电子科大研究生图论05-14年图论期末试题.doc

1、2005年研究生期末试题(120分钟)图论及其应用一、填空(15分，每空1分)1、 已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2，则G中至少有个顶点 .2、 m条边的简单图G中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数为3、 4个顶点的非同构的简单图有个.4、 图G1的最小生成树各边权值之和为5、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则W在这样的闭通道中具有最短长度的充要条件是：(1) 每一条边最多重复经过次；(2) 在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的6、5阶度极大非哈密尔顿图族有.7、在图G2 中，图的度序列为(44443322)，频序列为(422)，独立数为

2、3，团数为4，点色数为4，边色数为4，直径为3.图G2二、选择(15分)(1)下列序列中，能成为某简单图的度序列的是( C ) (A) (54221) (B) (6654332) (C) (332222)（2）已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2，则图G有( A )个2度点。 (A) 2 ( B) 4 (C ) 8(3) 图G如(a)所示，与G同构的图是( C )(4) 下列图中为欧拉图的是( B ),为H图的是( AB ),为偶图的是( BC ).5下列图中可1-因子分解的是( B )三、设和分别是图G的最大度与最小度，求证：(10分).证明：四、正整数序列是

3、一棵树的度序列的充分必要条件是 (10分). 证明： 结论显然设正整数序列满足，易知它是度序列。设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知m=.假设G不连通，则，且至少有一个分支含有圈C，否则，G是森林，有m=矛盾！从C中任意取出一条边。并在另一分支中任意取出一条边，作图则的度序列仍然为且，这与G的选取矛盾！所以G是连通的，G是树。即一棵树的度序列。五、求证：在简单连通平面图G中，至少存在一个度数小于或等于5的顶点 (10分).证明：若不然，这与G是简单连通平面图矛盾。六、证明：(1) 若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通；(2) 一棵树至多只有一个完美匹配 (10分).证明；(1)

4、 因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若G恰有两个奇度点u与v，且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。所以若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通。(2) 若树有两个相异的完美匹配，则且中的每个顶点的度数为2，则中包含圈，这与是数矛盾！七、求图G的色多项式(15分).图G解：图G的补图如图，则，其中，；，其中，。八、求图G中a到b的最短路(15分).v1 1 v4 6 342 9 a 8 v2 2 v5 6 b 7 2 41 2 v3 v6 图G9解 1. A1= a，t(a) = 0，T1 = 2.3. m1 = 1, a2 = v3 , t(v3) = t(a)

5、 + l(av3) = 1 (最小)， T2 =av32. A2 =a, v3, 3. m2 = 1, a3 = v1 , t(v1) = t(a) + l(av1) = 2 (最小)， T3 =av3, av12. A3 =a, v3, v1, 3. m3 = 3, a4 = v4 , t(v4) = t(v1) + l(v1v4) = 3 (最小)， T4 =av3, av1, v1v42. A4 = a, v3, v1, v4，b1(4) = v2，b2(4) = v2，b3(4) = v2, b4(4) = v53. m4 = 4, a5 = v5 , t(v5) = t(v4) +

6、l(v4v5) = 6 (最小)， T5 =av3, av1, v1v4, v4v52. A5 = a, v3, v1, v4, v5，b1(5) = v2，b2(5) = v2，b3(5) = v2 , b4(5) = v2, b5(5) = v23. m5 = 4, t(v2) = t(v4) + l(v4v2) = 7 (最小)， T6 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v22. A6 = a, v3, v1, v4, v5, v2, b2(6) = v6, b4(6) = b，b5(6) = v6，b6(6) = v63. m6 = 6, a7 = v6 , t(v6)

7、 = t(v2) + l(v2v6) = 9 (最小)， T7 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v2, v2v62. A7 = a, v3, v1, v4, v5, v2, v6, b4(7) = b，b5(7) =b，b7(7) =b3. m7 = 7, a8 = b , t(b) = t(v6) + l(v6b) = 11 (最小)， T8 =av3, av1, v1v4, v4v5, v4v2, v2v6, v6b于是知a与b的距离 d(a, b) = t(b) = 11由T8导出的树中a到b路就是最短路。2006研究生图论期末试题(120分钟)一、填空题(15分，每空

8、1分)1、若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在对应，而且它们的关联关系也保持其关系，则这两个图同构。2、完全图的生成树的数目为；阶为6的不同构的树有棵。3、设无向图有12条边，已知中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3，则中至少有个结点。4、具有5个结点的自补图的个数有。5、已知图的邻接矩阵，顶点集合，则由到的途径长度为2的条数为。6、若为欧拉图，则n=；若仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路，则n=。7、无向完全图(n为奇数)，共有条没有公共边的哈密尔顿圈。8、设是具有二分类的偶图，则包含饱和的每个顶点的匹配当且仅当，对所有。9、在有6个点。12条边的简单连通平面图中，每个面均由条边组成

9、。10、彼德森图的点色数为；边色数为；点独立数为。二、单选或多选题(15分，每题3分)1、设，则图的补图是( ).2、在下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( ).3、下列图中的( )图，到是可达的。4、下列图中，可1因子分解的是( ).5、下列优化问题中，存在好算法的是( )(A) 最短路问题；(B) 最小生成树问题；(C) TSP问题；(D) 最优匹配问题.三、作图题(10分)1、分别作出满足下列条件的图(1)、E图但非H图；(2) H图但非E图；(3) 既非H图又非E图；(4) 既是H图又是E图2、画出度序列为(3,2,2,1,1,1)的两个非同构的简单图。四、求下图的最小生成树，并给

10、出它的权值之和(10分)。v1 1 v4 6 342 9 a 8 v2 2 v5 6 b 7 2 42 2 v3 v6 图G9五、给出一个同构函数证明(10分) 六、若图为自补图，那么，它的阶一定能够表示为或者的形式，其中为非负整数。而且，图的边有条。(5分)七、设T为一棵非平凡树，度为的顶点记为，则。(10分)八、证明：阶数为8的简单偶图至多有16条边(5分)九、设图有10个4度顶点和8个5度顶点，其余顶点度数均为7。求7度顶点的最大数量，使得保持其可平面性(10分)十、求图的色多项式(10分）学 号 姓 名 学 院 密封线以内答 题无效 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共_小时

11、）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007_年_月_日 成绩 考核方式： （学生填写） 一填空题(每题2分，共12分)1简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数是_个；2设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_; m=_；3一棵树有个度数为i的结点，i=2,3,k,则它有_个度数为1的结点； 4下边赋权图中，最小生成树的权值之和为_; 5、某年级学生共选修9门课。期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要_天才能考完这9门课。二单项选择(每题2分，共10分)1下面给出的序列

12、中，不是某简单图的度序列的是( ) (A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333).2 下列图中，是欧拉图的是（ ）3 下列图中，不是哈密尔顿图的是（ ）4 下列图中，是可平面图的图的是（ ）5下列图中，不是偶图的是（ ）三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树四， 用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分)五(10分) 设G为n 阶简单无向图，n2且n为奇数，G与G的补图中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论 六(10分)设G是具有n个顶点的无向简单图，其边数，证明(1) 证明G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n。(2)给出一个图，使它具有n个顶点，条边，但不是哈密尔顿图。 七、(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学和物理两门课程。问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课程，使得每门课程都有人教，说明理由八、(10分)设G是具有n个顶点，m条边，p(个连通分支的平面图，G的每个面至少由k（）条边所围成，则