届高考数学二轮复习小题专练平面向量复数作业全国通用.docx

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届高考数学二轮复习小题专练平面向量复数作业全国通用

小题专练·作业

（二）　平面向量、复数

1．（2018·全国卷Ⅰ）设z＝＋2i，则|z|＝（　　）

A．0B.

C．1D.

解析　解法一：

因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1。

故选C。

解法二：

因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1，故选C。

答案　C

2.（2018·福州联考）如果复数z＝，则（　　）

A.z的共轭复数为1＋i

B．z的实部为1

C.|z|＝2

D．z的实部为－1

解析　因为z＝＝＝＝－1－i，所以z的实部为－1，故选D。

答案　D

3.（2018·福建质检）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。

正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：

在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝。

下列关系中正确的是（　　）

A.－＝B.＋＝

C.－＝D.＋＝

解析　结合题目中的图形可知－＝－＝＝＝。

故选A。

答案　A

4.（2018·贵阳摸底）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为（　　）

A.10B．11,C.12D．13

解析　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A（0,0），B（4,1），C（6,4），根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D（2,3），所以·＝（4,1）·（2,3）＝8＋3＝11。

故选B。

答案　B

5.（2018·武汉调研）已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝（　　）

A.1－iB．1＋iC.－iD.＋i

解析　设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i。

故选D。

答案　D

6．（2018·南宁摸底）已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为（　　）

A.B.

C.D.

解析　因为＋＋＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC。

因为·＝2，所以||·||·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4。

又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，所以△OBC的面积为。

故选A。

答案　A

7．（2018·天津高考）在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为（　　）

A．－15B．－9

C．－6D．0

解析　由＝2，可知＝2，所以＝3。

由＝2，可知＝2，所以＝3，故＝＝3，连接MN，则BC∥MN且||＝3||。

所以＝3＝3（－），所以·＝3（－）·＝3（·－2）＝3（||·||cos120°－2）＝－6。

故选C。

答案　C

8．（2018·武汉调研）设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则（－）·（－）的最大值是（　　）

A．1＋B．1－

C.－1D．1

解析　解法一：

如图，作出，使得＋＝，（－）·（－）＝2－·－·＋·＝1－（＋）·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时（－）·（－）取得最大值，最大值为1＋。

故选A。

解法二：

如图A（1,0），B（0,1），

设C（cosθ，sinθ），则（－）·（－）＝（cosθ－1，sinθ）·（cosθ，sinθ－1）＝cos2θ－cosθ＋sin2θ－sinθ＝1－sin，所以所求为1＋。

答案　A

9．（2018·天津高考）i是虚数单位，复数＝______。

解析　＝＝＝4－i。

答案　4－i

10．（2018·江苏高考）若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________。

解析　复数z＝＝（1＋2i）（－i）＝2－i的实部是2。

答案　2

11．（2018·合肥质检）已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于______。

解析　解法一：

因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以（a＋b）2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，所以a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为＝－。

解法二：

记a＝，a＋b＝，b＝，由题意知||＝1，||＝，||＝2，则2＋2＝2，△AOB是直角三角形，且∠OAB＝，所以a在b方向上的投影为||cos＝1×＝－。

答案　－

12．（2018·惠州调研）在四边形ABCD中，＝，P为CD上一点，已知||＝8，||＝5，与的夹角为θ，且cosθ＝，＝3，则·＝______。

解析　因为＝，＝3，所以＝＋＝＋，＝＋＝－，又||＝8，||＝5，cosθ＝，所以·＝8×5×＝22，所以·＝·＝2－·－2＝52－11－×82＝2。

答案　2

13.（2018·广东二模）如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为（　　）

A．B．

C．1D．

解析　因为扇形AOB的半径为1，所以||＝1，因为OP⊥OB，所以·＝0。

因为∠AOB＝，所以∠AOP＝，所以·＝（＋）·（＋）＝2＋·＋·＋·＝1＋||cos＋||·||cos≤1＋0×＋0×＝1。

故选C。

答案　C

14．（2018·洛阳联考）已知点O是锐角三角形ABC的外心，若＝m＋n（m，n∈R），则（　　）

A．m＋n≤－2B．－2≤m＋n<－1

C．m＋n<－1D．－1

解析　因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，则m<0，n<0，不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，因为＝m＋n，所以2＝m22＋n22＋2mn·，设向量，的夹角为θ，则1＝m2＋n2＋2mncosθ1（舍去），所以m＋n<－1。

故选C。

答案　C

15．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是________。

解析　依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，又＝x＋（1－x），且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈知，x∈，即x的取值范围是。

答案　

16．已知向量a，b，c满足|a|＝2|b|＝2，a·b＝0，（c－a）·（c－b）＝0，则|c－2a|的最小值为________。

解析　由题意，设a＝（2,0），b＝（0,1），c＝（x，y），则（x－2，y）·（x，y－1）＝0，即x2＋y2－2x－y＝0，即（x－1）2＋2＝，|c－2a|的几何意义是圆（x－1）2＋2＝上的点到点（4,0）的距离，故其最小值为－＝。

答案