北师大版初中数学简单的轴对称图形 同步教案.docx

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北师大版初中数学简单的轴对称图形同步教案

3　简单的轴对称图形

1.掌握等腰三角形、线段、角三种基本图形的性质,并能利用性质解决问题.

2.能利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质进行简单的说理.

3.在解决等腰三角形等有关问题时,体会分类思想的应用.

1.经历探索简单图形轴对称的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.

2.通过操作与思考,掌握等腰三角形、线段、角的轴对称性质形成过程.

1.使学生在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中,感受到物体或图形的对称美,激发对数学学习的积极情感.

2.培养学生自主学习,主动参与,主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.

3.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题的能力,从而树立学习数学的信心.

【重点】　等腰三角形、线段、角三种基本图形的轴对称图形性质.

【难点】　能利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质进行简单的说理.

第

课时

1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.

2.学会运用等腰三角形的思想整体观察对象,总结一些有益的结论.拓宽学生视野,提高学生认知水平,培养学生利用信息、开展思考和表达能力.

1.经历探索简单图形的轴对称性质的过程,进一步理解轴对称的性质,积累数学活动经验,发展空间观念.

2.经历等腰三角形轴对称性质的探索过程,注意体会分类讨论思想在等腰三角形中的应用.

1.通过优美的等腰三角形“三线合一”的性质及应用,体会几何图形的和谐美,感受数学与我们的生活息息相关.

2.使学生在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中,感受到物体或图形的对称美,激发对数学学习的积极情感.

【重点】　等腰三角形、等边三角形的性质.

【难点】　等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程.

【教师准备】　多媒体课件,三角尺.

【学生准备】　等腰三角形纸片、等边三角形纸片.

导入一:

温故:

1.下列图形是轴对称图形吗?

如果是,指出对称轴.

2.画一画,把下列轴对称图形补充完整,并根据你画图的过程回忆一下轴对称图形的性质.

3.欣赏——发现.

这节课我们就从最简单、最常见的等腰三角形入手来研究.

[处理方式]　课件展示图片,让学生仔细观察并回答问题.

[设计意图]　通过问题,希望学生能回忆起前两节所学内容,学生能够准确而全面地找出对称轴,并能说出部分图标的标志名称.以生活中的事例入题,大大提高了学生的学习兴趣,也由此告知学生数学来源于生活的道理.

导入二:

【活动内容1】　展示等腰三角形在实际生活中的应用.

问题1

欣赏图片,找出熟悉的图形.

问题2

找出你身边含有的上述图形.

【活动内容2】　复习等腰三角形的相关内容.

问题1

什么是等腰三角形?

请说出各部分的名称.

问题2

什么是等边三角形?

它与等腰三角形有什么关系?

[处理方式]　先让学生回答等腰三角形的概念及各部分名称,有可能学生会回答“两条腰相等的三角形”,这时老师要注意及时纠正,同时课件展示图形并出示各名称,之后老师再强调“两边相等的三角形是等腰三角形”.之后出示活动内容2,让学生欣赏并说明等腰三角形在生活中的广泛应用,“它还有哪些性质呢”?

然后老师引入课题——今天我们继续研究《简单的轴对称图形》.

[设计意图]　通过复习引出等腰三角形并回顾等腰三角形的有关概念,让学生欣赏生活中含等腰三角形的图片,既能激发学生的兴致同时引出继续探索的学习欲望.

探究活动1　利用折纸活动探索等腰三角形的性质

　　[过渡语]　等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具备一般三角形的性质,还具有一些特殊的性质.拿出你课前准备的等腰三角形纸片,折一折,看你能有什么发现?

同时思考下列问题.

【问题】　请同学们结合课本P121问题,将自己准备的等腰三角形折叠,使得两腰重合.

（1）等腰三角形是轴对称图形吗?

找出对称轴.

（2）等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴吗?

（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗?

底边上的高所在的直线呢?

（4）沿对称轴对折,折叠以后,你有什么新的发现?

（除了两腰重合外,还有重合的部分吗?

等腰三角形是轴对称图形吗?

对称轴是什么?

