北师大版七年级数学下册第四章三角形第3课时利用边角边判定三角形全等备课素材.docx

北师大版七年级数学下册第四章三角形第3课时利用边角边判定三角形全等备课素材.docx

《北师大版七年级数学下册第四章三角形第3课时利用边角边判定三角形全等备课素材.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版七年级数学下册第四章三角形第3课时利用边角边判定三角形全等备课素材.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版七年级数学下册第四章三角形第3课时利用边角边判定三角形全等备课素材

情景导入　

置疑导入　

归纳导入　

复习导入　

类比导入　

悬念激趣

图4－3－62

情景导入　如图4－3－62，小颖作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办呢？

利用我们已经学过的知识你能帮帮小颖吗？

说明：

通过这个问题，激发学生的学习兴趣，调动学生的求知欲，让学生在不知不觉中进入本节课内容的学习．建议：

让学生独立思考，畅所欲言，老师引导．

复习导入　下面的两个三角形添加什么样的三个条件能够全等？

如图4－3－63所示，1.在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

2．在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

3．在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．

图4－3－63

说明：

学生在已有的经验基础上很快得出全等的条件，只是2，3的答案不唯一，让学生的理解能力和思考方向都得到加强，从而打开了学习的大门，在课堂中用学生找到的问题作为突破口，极大地激发了学生的学习积极性和主动性．建议：

回忆学过的三角形全等的条件，归纳总结，对现有的判定方法有了进一步的巩固和理解，并通过语言描述，加深了印象，为新知识的学习做了个台阶，顺理成章地引出本节课的教学内容，极大地激发了学生的求知欲．

悬念激趣　

图4－3－64

如图4－3－64，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，可是没有办法直接测量．小明想了一个办法：

先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连接AC并延长至D点，使DC＝AC.连接BC并延长至E点，使EC＝BC，连接ED，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离．你认为小明的办法可行吗？

谈谈你的看法．

说明：

利用实际问题的探索解决，来创设情境激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作能力．建议：

让学生思考、交流，部分学生应该会联想到利用三角形全等来解释该问题，教师要给予表扬

教材母题——第103页随堂练习第1题

分别找出各题中的全等三角形，并说明理由．

图4－3－65

【模型建立】

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

【变式变形】

1．如图4－3－66，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE＝__90__°.

图4－3－66

图4－3－67

2．已知：

如图4－3－67所示，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于点G，则∠AGC的度数是__90°__．

图4－3－68

3．如图4－3－68所示，在四边形ABCD中，AB＝BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF.

试说明：

（1）AF＝CF；

（2）CA平分∠DCF.

解：

（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.

在△ABF与△CBF中，

∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF.

（2）∵AF＝CF，∴∠FCA＝∠FAC.∵AF∥DC，∴∠FAC＝∠DCA，

∴∠FCA＝∠DCA，即CA平分∠DCF.

利用SAS证全等

两个三角形全等的判定中，最后一个学习的是SAS，即两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

图4－3－69

例　如图4－3－69，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，试说明：

△ADB≌△BCA.

解：

在△ADB和△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SAS）．

利用三角形全等找线段或角的关系

根据全等三角形的对应角相等，对应边相等的性质解决实际问题，前提是找准已知条件证明两个三角形全等．

例　如图4－3－70，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.

试说明：

DC∥AB.

图4－3－70

解：

在△ODC和△OBA中，∵

∴△ODC≌△OBA（SAS），

∴∠C＝∠A（或者∠D＝∠B）（全等三角形的对应角相等），

∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．

P104　习题4.8

1．如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？

△ACB与△ADB呢？

请说明理由．

解：

都全等，依据是“SAS”．

2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？

小明的思考过程如下：

你能说明每一步的理由吗？

解：

第二步是已知；第三步是“SAS”定理；第四步是全等三角形的性质．

3．如图，小颖作业本上画的三角形被墨迹污染，她想画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办呢？

请帮助小颖想出一个办法来，并说明你的理由．

解：

依据“SAS”画一个与原三角形全等的三角形．

4．如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？

△HIJ的三边相等吗？

解：

∵EF＝FG＝GE，EH＝FI＝GJ，

∴FH＝IG＝JE.又∵∠F＝∠G＝∠E，

∴△FIH≌△GJI≌△EHJ，

∴HI＝IJ＝JH.

专题一与三角形全等相关的探究题

1．如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，如图1，然后将△

ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD，CE分别延长至M，N，使DM=

BD，EN=

CE，得到图3，请解答下列问题：

（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：

①在图2中，BD与CE的数量关系是__________；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并说明你的猜想；

（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：

AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

2．请阅读，完成证明和填空．

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请说明：

∠NOC=60度．

（2）如图2，正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN=________，且∠DON=________度．

3．

（1）如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称为格点三角形．请在方格纸上按下列要求画图．

在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的格点△A′B′C′；

在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的格点△A″B″C″．

（2）先阅读然后回答问题：

如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，AB=AC，EB=EC，∠BAE=∠CAE，试说明：

△AEB≌△AEC．

解：

在△ABE和△ACE中，因为AB=AC，∠BAE=∠CAE，EB=EC，…第1步

根据“SAS”可以知道△ABE≌△AEC．…第2步

请问上面解题过程正确吗？

若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的过程．

【知识要点】

1．三角形全等的条件：

（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.

