

（1）消去参数t得到C1的普通方程为x2＋（y－1）2＝a2，那么C1是以（0,1）为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρθ，y＝ρθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρθ＋1－a2＝0.

（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

假设ρ≠0，由方程组得162θ－8θθ＋1－a2＝0，

由θ＝2，可得162θ－8θθ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去）或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．

所以a＝1.

6．（2018·洛阳模拟）在直角坐标系中，圆C的方程为x2＋（y－2）2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρ＝5，射线：

θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段的长．

解：

（1）将x＝ρθ，y＝ρθ代入x2＋（y－2）2＝4，

得圆C的极坐标方程为ρ＝4θ.

（2）设P（ρ1，θ1），那么由

解得ρ1＝2，θ1＝.

设Q（ρ2，θ2），那么由

解得ρ2＝5，θ2＝.

所以＝ρ2－ρ1＝3.

7．在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设的中点为P，求直线的极坐标方程．

解：

（1）由ρ＝1得ρ＝1.

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M（2,0）．

当θ＝时，ρ＝，所以.

（2）由

（1）知M点的直角坐标为（2,0），N点的直角坐标为.

所以P点的直角坐标为，那么P点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

8．（2018·福建质检）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2θ，曲线C3：

θ＝（ρ>0），A（2,0）．

（1）把C1的普通方程化为极坐标方程；

（2）设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△的面积．

解：

（1）因为C1的普通方程为（x－2）2＋y2＝4，

即x2＋y2－4x＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρθ＝0，即ρ＝4θ.

（2）依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.

将θ＝代入ρ＝4θ，得ρ1＝2，

将θ＝代入ρ＝2θ，得ρ2＝1，

所以＝|ρ1－ρ2|＝2－1.

依题意，点A（2,0）到曲线θ＝（ρ>0）的距离

d＝＝1，

所以S△＝·d＝×（2－1）×1＝－.

9．（2018·贵州适应性考试）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4θ，曲线C2的极坐标方程为ρ2θ＝θ.

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为α的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求·的取值范围．

解：

（1）由曲线C2的极坐标方程为ρ2θ＝θ，

两边同乘以ρ，得ρ22θ＝ρθ，

故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.

（2）射线l的极坐标方程为θ＝α，＜α≤，

把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得＝ρ＝4α，

把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得＝ρ＝，

∴·＝4α·＝4α.

∵＜α≤，

∴·的取值范围是.

（1）过点M（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．

（2）圆心在点M0（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）．

（3）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的参数方程为（φ为参数）．

（4）双曲线－＝1（a>0，b>0）的参数方程为（θ为参数）．

10、（2017·全国卷Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）假设a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）假设C上的点到l距离的最大值为，求a.

解：

（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，

由解得或

从而C与l的交点坐标为（3,0），.

（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，

故C上的点（3θ，θ）到l的距离为

d＝.

当a≥－4时，d的最大值为.

由题设得＝，解得a＝8；

当a＜－4时，d的最大值为.

由题设得＝，解得a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

2．结论要记

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.

（1）弦长l＝1－t2|；

（2）弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

（3）0M10M2|＝1t2|.

11．（2018·湖南五市十校联考）在直角坐标系中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：

（θ为参数）相交于不同的两点A，B.

（1）假设α＝，求线段的中点的直角坐标；

（2）假设直线l的斜率为2，且过点P（3,0），求·的值．

解：

（1）由曲线C：

（θ为参数），可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为（t为参数），

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，

得t1＋t2＝6，所以线段的中点对应的t＝＝3，

故线段的中点的直角坐标为.

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（2α－2α）t2＋6αt＋8＝0，

那么·＝1t2|＝＝，

由得α＝2，故·＝.

12．（2018·石家庄质检）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ＝－.

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△面积的最小值．

解：

（1）由消去参数t，

得（x＋5）2＋（y－3）2＝2，

所以圆C的普通方程为（x＋5）2＋（y－3）2＝2.

由ρ＝－，得ρθ－ρθ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

（2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（－2,0），B（0,2），

化为极坐标为A（2，π），，

设点P的坐标为（－5＋t,3＋t），

那么点P到直线l的距离为

d＝＝.

所以＝＝2，又＝2.

所以△面积的最小值是S＝×2×2＝4.

13、在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．点P的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；

（2）假设Q为曲线C上的动点，求中点M到直线l：

ρθ＋2ρθ＋1＝0距离的最小值．

解：

（1）由x＝ρθ，y＝ρθ，

可得点P的直角坐标为（3，），

由得x2＋（y＋）2＝4，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋（y＋）2＝4.

（2）直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0，

曲线C的参数方程为（α为参数），

设Q（2α，－＋2α），

那么，

故点M到直线l的距离

d＝＝≥＝－1，

∴点M到直线l的距离的最小值为－1.

14、．（2017·全国卷Ⅲ）在直角坐标系中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（θ＋θ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解：

（1）消去参数t，得l1的普通方程l1：

y＝k（x－2），

消去参数m，得l2的普通方程l2：

y＝（x＋2）．

设P（x，y），由题设得

消去k得x2－y2＝4（y≠0）．

所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）．

（2）C的极坐标方程为ρ2（2θ－2θ）＝4（0＜θ＜2π，θ≠π）．

联立

得θ－θ＝2（θ＋θ）．

故θ＝－，从而2θ＝，2θ＝.

代入ρ2（2θ－2θ）＝4得ρ2＝5，

所以交点M的极径为.