）你能发现等腰三角形的哪些特征?

说说你的理由.

[处理方式]　先让学生用准备好的等腰三角形纸片按要求折纸,并观察除了两腰重合外,还有重合的部分吗?

学生独立思考后,小组间交流答案.

问题

（1）,有些学生可能凭借直观感觉想象出它的对称轴,对于这部分学生老师要鼓励他们再通过操作进行验证;有些学生可能会直接动手折叠寻找对称轴,这时老师要提示他们如何解释这个结果;对于对称轴的描述,很多学生会说“中线,高或角平分线”,最后老师再组织学生展示答案,在学生展示的时候老师追问怎样解释等腰三角形是轴对称图形,然后教师借助多媒体演示,引导学生用语言叙述自己得出的结论,即等腰三角形是轴对称图形.

有了第

（1）题的操作、演示和老师的追问,对于问题

（2）（3）学生可能会正确描述,若有些学生表述不准确,老师再追问对称轴是哪条直线,再次让学生独立叙述对称轴,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.这时老师要再次强调对称轴是直线.问题（4）先让学生自己总结,老师再问“除了上述性质外,对折后还有哪些重合部分”,学生能得出等腰三角形的两个底角相等.再展示等腰三角形的性质,根据师生的共同总结再以填空的形式展示几何语言的应用.

[设计意图]　这节课主要是通过动手操作探索等腰三角形的轴对称性及其有关特征,让学生充分动手操作活动,折一折等腰三角形纸片,独立发现有哪些结论.然后小组成员一起通过操作验证自己的结论,并能合理地解释自己的结论,探索等腰三角形的有关特征.

符号语言:

如图所示,在△ABC中,AB=AC时,

（1）因为AD⊥BC,所以∠　　　　=∠　　　　,　　　　=　　　　. 

（2）因为AD是中线,所以　　　　⊥　　　　,∠　　　　=∠　　　　. 

（3）因为AD是角平分线,所以　　　　⊥　　　　,　　　　=　　　　. 

跟踪练习:

1.已知:

△ABC中,AB=AC.小明想作∠BAC的平分线,但他没有量角器,只有刻度尺,他如何作出∠BAC的平分线?

2.若等腰三角形的一个内角为50°,则它的另外两个内角为　　　　. 

〔答案〕　1.BC边上的中线即为∠BAC的平分线　2.65°,65°或50°,80°

[处理方式]　第1题在学生独立思考的过程中老师巡视,如果有同学会做,可让他们小组内交流,如果多数学生有困难,此时老师可提示刻度尺的作用是什么,然后让学生全班展示.第2题先让学生独立做,一定会有学生求出一种结果,这时可由做对的学生讲解,然后老师追问“若内角为100°呢”,等学生完成后老师继续追问这类题有什么规律,最后老师总结,“在等腰三角形中,我们只要知道任意一个角,就可以求出另外两个角!

当所给角为锐角时,有两种情况,若为直角或钝角则只有一种情况.”

[设计意图]　第1题为了巩固三线合一,让学生体会三线合一的应用,第2题向学生进一步渗透分类讨论思想,由于课时容量较大,不再设计含边和周长的题目.

探究活动2　探究等边三角形的特征

师:

我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,下面请同学们拿出准备好的等边三角形纸片再来探究等边三角形还有哪些性质.

问题1

等边三角形有几条对称轴?

对称轴是什么?

问题2

你能发现它的哪些特征?

[处理方式]　学生手中有等边三角形纸片,可能有部分学生仍喜欢动手折叠,这样他们很容易得出“等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴”;同时也可以发现“三个角都能重合,三边互相重合”;也会有学生依照等腰三角形的性质进行推理,能详细解释“等边三角形三角相等,都等于60°,三条边相等”.这时老师可建议折叠的同学也尝试进行理论说明,仍然要强调“三线合一”.

[设计意图]　因为有了前面的经验,学生通过操作和思考分析等边三角形的轴对称性就有章可循,能尽可能多地探索它的特征.学生可能运用不同的办法解决这个问题,有的学生可能借助操作,有的学生可能通过等边三角形的特殊性由等腰三角形的性质推知它的特征.等腰三角形有这么多的性质,现在请大家思考如何得到一个等腰三角形.