（2）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．

（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”，

（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.

2．三角形的稳定性：

由于三角形三边的长确定以后，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在日常生活中应用很广．例如盖房子时，房顶的支架都选用三角形，三角形的稳定性的依据是“边边边”．

【温馨提示】

1．三角形的稳定性是三角形的特性，四边形、五边形、六边形等其他多边形都不具有这一

特性（即具有不稳定性）．

2．“ASA”和“AAS”中的边一定要么是两角的夹边，要么是其中一角的对边，不可说是

“任意的两角和一边”．

3．要注意“SAS”和“SSA”的区别，“SAS”指的是两边及其夹角对应相等；而“SSA”

指的是有两边和一边的对角对应相等，它是不能证明两个三角形全等的.

【方法技巧】

1．当所给相等的边不是所要判定全等的三角形的边时，往往利用等式的性质，在相等线段

两边加上（或减去）同一线段，转化为所要判定全等的两个三角形的边．

2．在判定三角形全等的条件中，对应相等的三个元素中必须有一条边对应相等，如果给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．选择哪种方法判定全等，要根据题目条件合理选择．当有两边相等时，选择“SSS”或“SAS”，当有两角相等时，选择“AAS”或“ASA”．

答案

1．解：

（1）①BD=CE；

②AM=AN，∠MAN=∠BAC.说明：

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD.

在△BAD和△CAE中，

∵AE=AD，∠CAE=∠BAD，AC=AB，

∴△CAE≌△BAD（SAS），

∴∠ACE=∠ABD.

∵DM=

BD，EN=

CE，

∴BM=CN.

在△ABM和△ACN中，

∵BM=CN，∠ACN=∠ABM，AB=AC，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，

∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；

（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．

2．解：

（1）∵△ABC是正三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC.

在△ABN和△BCM中，AB=BC，∠A=∠ABC，AN=BM，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠ABN=∠BCM.

又∵∠ABN+∠OBC=60°，

∴∠BCM+∠OBC=60°，

∴∠NOC=60°；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB.

又∵AM=BN，

∴△ABN≌△DAM，

∴AN=DM，∠ADM=∠BAN.

又∵∠ADM+∠AMD=90°，

∴∠BAN+∠AMD=90°

∴∠AOM=90°，即∠DON=90°．

3．解：

（1）答案不唯一，如下图；

（2）上面解题过程错误，错在第1步．

在△AEB和△AEC中，

∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，EA=EA，

∴△AEB≌△AEC（SAS）．

揭密全等三角形的隐含条件

初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可分为下列四种类型：

一、公共边

例1、如图1，AD//BC且AD=BC，试问△ACD与△CAB全等吗？

为什么？

分析：

通过AD//BC，可得出∠DAC=∠BCA，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA，就可证出两个三角形全等．

解：

因为AD//BC

所以∠DAC=∠BCA．

在△ACD和△CAB中

AD=BC

∠DAC=∠BAC

AC=CA

∴△ACD≌△CAB（SAS）

二、公共角

例2，如图2，AB=AC，∠B=∠C，试问AD与AE相等吗？

分析：

AD与AE分别在△ADB和△AEC中，要证明AD=AE，必须证明这两个三角形全等，已经有一边一角对应相等，再加上公共角∠A，就可以判定这两个三角形全等．

解：

AD与AE相等

理由如下：

在△ADB和△AEC中

∠B=∠C

AB=AC

∠A=∠A

∴△ADB≌△AEC（ASA）

∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）

三、对顶角

例3：

要测出一池塘两端A、B的距离，如图3，设计如下方案：

先在平地上取一点可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=BC，最后测出DE的长即为A、B之间的距离，为什么？

分析：

已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS公理即可证明两个三角形全等．

解：

在△ABC和△DEC中

AC=CD

∠ACB=∠DCE

BC=CE

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）

四、客观规律

例4：

中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如图4，它们的影长相等吗？

分析：

这道题已知AB=AˊBˊ，∠ABC=∠A′B′C′=90°，还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行的．

解：

因为AC//A′C′

所以∠ACB=∠A′C′B′

在△ABC和△A′B′C′中

∠ABC=∠A′B′C′=90•

∠ACB=∠A′C′B′

AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）

∴AB=A′B′

即它们的影长相等．

说明：

客观规律要根据题目的实际情况去运用．光的反射规律，即反射角等于入射角也是常用的客观规律之一．