因此在T时刻，组合A的价值为max（ST，K）
组合B在T时刻的价格为sT。
因此在T时刻组合A的价值不会低于组合B的价值。
因此，在无套利的条件下，有c+Ke-rT≥S0
对于一个看涨期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0。
因此，期权价值不能为负值，即C≥0。
因此
C≥max（S0-Ke-rT，0）
（3）无股息股票的欧式看跌期权下限。
考虑以下两个交易组合：
组合c：
一个欧式看跌期权加上一只股票；
组合D：
金额为Ke-rT的现金。
如果SrK，在到期时，期权价值为0，组合C的价值为ST，因此在T时刻组合C的价值为max（ST，K）
将现金以无风险利率投资，在T时刻组合D的价值为K。
因此在T时刻组合C的价值总是不低于组合D的价值。
在无套利条件下，组合C的价值不会低于组合D在今天的价值，即
P+S0≥Ke-rT
对于一个看跌期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0，期权价值不能为负值，因此，P≥max（Ke-rT-S0，0）
4．看涨一看跌平价公式
考虑以下两个组合。
组合A：
一个欧式看涨期权加上数量为Ke-rT的现金；组合C：
一个欧式看跌期权加上一只股票。
这两个组合期权在到期时价值均为max（ST，K）
由于组合A和C中的期权均为欧式期权，在到期日之前不能提前执行，因此它们在当前必须有相同的价值，这意味着c+Ke-rT=P+S0
（16-1）这一关系式就是看涨一看跌平价公式（put-callparity）。
此公式表明具有欧式看涨期权的价值可由一个具有相同执行价格和到期日的看跌期权价值推导出来，这一结论反之亦然。
5．看涨—看跌平价公式扩展
虽然看涨一看跌平价公式只对欧式期权成立，但也可以从中类推美式期权服从的关系式。
当没有股息时，
S0—K≤C-P≤S0-Ke-rT
（16-2）看涨一看跌平价公式：
c+Ke-rT=p+S0，只有在无股利发放、到期执行的前提下才成立。
现在放松这两条假设，可以有以下结论。
无股息的美式看涨期权不会被提前行使。
因为，拥有期权而不是股票时，持有者拥有价格保险，也就是说，拥有期权能保证持有者最低损失仅为期权费。
一旦期权被行使后，执行价格同股票互换，保险会因此消失，再者，对期权持有者而言，支付执行价格越迟越好，这与货币的时间价值有关。
在期权期限内任意给定的时刻，如果期权的实值程度足够大，那么就应该提前行使期权。
与看涨期权类似，一个看跌期权也可以看做是一种保险，当同时持有股票和看跌期权时，看跌期权可以为期权持有者在股票价格下跌到一定水平时提供保险。
但与看涨期权不同的是，放弃这一保险，而提前行使期权从而立即实现执行价格可能为最优的策略。
因此，无股息的美式看跌期权可能会被提前行使。
接下来，放松没有红利支付的假设，考虑一下股息对期权价格的影响。
在美国，交易所交易的大部分期权期限小于l年，因此可以比较准确地预测在期权期限内股息的支付时间及数量。
用D来表示期权期限内股息的贴现值。
在计算D时，假定股息在除息日付出。
当存在股息时，公式（16-1）所表达的看跌一看涨平价公式变为
c+D+Ke-rT=P+S0（16-3）
股息会使公式（16-2）变为
S0-D-K≤C-P≤S0-Ke-rT
（16-4）例如，一个美式看涨期权的执行价格为20美元，期限为5个月，期权价格为l．5美元。
假定
当前股票价格为19美元，无风险利率为年率10％，由公式（16-2）得出，
19-20≤C-P≤19-20e-0.1x5/12
即
1≥P-C≥0．18
上式显示P-C介于0．18~1美元之间。
由于C为1．5美元，P必须介于l．68~2．50美元。
也就是说，与美式看涨期权具有相同执行价格及期限的美式看跌期权价格的上下限分别为2．50美元及1．68美元。
16．2期权组合交易策略
在第12章中，讨论了由单个期权所带来的盈利形式。
本节将以股票期权为例，讨论期权组合的交易策略。
对于其他标的资产，如股指期货、期货等，可以得到类似的结果。
为了简化，讨论中所采用的期权为欧式期权，并在所列举的交易策略收益图表中都忽略货币的时间价值，图中所表示的盈利为最终收益减去初始费用（理论上讲，盈利应等于最终受益的贴现值减去初始费用）。
16．2．1单一期权和股票的策略
包括单一期权和股票的策略有多种形式。
这些策略的盈亏状况如图16-6所示。
在图16-6中，虚线代表组合中单个证券的盈利与股票价格的关系，实线代表整个组合的盈利和股票价格之间的关系。
图16-6a中，交易组合是由一个股票多头与一个看涨期权空头组成。
这种交易策略被称为“出售受保护的看涨期权”（writingcoveredcall），这里的股票多头可以保护投资者，使其免遭股票价格急剧上涨带来的损失。
图l6-6b中，交易组合是由一个股票空头加上一个看涨期权多头组合而成，其盈利状态与出售受保护的看涨期权的盈利状态相反。
图16-6c中，交易组合包括一个看跌期权多头及股票多头，这一交易策略被称为“购买受保护的看跌期权”（protectiveput）。
图16—6d中，交易组合是由一个看跌期权空头和一个股票空头组成，这一交易策略的盈利状态与受保护的看跌期权的盈利状态相反。
图16-6中的盈亏状态与第l2章中讨论的看跌期权空头、看跌期权多头、看涨期权多头及看涨期权空头的盈利状态相似。