探究活动3　探究如何得到一个等腰三角形

问题1

你能用折叠的方法得到一个等腰三角形吗?

问题2

你能借助刻度尺或圆规画出等腰三角形吗?

[处理方式]　让学生先用折纸的方法作出三角形,这样比较简单,先将长方形纸对折,再沿折痕折出一个直角三角形,然后沿第二次的折痕剪下,展开后得一个等腰三角形,学生小学时学过,然后让学生结合过程说明,再次巩固等腰三角形的轴对称性;解决完问题1再出示问题2,这时给学生留出充分的时间交流、合作,学生先说作法,老师再边说边演示,用圆规画一段弧,在圆弧上取两点,将圆心和所取两点依次连接就组成一个等腰三角形.

[设计意图]　通过作等腰三角形巩固它的轴对称性和两边相等的特点,同时锻炼学生的动手能力和善于动脑的习惯.

[知识拓展]　等腰三角形中的分类讨论思想:

（1）遇角需讨论.对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.

（2）遇边需讨论.对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

（3）遇到中线、高线、中垂线、角平分线等需要讨论.等腰三角形没有明确底和腰时,提及到上述线段应该分类讨论.

1.等腰三角形的性质:

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）,它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.

（3）等腰三角形的两个底角相等.

2.等边三角形的性质:

（1）等边三角形是轴对称图形.

（2）等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（三线合一）,它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.等边三角形共有三条对称轴.

（3）等边三角形的各角都相等,都等于60°.

3.等腰三角形的画法.

1.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为（　　）

A.16B.18

C.20D.16或20

解析:

三边长分别为4,8,8.故选C.

2.等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是（　　）

A.20°B.50°C.60°D.80°

解析:

等腰三角形两底角相等.故选B.

3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD=　　　　. 

解析:

根据等腰三角形三线合一可以得出答案为3.故填3.

第1课时

探究活动1　利用折纸活动探索等腰三角形的性质

探究活动2　探究等边三角形的特征

探究活动3　探究如何得到一个等腰三角形

一、教材作业

【必做题】

教材第122页习题5.3知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第123页习题5.3数学理解第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是　　　　. 

2.等腰三角形的周长为10cm,一边长为3cm,则其他两边长分别为　　　　. 

3.等腰三角形一个角为70°,则其他两个角分别是　　　　. 

【能力提升】

4.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC=　　　　. 

5.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC=　　　　. 

【拓展探究】

6.如图所示,△ABC中,AB=AC,D,E在BC边上,且AD=AE.试说明BD=CE.

【答案与解析】

1.50°（解析:

由等腰三角形两底角相等和三角形内角和可求得.）

2.3.5cm,3.5cm或3cm,4cm（解析:

本题需要对一边长3cm进行分类讨论.）

3.55°,55°或70°,40°（解析:

本题需要对一内角70°进行分类讨论.）

4.69°（解析:

在三角形ABD中,因为AB=AD,所以∠B=∠ADB=（180°-32°）×

=74°,在三角形ADC中,因为AD=DC,所以∠CAD=

∠ADB=74°×

=37°.所以∠BAC=32°+37°=69°.故填69°.）

5.120°（解析:

因为BP=PQ=QC=AP=AQ,所以∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.又因为∠BAP+∠ABP=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,所以∠BAP=∠CAQ=30°.所以∠BAC=120°.故∠BAC的度数是120°.）

6.解法1:

因为AB=AC,所以∠B=∠C（等边对等角）,因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED（等边对等角）,又∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠CAE,所以∠BAD=∠CAE（等量代换）,在△ABD和△ACE中,

所以△ABD≌△ACE（ASA）,所以BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

解法2:

如图所示,过点A作AH⊥BC,垂足为点H,因为AB=AC,AH⊥BC,所以BH=CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）,同理可得DH=EH,所以BH-DH=CH-EH,所以BD=CE.

