电子科大研究生图论05-14年图论期末试题.doc
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2005年研究生期末试题（120分钟）
《图论及其应用》
一、填空（15分，每空1分）
1、已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2，则G中至少有个顶点.
2、m条边的简单图G中所有不同的生成子图（包括G和空图）的个数为
3、4个顶点的非同构的简单图有个.
4、图G1的最小生成树各边权值之和为
5、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则W在这样的闭通道中具有最短长度的充要条件是：
（1）每一条边最多重复经过次；
（2）在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的
6、5阶度极大非哈密尔顿图族有.
7、在图G2中，图的度序列为（44443322），频序列为（422），独立数为3，
团数为4，点色数为4，边色数为4，直径为3.
图G2
二、选择（15分）
（1）下列序列中，能成为某简单图的度序列的是（C）
（A）（54221）（B）（6654332）（C）（332222）
（2）已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2，则图G有（A）个2度点。
（A）2（B）4（C）8
（3）图G如（a）所示，与G同构的图是（C）
（4）下列图中为欧拉图的是（B）,为H图的是（AB）,为偶图的是（BC）.
5．下列图中可1-因子分解的是（B）
三、设和分别是图G的最大度与最小度，求证：
（10分）.
证明：
四、正整数序列是一棵树的度序列的充分必要条件是（10分）.
证明：
结论显然
设正整数序列满足，易知它是度序列。
设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知m=.
假设G不连通，则，且至少有一个分支含有圈C，否则，G是森林，有m=矛盾！
从C中任意取出一条边。
并在另一分支
中任意取出一条边，作图
则的度序列仍然为且，这与G的选取矛盾！
所以
G是连通的，G是树。
即一棵树的度序列。
五、求证：
在简单连通平面图G中，至少存在一个度数小于或等于5的顶点（10分）.
证明：
若不然，这与G是简单连通平面图矛盾。
六、证明：
（1）若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通；
（2）一棵树至多只有一个完美匹配（10分）.
证明；
（1）因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若G恰有两个奇度点u与v，且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。
所以若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通。
（2）若树有两个相异的完美匹配，则且中的每个顶点的度数为2，则中包含圈，这与是数矛盾！
七、求图G的色多项式（15分）.
图G
解：
图G的补图如图，则
，其中，，
，；
，其中，，
。
八、求图G中a到b的最短路（15分）.
v11v4
63
4
29
a8v22v56b
724
12
v3v6
图G
9
解1.A1={a}，t（a）=0，T1=Φ
2.
3.m1=1,a2=v3,t（v3）=t（a）+l（av3）=1（最小），
T2={av3}
2.A2={a,v3},
3.m2=1,a3=v1,t（v1）=t（a）+l（av1）=2（最小），
T3={av3,av1}
2.A3={a,v3,v1},
3.m3=3,a4=v4,t（v4）=t（v1）+l（v1v4）=3（最小），
T4={av3,av1,v1v4}
2.A4={a,v3,v1,v4}，b1（4）=v2，b2（4）=v2，b3（4）=v2,b4（4）=v5
3.m4=4,a5=v5,t（v5）=t（v4）+l（v4v5）=6（最小），
T5={av3,av1,v1v4,v4v5}
2.A5={a,v3,v1,v4,v5}，b1（5）=v2，b2（5）=v2，b3（5）=v2,b4（5）=v2,b5（5）=v2
3.m5=4,t（v2）=t（v4）+l（v4v2）=7（最小），
T6={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2}
2.A6={a,v3,v1,v4,v5,v2},b2（6）=v6,b4（6）=b，b5（6）=v6，b6（6）=v6
3.m6=6,a7=v6,t（v6）=t（v2）+l（v2v6）=9（最小），
T7={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2,v2v6}
2.A7={a,v3,v1,v4,v5,v2,v6},b4（7）=b，b5（7）=b，b7（7）=b
3.m7=7,a8=b,t（b）=t（v6）+l（v6b）=11（最小），
T8={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2,v2v6,v6b}
于是知a与b的距离
d（a,b）=t（b）=11
由T8导出的树中a到b路就是最短路。
2006研究生图论期末试题（120分钟）
一、填空题（15分，每空1分）
1、若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在对应，而且它们的关联关系也保持其关系，则这两个图同构。
2、完全图的生成树的数目为；阶为6的不同构的树有棵。
3、设无向图有12条边，已知中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，则
中至少有个结点。
4、具有5个结点的自补图的个数有。
5、已知图的邻接矩阵，顶点集合，则由到的途径长度为2的条数为。
6、若为欧拉图，则n=；若仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路，则n=。
7、无向完全图（n为奇数），共有条没有公共边的哈密尔顿圈。
8、设是具有二分类的偶图，则包含饱和的每个顶点的匹配当且仅当，对所有。
9、在有6个点。
12条边的简单连通平面图中，每个面均由条边组成。
10、彼德森图的点色数为；边色数为；点独立数为。
二、单选或多选题（15分，每题3分）
1、设，则图的补图是（）.
