解三角形单元测试题及答案.docx
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解三角形单元测试题及答案
第一章解三角形
正弦定理：
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
即
abc
2R
sinA（其中R是三角形外接圆的半径）
sinBsinC
abcabc
2.变形：
1）sinsinsinCsinsinsinC．
2）化边为角：
a:
b:
csinA:
sinB:
sinC；
a
b
sin
sin
A
B
;
b
c
sin
sin
B
C
;
a
c
sin
sin
A
C
;
3）化边为角：
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
4）化角为边：
sin
sin
A
B
a
b
;
sinB
sinC
b
c
;
sinA
sinC
a
c
;
abc
sinA,sinB,sinC
5）化角为边：
R
2R2R2
二.三角形面积
1.
111
SABCabsinCbcsinAacsin
222
B
三.余弦定理
1.余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的2倍，即
222
abc2bccos
A
222
bac2accos
B
222
cab2abcos
C
22
bc
cosA
2.变形：
bc
2
a
2
22
ac
cosB
2ac
2
b
222
abc
cosC
2ab
1
1
2c2b2acBacos
注意整体代入，如：
2
利用余弦定理判断三角形形状：
设a、b、c是C的角、、C的对边，则：
①若，，所以为锐角
222
②若cbaA为直角
③若，所以为钝角，则是钝
角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：
A+B+C=180°；C=180°—（A+B）；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
，，；
两边之差小于第三边：
，，；
在同一个三角形中大边对大角：
ABabsinAsinB
4）三角形内的诱导公式：
sinA（B）siCncosA（B）coCstanA（B）taCn
tan
AB
tan（
22
C
2
）
sin（
2
cos（
2
C
2
C
2
）
）
C
cos（）
2
C
sin（）
2
7）三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
2
解三角形
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为（）
A.
ππππ
12B.6C.4D.
3
2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝（a＋c，b），q＝
（b－a，c－a），若p∥q，则角C的大小为（）
A.
π
6
π
B.
3
π
C.
2
D.
2π
3
→→→
3.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC△ABC＝3，则AB
|＝1，S·AC
等于（）
A．－2B．2C．±4D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于（）
A.6B．2C.3D.2
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则
sinB
sinC
的值为（）
A.
8
5
5
8
B.
5
3
C.
3
5
D.
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是（）
A．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于（）
A．－
2222
3B.3C．－
6
3D.
6
3
8．下列判断中正确的是（）
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是（）
A.
3
4B.
3
2C.3或
3
2D.
3
或
2
3
4
π
，若△ABC的面积为
10．在△ABC中，BC＝2，B＝
3
3
，则tanC为（）
2
A.3B．1C.
3
3D.
3
2
11．在△ABC中，如果sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，则△ABC是（）
A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
4＋b4＋c4＝2c2（a2＋b2），则角C的度数是（）12．△ABC中，若a
A．60°B．45°或135°C．120°D．30°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，若
sinA
a
＝
cosB
b
，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b－c）cosA＝acosC，则
cosA＝________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
2.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC
3
（1）求cosA的值；
（2）若a＝1，cosB＋cosC＝
23
3
，求边c的值．
18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.
（1）求B的大小．
（2）若a＝33，c＝5，求b.
1
4.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
2
（1）求角A的大小；
（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.
4
20．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知2acosAccosBbcosC.
（1）求cosA的值；
（2）若
3
a1,cosBcosC，求边c的值.
2
π
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝
3.
（1）若△ABC的面积等于3，求a，b.
（2）若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
22．如图，在ABC中，点D在BC边上，AD33，
（1）求sinABD的值；
（2）求BD的长．
sin
5
BAD，
13
cos
3
ADC．
5
5
解三角形答案
1．B2．B3.D4．D5．D6．D7．D8．B9．D10．C11．C12．B
13．45°14．10315．8616.
3
3
222
17．【答案】
（1）由余弦定理b
＝a＋c－2accosB，
2＝a2＋b2－2abcosCc
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝
1
3
（2）由cosA＝
122
得sinA＝,则cosB＝－cos（A＋C）＝－
33
1
3
cosC＋
22
3
sinC，
代入cosB＋cosC＝
23
3
得cosC＋2sinC＝3，从而得sin（C＋φ）＝1，
其中sinφ＝
3
，cosφ＝
3
6
3
π
（0<φ<
2
π
）则C＋φ＝
2
，于是sinC＝
6asinC
，由正弦定理得c＝
3sinA
＝
3
．
2
18．解
（1）∵a＝2bsinA，∴sinA＝2sinB·sinA，∴sinB＝
1π
5.∵022.∵0（2）∵a＝33，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b
2＝a2＋c2－2accosB＝（33）2＋52－2×33×5×cos30°＝7.
∴b＝7.
19．【答案】
（1）由acosC＋
1
2
c＝b和正弦定理得，
11
sinAcosC＋sinC＝sinB，又sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC，
22
1
∵sinC≠0，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
23
（2）由正弦定理得，b＝
asinB2
＝sinB，c＝
sinA3
asinC2
＝sinC，
sinA3
22
则l＝a＋b＋c＝1＋（sinB＋sinC）＝1＋［sinB＋sin（A＋B）］
33
＝1＋2（
3
2
sinB＋
1
2
cosB）＝1＋2sin（B＋
6
）.
∵A＝，∴B∈（0，
3
2
3
），∴B＋
6
∈（
6
，
5
6
），∴sin（B＋
6
）∈（
1
2
，1］，
∴△ABC的周长l的取值范围为（2,3］.
20【答案】
（1）由2acosAccosBbcosC及正弦定理得
2sinAcosAsinCcosBsinBcosC,即2sinAcosAsinBC.
又BCA,所以有2sinAcosAsinA,即2sinAcosAsinA.
1
而sinA0，所以.cosA
2
（2）由
1
cosA及0＜A＜，得A＝.
23
2
因此.
BCA
3
6
323
由cosBC,得cosBcosB,
cos
232
即
1333
cosBcosBsinB，即得sinB.
22262
52
由,
A知B,.于是B,或B.
36666363
所以
B，或B.
62
若,
B则C.在直角△ABC中，
62
123
c
sin，解得;
3
3c
1
若,
B在直角△ABC中，tan,
23c
3
解得.
c
3
21．解
（1）由余弦定理及已知条件得
22
a＋b－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于3，
所以
1
2absinC＝3，由此得ab＝4.
22
a＋b－ab＝4，
a＝2，
联立方程组解得
ab＝4，b＝2.
（2）由正弦定理及已知条件得b＝2a.
22
a＋b－ab＝4，
23
3
a＝
，
联立方程组解得
b＝2a，
43
b＝.
3
1
所以△ABC的面积S＝2absinC＝
23
3.
22．【答案】
（1）因为
cos
3
ADC，
5
所以
24
sinADC1cosADC．
5
5212
sinBAD，所以cosBAD1sinBAD．因为
1313因为ABDADCBAD，
所以sinABDsinADCBAD
sinADCcosBADcosADCsinBAD
4123533
51351365
．
（2）在△ABD中，由正弦定理，得
BDAD
sinBADsinABD
，
7
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