由看涨一看跌平价公式，以理解为何如此。
由公式（16-1）可知c=P+S0-Ke-rT（16-5）
公式（16-5）表明，一个看涨期权多头的盈利状况与用Ke-rT的现金购买看跌期权和股票的盈利状况是一样的，所以图l6-6c的盈利状况图与看涨期权多头的盈亏图相似。
对公式（16-1）进行变换，-P=S0-c-Ke-rT表示用Ke-rT购买一只股票并卖出一个看涨期权的盈利状况与出售看跌期权的盈利状况相类似，这就是为什么图16-6a与看跌期权空头盈亏图类似的原因。
也就是说，任何基本的期权交易策略都可以通过单一股票期权和股票的组合进行替代。
16．2．2价差期权交易策略1．牛市价差期权
价差期权交易策略是持有相同类型的两个或多个期权头寸，通过不同的执行价格买进卖出，从而进行套利的策略。
价差期权在不同的证券市场状态下，会有不同的策略，由此分为牛市价差期权、熊市价差期权、盒式价差期权、蝶式价差期权、日历价差期权和对角价差期权等。
下面就主要的价差期权一一展开说明。
牛市价差期权（bullspread）既可以利用看涨期权组合构成，也可以通过看跌期权组合构成。
如图l6-7所示，此牛市价差期权是，买入一个具有某一确定执行价格（K1）的股票看涨期权的同时，卖出一个标的相同但具有较高执行价格（K2）的股票看涨期权，两个看涨期权的期限相同。
从图l6-7中可以看到，牛市价差期权在不同情况下可以实现的总收益。
如果股票价格表现良好，即价格上涨高于K2时，此时收益为两个执行价格的差（K2-K1）；如果在到期日股票价格介于K1与K2之间，牛市价差的收益为ST-K1；如果在到期日，股票价格低于K1，牛市价差的收益为0。
归纳如表16-2所示：
牛市价差限制了投资者收益的同时也控制了损失的风险。
这一策略可以表达为：
投资者拥有一个执行价格为K1的期权，同时卖出执行价格为K2（K2>K1）的期权而放弃了股票上升的潜在收益。
作为对放弃潜在收益的补偿，投资者获得了执行价格为K2的期权费用。
牛市价差期权还可以通过看跌期权组合构成，其构成原理与看涨期权构成的牛市价差类似，即买入具有较低执行价格看跌期权的同时，卖出具有较高执行价格的看跌期权，如图16—8所示。
与采用看涨期权构造牛市价差不同的是，用看跌期权构造的牛市价差会给投资者在最初带来一个正的现金流（忽略保证金的要求）。
2．熊市价差期权
与牛市价差期权相似，熊市价差期权（bearspread）可以由看涨期权组合构成也可以通过看跌期权组合构成。
但熊市价差期权投资者希望股票价格下跌，因为只有股票价格下跌时，才有利可获。
首先，看看利用看跌期权构造的熊市价差期权。
由看跌期权构成的熊市价差期权是，在买入某一具有较高执行价格（K2）的看跌期权的同时，卖出具有较低执行价格（K1）的看跌期权，两个看跌期权的标的资产和期限相同。
图l6-9中，盈利由实线表示。
从图l6-9中可以看出，当股票价格低于K1时，此时价差收益为两个执行价格的差（K2-K1）；如果在到期日股票价格介于K1与K2之间，熊市价差期权的收益为K2-ST；如果在到期日，股票价格高于K2，熊市价差的收益为0。
归纳如表16-3所示。
与牛市价差类似，熊市价差限定了盈利的上限，同时也控制了损失。
由看跌期权构造的熊市价差期权在最初会有一个正的现金流出，这是因为支付的期权费小于收到期权费（卖出期权的执行价格小于买入期权的执行价格）。
熊市价差不仅能用看跌期权组合而成，也可以用看涨期权组合而成，交易策略如图l6-10所示。
投资者可以通过买入具有较高执行价格的看涨期权，卖出具有较低执行价格的看涨期权的策略构造熊市价差期权。
3．盒式期权
盒式期权（boxspread）是牛市价差和熊市价差的组合，两个价差都是由执行价格为K1和K2的看涨期权构成。
如表l6-4所示，一个盒式价差的收益为K2—K1，因此盒式价差的贴现值为（K2-K1）e-rT。
如果其贴现值与这一数值有所不同，就会产生套利机会。
如果盒式价差的市场价格过低，套利者可以通过买入盒式来盈利。
这时套利策略为：
买人一个具有执行价格K1的看涨期权，买人一个执行价格为K2的看跌期权，卖出一个执行价格为K2的看涨期权及卖出一个执行价格为K1的看跌期权。
如果盒式价差的市场价格过高，套利者可以利用卖出盒式价差来盈烈。
套利策略为买人执行价格为K2的看涨期权，买入一个执行价格为K1的看跌期权，卖出一个执行价格为K的看涨期权并卖出一个执行价格为K2的看跌期权。
4．蝶式期权
蝶式期权（butterflyspread）策略由3种具有不同执行价格的期权构成。
其构造方式为：
买人一个具有较低执行价格K1的看涨期权，买入一个具有较高执行价格K3的看跌期权，以及卖出两个具有执行价格为K2的看涨期权，其中K2为K1与K3中间的某个值。
一般来讲，K2接近于当前股票价格。
这一交易策略的盈利如图l6-11所示。
如果股票价格保持在K2附近，蝶式价差会产生盈利，但如果股票价格远远偏离K2，蝶式价差会有小量的损失。
因此蝶式价差对于那些认为股票价格不会有较大波动的投资者而言会非常合理。
该策略需要少量的初始投资。
表l6-5给出了蝶式价差的收益。
蝶式期权也可以由看跌期权构成。
投资者可以买人一个具有较低执行价格及一个具有较高执行价格的两个看跌期权，同时卖出两个具有中问执行价格的两个看跌期权，如图16-12所示。
16．2．3组合期权交易策略
组合期权是针对同一标的看涨期权与看跌期权的交易策略。