15．（2018·武昌调研）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数，a>0）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝－2.

（1）设P是曲线C上的一个动点，当a＝2时，求点P到直线l的距离的最小值；

（2）假设曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

解：

（1）由ρ＝－2，

得（ρθ－ρθ）＝－2，

化成直角坐标方程，得（x－y）＝－2，

即直线l的方程为x－y＋4＝0.

依题意，设P（2t,2t），

那么点P到直线l的距离

d＝＝

＝2＋2.

当＝－1时，＝2－2.

故点P到直线l的距离的最小值为2－2.

（2）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，

∴对∀t∈R，有t－2t＋4>0恒成立，

即（t＋φ）>－4恒成立，

∴<4，

又a>0，∴0

故a的取值范围为（0,2）．

16．P为半圆C：

（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线上，线段与C的弧的长度均为.

（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；

（2）求直线的参数方程．

解：

（1）由，点M的极角为，

且点M的极径等于，

故点M的极坐标为.

（2）由

（1）知点M的直角坐标为，A（1,0）．

故直线的参数方程为（t为参数）．

17．在平面直角坐标系中，曲线C1过点P（a,1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2θ＋4θ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且＝2，求实数a的值．

解：

（1）∵曲线C1的参数方程为

∴其普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρ2θ＋4θ－ρ＝0，

∴ρ22θ＋4ρθ－ρ2＝0，

∴x2＋4x－x2－y2＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

（2）设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

将曲线C1的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，化简得2t2－2t＋1－4a＝0.

∴Δ＝（－2）2－4×2（1－4a）>0，即a>0，

t1＋t2＝，t1·t2＝.

根据参数方程的几何意义可知＝21|，＝22|，

又＝2可得21|＝2×22|，

即t1＝2t2或t1＝－2t2.

∴当t1＝2t2时，有

解得a＝，符合题意．

当t1＝－2t2时，有

解得a＝，符合题意．

综上，实数a＝或a＝.

3

18．（2018·贵阳模拟）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2θ.

（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）假设A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当取最小值时△的面积．

解：

（1）由（t为参数）得C1的普通方程为

（x－4）2＋（y－5）2＝9，

由ρ＝2θ，得ρ2＝2ρθ，

将x2＋y2＝ρ2，y＝ρθ代入上式，

得C2的直角坐标方程为x2＋（y－1）2＝1.

（2）

如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，取得最小值，由

（1）得C1（4,5），C2（0,1），

那么1C2＝＝1，

∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，

∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，

又＝1C2|－1－3＝－4

＝4－4，

∴S△＝＝××（4－4）＝2－.

19．（2018·广州综合测试）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：

ρ＝2.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

解：

（1）由（t为参数）消去t得x＋y－4＝0，

所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.

由ρ＝2＝2＝2θ＋2θ，

得ρ2＝2ρθ＋2ρθ.

将ρ2＝x2＋y2，ρθ＝x，ρθ＝y代入上式，

得x2＋y2＝2x＋2y，即（x－1）2＋（y－1）2＝2.

所以曲线C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

（2）法一：

设曲线C上的点P（1＋α，1＋α），

那么点P到直线l的距离d＝＝＝.

当＝－1时，＝2.

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.

法二：

设与直线l平行的直线l′：

x＋y＋b＝0，

当直线l′与圆C相切时，＝，

解得b＝0或b＝－4（舍去），

所以直线l′的方程为x＋y＝0.

因为直线l与直线l′的距离d＝＝2.

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.

20．在直角坐标系中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2θ，C3：

ρ＝2θ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值．

解：

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立

解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为（2α，α），B的极坐标为（2α，α）．

所以＝|2α－2α|＝4.

当α＝时，取得最大值，最大值为4.

21．直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.

（1）求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求的最大值．

解：

（1）由（t为参数），得L的普通方程为2x＋y－6＝0，

令x＝ρθ，y＝ρθ，

得直线L的极坐标方程为2ρθ＋ρθ－6＝0，

由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ22θ＝4，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.

（2）由

（1），知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，

设曲线C上任意一点P（α，2α），

那么点P到直线L的距离d＝.

由题意得＝＝，

所以当＝－1时，取得最大值，最大值为.

22．（2018·石家庄一模）在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.

（1）求曲线C2的参数方程；

（2）过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线l1的普通方程．

解：

（1）由ρ＝2，得ρ2＝4，

所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.

所以曲线C2的参数方程为（θ为参数）．

（2）设四边形的周长为l，点A（2θ，θ），

那么l＝8θ＋4θ＝4（θ＋φ），

所以当θ＋φ＝2kπ＋（k∈Z）时，l取得最大值，最大值为4，此时θ＝2kπ＋－φ（k∈Z），

所以2θ＝2φ＝，θ＝φ＝，

此时.

所以直线l1的普通方程为x－4y＝0.

23．（2018·成都诊断）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈.

（1）求θ的值；

（2）假设射线与直线l相交于点B，求的值．

解：

（1）由题意知，曲线C的普通方程为x2＋（y－2）2＝4，

∵x＝ρθ，y＝ρθ，

∴曲线C的极坐标方程为（ρθ）2＋（ρθ－2）2＝4，

即ρ＝4θ.

由ρ＝2，得θ＝，

∵θ∈，∴θ＝.

（2）易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，

∴直线l的极坐标方程为ρθ＋ρθ－4＝0.

又射线的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），

联立解得ρ＝4.

∴点B的极坐标为，

∴＝|ρB－ρ＝4－2＝2.