湖南省对口招生数学试卷word版含答案.doc
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湖南省2014年普通高等学校对口招生考试
数学(对口)试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。
每小题只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,4},B={4,5,6},则A∪B等于 ()
A.{4,5,6}B.{1,4,5,6}C.{1,4}D.{4}
2.函数f(x)=3x(x∈[0,2])的值域为 ()
A.[0,9] B.[0,6] C.[1,6] D.[1,9]
3.“x=y”是“|x|=|y|”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知点A(5,2),B(-1,4),则线段AB的中点坐标为()
A.(3,-1)B.(4,6)
C.(-3,1)D.(2,3)
5.的二项展开式中x2的系数为 ()
A.-30B.1C.-15D.30
6.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最大值为 ()
A.B.1 C. D.2
7.若a<0则关于x的不等式(x-3a)(x+2a)<0的解集为 ()
A.{x|3a<x<-2a} B.{x|x<3a或x>-2a}
C.{x|-2a<x<3a} D.{x|x<-2a或x<3a}
第8题
C村
B村
A村
8.如图从A村去B村的道路有2条,从B村去C村的道路有4条,从A村直达C村的道路有3条,则从A村去C村的不同走法种数为()
A.9B.10C.11D.24
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
第9题
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB1与BC1所成角的大小为()
A.B.C.D.
10.已知直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长为()
A.63 B.8 C.4 D.32
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11、已知一组数据1,3,4,x,y的平均数为5,则x+y=______。
12.已知向量=(3,-1),=(x,4),若//,则x=_________。
13.圆(x-3)2+(y-4)2=4上的点到原点O的最短距离为________。
14.已知cosa=,a∈(p,),则。
15.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,则四棱锥P-ABCD的体积为____________。
三、解答题(本大题共7小题,其中第21,22题为选做题。
满分60分。
解答题应写出文字说明或演算步骤)
16.已知函数f(x)=a+2log2(x+3),且f(-1)=1.
(1)求a的值并指出f(x)的定义域;
(2)求不等式f(x)≥1的解集。
17.从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛,设随机变量x表示所选4人中女生的人数。
(1)求x的分布列;
(2)求事件“所选4人中女生人数x≤2”的概率。
18.已知向量,满足||=2,||=4,与的夹角为。
(1)求
(2)×的值;
(2)若(-2)⊥(k-),求k的值。
19.设等差数列{an}的前n项为Sn,若a5=12,S2=38,求:
(1)数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}中所有正数项的和。
20.已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为,焦距为2.
(1)求C的方程;
(2)设F1,F2分别为C的左、右焦点,问:
在C上是否存在点M,使得MF1⊥MF2?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
注意:
第21题,22题为选做题,请考生选择其中一题作答。
21.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且cosA=-,cosB=.
(1)求sinC的值;
(2)若BC=5,求△ABC的面积。
22.某化肥厂生产甲、乙两种肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料需要磷酸盐20吨、硝酸盐5吨;生产1车皮乙种肥料的主要原料需要磷酸盐10吨、硝酸盐5吨。
现库存磷酸盐40吨、硝酸盐15吨,在此基础上生产这两种肥料。
若生产1车皮的甲种肥料,产生的利润为3万元;生产1车皮的乙种肥料,产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮,才能够产生最大利润?
并求出最大利润。
参考答案:
1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.C
7.A
8.C
9.C
10.B
11.17
12.-12
13.3
14.
15.
16.解:
(1)由f(-1)=1得:
a+2log2(-1+3)=1,解得:
a=-1
由x+3>0得x>-3,所以f(x)的定义域为(-3,+∞).
(2)∵f(x)=-1+2log2(x+3),∴由f(x)≥1得:
-1+2log2(x+3)≥1
即:
log2(x+3)≥1,∴x+3≥2,∴x≥-1
所以不等式f(x)≥1的解集为(-1,+∞).
17.解:
(1)x的可能取值为0,1,2,3.
P(x=0)==,P(x=1)==,P(x=2)==,P(x=0)==
所以x的分布列如下表:
x
0
1
2
3
P
(2)∵P(x≤2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)=
∴事件“所选4人中女生人数x≤2”的概率为.
18.解:
(1)
(2)×=2(×)=2||||cos<,≥2×2×4×cos60°=8.
(2)由题意知:
(-2)×(k-)=0
∴k||2-(2k+1)(×)+2||2=0,即:
-12k+24=0,∴k=2.
19.解:
(1)设{an}首项为a1,公差为d,依题意得:
,解得:
a1=20,d=-2
∴{an}的通项公式为an=22-2n.
(2)由an≤0得:
22-2n≤0,即:
n≥11
∴数列{an}中所有正数项的和为S10=10×20+×10×9×(-2)=110.
20.解:
(1)由题意知:
2c=2,=,∴c=,a=2,从而得:
b=1
∴椭圆C的方程为:
.
(2)∵F1(-,0),F2=(,0),设C上一点M的坐标为M(x,y),则:
=(x+,y),=(x-,y),若⊥,则×=0
∴(x+)(x-)+y2=0即:
x2+y2=3…………………………①
又点M在椭圆C上,∴,即:
x2+4y2=4……………②
由①②解得:
x2=,y2=
∴点M的坐标为(,)或(-,)或(,-)或(-,-).
21.解:
由cosA=-<0,知A为钝角,B,C为锐角,
x
y
O
∴sinA==,sinB==,
∴sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+()×=
∴sinC=sin(A+B)=.
(2)∵=,∴AC==
∴△ABC的面积S△ABC=AC×BC×sinC=××5×=.
x
y
O
3x+2y=0
A
x+y=3
2x+y=4
22.解:
设分别生产甲、乙两种肥料各x车皮、y车皮,获得利润为Z万元,依题意可得如下线性规划模型:
约束条件:
,即:
目标函数:
Zmax=3x+2y
画出可行域如左图,可知在A点处有最优解。
由解得:
,A点为(1,2)
∴Zmax=3×1+2×2=7
答:
分别生产甲、乙两种肥料各1车皮、2车皮,才能够产生最大利润为7万元.