2、在下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是（）.
3、下列图中的（）图，到是可达的。
4、下列图中，可1—因子分解的是（）.
5、下列优化问题中，存在好算法的是（）
（A）最短路问题；（B）最小生成树问题；（C）TSP问题；（D）最优匹配问题.
三、作图题（10分）
1、分别作出满足下列条件的图
（1）、E图但非H图；
（2）H图但非E图；（3）既非H图又非E图；（4）既是H图又是E图
2、画出度序列为（3,2,2,1,1,1）的两个非同构的简单图。
四、求下图的最小生成树，并给出它的权值之和（10分）。
v11v4
63
4
29
a8v22v56b
724
22
v3v6
图G
9
五、给出一个同构函数证明（10分）
六、若图为自补图，那么，它的阶一定能够表示为或者的形式，其中为非负整数。
而且，图的边有条。
（5分）
七、设T为一棵非平凡树，度为的顶点记为，则。
（10分）
八、证明：
阶数为8的简单偶图至多有16条边（5分）
九、设图有10个4度顶点和8个5度顶点，其余顶点度数均为7。
求7度顶点的最大数量，使得保持其可平面性（10分）
十、求图的色多项式（10分）
学号姓名学院
……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
至，共_____小时）
课程名称图论及其应用教师学时60学分
教学方式讲授考核日期_2007__年___月____日成绩
考核方式：
（学生填写）
一．填空题（每题2分，共12分）
1．简单图G=（n,m）中所有不同的生成子图（包括G和空图）的个数是_____个；
2．设无向图G=（n,m）中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_____;m=_____；
3．一棵树有个度数为i的结点，i=2,3,…,k,则它有____个度数为1的结点；
4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为_______;
5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要______天才能考完这9门课。
二．单项选择（每题2分，共10分）
1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是（）
（A）（11123）;（B）（22222）;（C）（3333）;（D）（1333）.
2．下列图中，是欧拉图的是（）
3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（）
4．下列图中，是可平面图的图的是（）
5．下列图中，不是偶图的是（）
三、（8分）画出具有7个顶点的所有非同构的树
四，用图论的方法证明：
任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同（10分）
五．（10分）设G为n阶简单无向图，n>2且n为奇数，G与G的补图中度数为奇数的顶点个数是否相等？
证明你的结论
六．（10分）设G是具有n个顶点的无向简单图，其边数，证明
（1）证明G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n。
（2）给出一个图，使它具有n个顶点，条边，但不是哈密尔顿图。
七、（10分）今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。
已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学和物理两门课程。
问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课程，使得每门课程都有人教，说明理由
八、（10分）设G是具有n个顶点，m条边，p（个连通分支的平面图，G的每个面至少由k（）条边所围成，则
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