本节课学生通过动手操作、自主探索、合作交流等多种形式获取知识、发展能力,充分体现了学生的学习主体性精神.学生在和谐民主的气氛中,得到了自身素质的提高.

本节课需要学生动手操作的活动较多,由于动手能力水平上的差异,造成时间安排上不够理想,下次教学时注意整改.

有意识地满足学生多样化的学习需求,为学生提供个性化学习的时间和空间.

随堂练习（教材第122页）

1.解:

有3条对称轴,分别是过大三角形顶点和对边中点的直线.

2.解:

根据等腰三角形“三线合一”的性质,等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC即木条.如果重锤过点A,说明直线AD垂直于水平线,那么木条就是水平的.

3.解:

（1）底角的度数是（180°-60°）÷2=60°.　

（2）底角的度数是（180°-90°）÷2=45°.　（3）底角的度数是（180°-120°）÷2=30°.

习题5.3（教材第122页）

知识技能

1.解:

如图所示.

2.提示:

各内角的度数分别为36°,72°,72°.

数学理解

3.解:

长方形是轴对称图形,有2条对称轴.圆是轴对称图形,有无数条对称轴.

4.解:

是轴对称图形,可通过对折的办法检验它的对称性.

问题解决

5.提示:

按如图所示的方法作图,将奶站建在P点处.

（第5题图）

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.那么在什么情况下应该分类讨论呢?

本文分以下几种情形讲述.

一、遇角需讨论

　已知等腰三角形的一个内角为75°,则其顶角为（　　）

A.30°B.75°

C.105°D.30°或75°

〔解析〕　75°角可能是顶角,也可能是底角.当75°角是底角时,则顶角的度数为180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°.所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°.故选D.

[解题策略]　对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.

二、遇边需讨论

　已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于　　　　. 

〔解析〕　已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论.当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.故填16或17.

[解题策略]　对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

三、遇中线需讨论

　若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长.

解:

已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此,应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是xcm,底边长为ycm,可得

或

解得

或

即当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm.

[解题策略]　这里求出来的解应满足三角形三边关系定理.

四、遇高需讨论

　等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数.

解:

依题意可画出图

（1）和

（2）两种情形.图

（1）中顶角为45°,图

（2）中顶角为135°.

五、遇中垂线需讨论

　在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=　　　　. 

〔解析〕　按照题意可画出图

（1）和

（2）两种情况的示意图.如图

（1）所示,当交点在腰AC上时,△ABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以∠B=∠C=

（180°-40°）=70°.如图

（2）所示,当交点在腰CA的延长线上时,△ABC为钝角三角形,此时可求得∠BAC=140°,所以∠B=∠C=

（180°-140°）=20°.故填70°或20°.

[解题策略]　这里的图

（2）最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题.

第

课时

1.探索并了解线段垂直平分线的有关性质.

2.应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.

3.会用尺规作图作一条线段的垂直平分线.

1.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.

2.教师通过生活中的实际问题来达到让学生对简单轴对称图形加深认识的目的,从而培养学生的识图能力.

1.在解决实际问题的过程中体会数学与生活的密切联系;体验用数学知识解释生活中的问题的乐趣,感受数学美,增强自信心,提高学习数学的乐趣.

2.通过分组讨论学习,使学生体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,培养团结协作的精神.

【重点】　线段垂直平分线的有关性质.

【难点】　用尺规作线段的垂直平分线,并用之解决一些实际问题.

【教师准备】　制作多媒体课件,圆规、直尺.

【学生准备】　预习课本知识,准备一张纸、直尺、圆规、铅笔.

导入一:

如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等?

[处理方式]　让学生自己思考,各抒己见,让学生在争论中发现自己的想法是否正确,教师不必明确答案,要留给学生思考的余地和悬念,让学生带着问题进入下面的学习.

[设计意图]　通过生活中的实际问题引入新课,让学生在自己解决问题的过程中发现障碍,激发学生的兴趣和求知欲,调动学生学习的积极性,为学习新课做好准备.

导入二:

【活动内容1】

复习回顾.

1.什么叫轴对称图形?

如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

2.（多媒体展示课件）下列图形哪些是轴对称图形?

