解三角形单元测试题及答案.docx

1、解三角形单元测试题及答案第一章 解三角形正弦定理：1.正弦定理： 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径，即a b c2Rs i nA （其中 R 是三角形外接圆的半径）s i nB s i nCa b c a b c2.变形： 1） sin sin sin C sin sin sin C 2）化边为角： a : b: c sin A :sin B : sin C ；absinsinAB;bcsinsinBC;acsinsinAC;3）化边为角： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C4）化角为边：sinsinABab;s i n

2、Bs i nCbc;s i nAs i nCac;a b csin A , sin B , sin C5）化角为边： R2R 2R 2二.三角形面积1. 1 1 1S ABC ab sin C bc sin A ac sin 2 2 2B三.余弦定理1.余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即2 2 2a b c 2bc cosA2 2 2b a c 2ac cosB2 2 2c a b 2ab cosC2 2b ccos A2.变形： bc2a22 2a ccos B2ac2b2 2 2a b ccos C2ab11 2 c2 b2

3、ac Ba cos注意整体代入，如： 2利用余弦定理判断三角形形状：设 a、b 、c是 C 的角 、 、 C 的对边，则：若， ，所以 为锐角2 2 2若 c b a A为直角若 ， 所以 为钝角， 则 是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180 (A+B) ；三角形三边关系：两边之和大于第三边： ， ， ；两边之差小于第三边： ， ， ；在同一个三角形中大边对大角： A B a b sin A sin B4) 三角形内的诱导公式：s i nA( B ) s iCn c o sA( B ) c oC st a nA( B ) t aCntanA Btan

4、(2 2C 2)sin(2cos(2C2C2) Ccos( ) 2Csin( )27) 三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点2解三角形一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1在 ABC 中，a2，b 3，c1，则最小角为 ( )A. 12 B.6 C.4 D.32ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c，设向量 p(ac，b)，q(ba，ca)，若 pq，则角 C 的大小为 ( )A.

5、6B.3C.2D.23 3.在ABC 中，已知 | AB |4，|AC ABC 3，则 AB|1，S AC等于( )A2 B2 C4 D2 4ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 c 2，b 6，B120，则 a等于( )A. 6 B2 C. 3 D. 25在 ABC 中，A120，AB5，BC7，则 sin Bsin C的值为 ( )A.8558B.53C.35D.6已知锐角三角形的边长分别为 2,4，x，则 x 的取值范围是 ( )A1 x 5 B. 5 x 13 C1x2 5 D2 3 x2 57在 ABC 中，a15，b10，A60，则 cos B 等于 ( )A2

6、 2 2 23 B. 3 C63 D.638下列判断中正确的是 ( )AABC 中，a7，b14，A30，有两解BABC 中，a30，b25，A150，有一解CABC 中，a6，b9，A45，有两解DABC 中，b9，c10，B60，无解9在 ABC 中，B30，AB 3，AC1，则 ABC 的面积是 ( )A.34 B.32 C. 3或32 D.3或234，若 ABC 的面积为10在 ABC 中，BC2，B33，则 tan C 为( )2A. 3 B1 C.33 D.3211在ABC 中，如果 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bcos Acos B2，则ABC 是

7、( )A等边三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D直角三角形 4b4c42c2(a2b2)，则角 C 的度数是 ( )12ABC 中，若 aA60 B45或 135C120 D30二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13在 ABC 中，若sin A acos B b，则 B_.14在 ABC 中，A60，AB5，BC7，则 ABC 的面积为 _ 15一船自西向东匀速航行， 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 64 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 _海里/小时16在 ABC 中，角 A、B、C 所对

8、的边分别为 a、b、c.若( 3bc)cos Aacos C，则cos A_.三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)2. 在ABC 中，角 A、B、C 的对边是 a、b、c，已知 3 acosAccosBb cosC3(1) 求 cosA 的值； (2) 若 a1，cosBcosC2 3 3，求边 c 的值18(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a2bsin A.(1)求 B 的大小(2)若 a3 3，c5，求 b.14. 已知 ABC的角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC cb.2 (1) 求角 A 的大小；(2)