下面将要考虑的组合期权包括条式期权（strip）和带式期权（strap）、宽跨式期权（straddle）。
1．条式期权和带式期权
条式期权是具有相同执行价格和相同期限的一个看涨期权和两个看跌期权的组合。
带式期权是由具有相同执行价格和相同期限的两个看涨期权和一个看跌期权的组合。
图l6-13显示了条式期权和带式期权的盈利形式。
条式期权中投资者认为，股票价格会有较大的变动，同时价格下降的可能性要大于价格上升的可能性。
而在带式组合中，投资者也认为股票价格有较大的变动，但价格上升的可能性大于价格下降的可能性。
2．宽跨式期权
宽跨式期权是投资者买入具有相同期限但具有不同执行价格的看跌及看涨期权。
图l6-14显示了其盈利状况。
宽跨式期权所取得的盈利与执行价格之间的距离有关。
距离越远，潜在损失越小，但为了获取盈利，价格也需要有一定的浮动。
16.3二项式定价模型
1973年，布莱克和斯科尔斯（BlackandScholes）提出了Black．Scholes期权定价模型，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。
随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。
1976年，罗斯和约翰·考科斯（JohnCarringtonCox）在《金融经济学》杂志上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦（MarkRubinstein）在《金融经济学》杂志上发表论文“期权定价：
一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权定价的方法，被称为Cox．Ross．Rubinstein二项式期权定价模型。
二项式期权定价模型和布莱克一斯科尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。
二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。
二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：
上涨或者下跌。
虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
16．3．1风险中性定价
风险中性定价（riskneutralpricingtheory）又称风险中性理论，是指在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格仍然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格与投资者的风险态度无关。
这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。
风险中性价原理是约翰·考科斯和斯蒂芬·罗斯（StephenA．Ross）于1976年推导期权定价公式时建立的。
由于这种定价原理与投资者的风险制度无关，从而推广到对任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风险中性的，或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险态度的投资者。
关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清晰了衍生证券定价的分析过程。
首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（martingale）。
或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法（martingalePricingTechnique）。
由于这种定价原理与投资者的风险偏好无关，从而对任何衍生证券都适用，所以一般的衍生证券定价推导中，都接受了这样的前提条件：
风险中性的投资者不以自己的偏好进行资产选择，仅以风险和收益作为最优标准。
风险中性方法打开了利用二叉树对期货资产价值建模的期权定价技术之门。
16．3．2二项式期权模型
二项式期权模型（binomialmodel）也称为二叉树模型（binomialtree）或CRR模型，二叉树是模拟股票价格在期权期限内变动路径的图形。
通常认为股票价格服从随机游走，这源于有效市场理论。
无限期的二叉树模型将趋向随机游走，因此成为能够反映股票价格变动的有效模型。
二叉树模型仅假设股票价格向上和向下两个方向的变动，事实上也存在股票价格多方向变动，如三
下面从一个简单的例子人手。
假设一个股票的当前价格为l0元，并且已知在3个月后股票的价格将会变为l2元或8元。
希望找出3个月后能够以ll元买人股票的期权价格。
这个期权在3个月后将具有以下两个价格中的一个：
如果股票价格变为12元，期权价格为1元；如果股票价格为8元，期权价格为0，如图16-15所示。
这里可以采用一种比较简单的方式来对此例中的期权进行定价。
定价过程中唯一需要的假设是市场不存在套利机会。
构造一个股票和期权的组合，并使得这一组合在3个月后
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