3.轴对称图形有什么性质?

在轴对称图形或成轴对称的两个图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.

[处理方式]　学生举手回答,对于出现的错误再由学生纠正,教师适时评价,引导.

[设计意图]　通过完成本组题目,对轴对称图形的概念、性质进行回顾,为本节课的学习提供必要的知识准备,同时,也检查了学生对学过知识的掌握情况.

【活动内容2】

导入新课.

（多媒体展示课件）如图,在一条河的岸边有两个仓库A,B,现在要在靠近A,B一侧的河岸边建造一个码头M,使它到两个仓库的距离相等,码头M应建在什么位置?

[处理方式]　学生思考讨论码头应建在什么位置,教师在学生感到困难时引入新课.

[设计意图]　本课以建造码头为开头,提出问题,让学生来思考如何建造码头才能保证到两个仓库的距离相同,来激发学生的兴趣和求知欲望,调动学生学习的积极性,引起学生的兴趣,导入新课,学生的积极性一下子被调动起来了,为下面的学习开了个好头.

探究活动1　线段的对称性

思路一

【活动内容】

线段是轴对称图形吗?

如果是,你能找出它的一条对称轴吗?

做一做:

为了解决这个问题,请同学们拿出准备好的纸,在纸上画出一条线段AB,对折AB使点A,B重合,折痕与AB的交点为O.

想一想:

（1）折痕两旁的部分能重合吗?

线段是一个轴对称图形吗?

这条折痕是线段的对称轴吗?

（2）点O是线段AB的中点吗?

折痕与线段AB垂直吗?

为什么?

（3）由此你能得到什么结论?

[处理方式]　学生拿出纸,按照上面的步骤画出一条线段AB,然后对折AB,进行观察思考后回答问题.

通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.从而总结:

线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

学生通过用三角板上的直角验证,或用量角器量取角度后验证,教师予以评价、引导:

通过实验手段得到的结论,都是不严密的,我是这样验证的（边说边演示手中的折纸）,由折叠可知∠1=∠2,又因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°,所以折痕与线段AB垂直.

教师补充:

线段还有一条对称轴,它就是线段AB所在的直线,因为线段上所有的点都在这条直线上,那么这条线段上每一个点关于这条直线的对称点都是它本身,所以线段所在的直线也是它的一条对称轴.

注意:

线段的另一条对称轴比较抽象,学生不易理解,也不要求学生掌握,如果学生没有提出异议,教师不必刻意提出.

[设计意图]　让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,并及时引导学生对发现的结论进行证明,进一步培养了学生严谨思维、推理论证、及时验证的好习惯,也为后续教学做好准备.

思路二

【活动内容】

线段的对称性.

（多媒体出示）

问题1

线段是轴对称图形吗?

如果是,你能找出它的一条对称轴吗?

问题2

为了解决这个问题,请按下面的步骤做一做:

在你准备的透明纸上画一条线段AB及它的中点O,再过O点画出与AB垂直的直线CD,沿直线CD将纸对折,看看线段OA与OB是否重合?

[处理方式]　学生先思考、猜想问题1,然后根据问题2的操作流程在透明纸上画线段,动手折纸,观察,思考,展示自己的结论,要留给学生充足的时间进行活动,学生的叙述可能不够完整,教师要及时给以点拨,规范学生的语言.接着顺势引导学生思考:

由此得到线段是不是轴对称图形?

线段AB的一条对称轴是什么?

它与线段AB有什么关系?

先让学生自己尝试回答,最后达成共识:

线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

[设计意图]　让学生通过亲自动手折纸,自己发现结论,使学生对发现的结论印象深刻.

探究活动2　线段垂直平分线的定义与性质

【活动内容1】

线段垂直平分线的定义.

师:

根据上面的操作我们知道了线段是轴对称图形,垂直并且平分这条线段的直线是这条线段的对称轴,你知道像这样的直线的名称吗?

[处理方式]　学生先思考,然后小组交流,最后代表发言,教师根据学生回答的情况给予点拨,规范数学语言.归纳出线段垂直平分线的定义:

垂直