9、若 a1，求 ABC的周长 l 的取值范围 .420在ABC中，角 A,B,C 的对边分别是 a，b，c，已知 2a cosA c cosB bcosC.(1 ）求 cosA的值；(2 ）若3a 1,cos B cos C ，求边 c 的值.221(12 分)在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b.(2)若 sin B2sin A，求 ABC 的面积22如图，在 ABC中，点 D 在 BC 边上， AD 33，(1 ）求 sin ABD 的值；(2 ）求 BD 的长sin5BAD ，13cos3ADC 55解三

10、角形 答案1B 2B 3.D4D 5D 6D 7D 8B 9D 10C 11C 12B1345 1410 3 158 6 16.332 2 217【答案】 (1) 由余弦定理 ba c 2accosB，2a2b22abcosC c有 ccosBbcos Ca，代入已知条件得 3acosAa，即 cos A13(2) 由 cosA1 2 2得 sin A ,则cosB cos( AC) 3 313cosC2 2 3sin C，代入 cosBcos C2 3 3得 cosC 2sin C 3，从而得 sin( C ) 1，其中 sin 3，cos363(0 2)则C2，于是 sin C6 asin

11、 C ，由正弦定理得 c3 sin A3218 解 (1)a 2b sin A，sin A2sin Bsin A，sin B1 5.0B ，B 30. 22.0B ，B 30.(2)a3 3，c5，B30.由余弦定理 b2a2c22accos B(3 3)252 23 35cos 30 7.b 7.19【答案】 (1) 由 acosC12cb 和正弦定理得，1 1sinAcosC sinC sinB ，又 sinB sin(A C)sinAcosC cosAsinC ， sinC cosAsinC ，2 21sinC 0， cosA ， 0A ， A .2 3(2) 由正弦定理得， basin

12、B 2 sinB ，csinA 3asinC 2 sinC ，sinA 32 2则l ab c1 (sinB sinC) 1 sinB sin(A B)3 312(32sinB 12cosB) 12sin(B 6).A ， B(0 ，323) ， B6(6，56) ， sin(B 6) (12， 1， ABC的周长l 的取值范围为(2,3 .20【答案】（1）由 2a cosA ccosB b cosC 及正弦定理得2 sin A cos A sin C cos B sin B cosC, 即 2sin A cosA sin B C .又 B C A, 所以有 2 sin Acos A sin

13、 A , 即 2 sin A cosA sin A.1而 sin A 0，所以 . cos A2(2 ）由1cos A 及 0A ，得 A .2 32因此 .B C A363 2 3由 cos B C , 得cosB cos B ,cos2 3 2即1 3 3 3cos B cos B sin B ，即得 sin B .2 2 2 6 25 2由 ,A 知 B , .于是 B , 或 B .3 6 6 6 6 3 6 3所以B ，或 B .6 2若 ,B 则C .在直角 ABC中，6 21 2 3 csin ，解得 ;33 c1若 ,B 在直角 ABC中， tan ,2 3 c3解得 .c32

14、1解 (1) 由余弦定理及已知条件得2 2a b ab4.又因为ABC 的面积等于 3，所以12ab sin C 3，由此得 ab4.2 2a b ab4，a2，联立方程组 解得ab4， b2.(2)由正弦定理及已知条件得 b2a.2 2a b ab4，2 3 3a，联立方程组 解得b2a， 4 3b . 31所以ABC 的面积 S2absin C2 3 3 .22【答案】（1）因为cos3ADC ，5所以2 4sin ADC 1 cos ADC 55 2 12sin BAD ，所以 cos BAD 1 sin BAD 因为13 13 因为 ABD ADC BAD ，所以 sin ABD sin ADC BADsin ADC cos BAD cos ADC sin BAD4 12 3 5 335 13 5 13 65(2 ）在 ABD 中，由正弦定理，得BD ADsin BAD sin ABD，7