方程像什么这样的举例合适吗.docx

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方程像什么这样的举例合适吗

“方程像什么”,这样的举例合适吗

　　【“望”：

病例观察】

　　在一节“认识方程”的课中，教师设计了以下几个教学环节：

一是以天平为载体呈现等量关系和不等量关系，然后进行分类得到方程；二是以方程的定义为切入点，从“等式”和“未知数”两个要点认识方程，并通过大量练习进行强化，最终学生都能抓住教师再三强调的“等式”和“未知数”两个要点来判断是否方程。

　　在课即将结束的时候，教师让学生回顾对方程的认识，开始回答的学生都在复述方程的意义――“含有未知数的等式叫作方程”。

教师正在进行全课总结，有一位学生谈了自己的学习体会：

“我觉得方程就像两个双胞胎在一起玩跷跷板一样，两边相等，很平衡。

”

　　教师没有马上接口，暗自思考该如何评价，其他学生却很受“启发”，纷纷举手要发言。

教师一看学生学习热情如此高涨，也不由得兴奋起来，允许学生畅所欲言，结果又出现了以下“精彩纷呈”的举例，让教师大呼过瘾，直至下课铃声响起――

　　生1：

方程像农民伯伯挑的粪桶担。

　　生2：

方程像少林寺和尚用双手提水桶练功。

　　生3：

鸟类的翅膀就像方程一样用来保持它们飞行时的平衡。

　　生4：

对，飞机的两翼也是这个道理。

　　生5：

我们人类繁衍生存的男女比例是一半一半的，这也与方程相似吧？

！

　　生6：

科学课上学过植物链、动物链，我觉得，这生态平衡问题就像一个大大的方程。

　　……

　　【“问”：

病历记录】

　　课后，笔者问学生：

“你们觉得方程难学吗？

”

　　学生众口一词，都说不难，只要抓住“等式”和“未知数”两个要点就行。

　　“那为什么要学方程呢？

”

　　许多学生都说不出所以然。

　　笔者换了一个话题：

“一辆公交车行驶到某一站，下车6人，上车4人，这时车上一共12人。

这里有方程么？

”

　　学生众口一词，都认为没有，因为这里看不到天平的平衡。

　　笔者又换了一个话题：

“你认为x=1是方程吗？

”

　　许多学生都认为是，因为它符合“等式”和“未知数”两个要点。

还有一些学生感觉这个方程有点怪。

　　笔者转而问教师：

“x=1是方程吗？

”

　　教师有点迟疑地说：

“应该是吧，它是一个含有未知数的等式。

只是这个方程也太简单了。

”

　　“明明x等于1，怎么可以说它未知呢？

！

”

　　“这个，……是啊，这是怎么回事呢？

”教师一筹莫展。

　　笔者又换了一个话题：

“你觉得，学生在课的最后，所说的对方程的认识是否准确？

”

　　教师一脸无奈：

“说实在的，我也说不准，但我感觉他们这样说还是比较形象生动的。

”

　　……

　　【“切”：

病理诊治】

　　数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中提出了一种解决一切问题的“万能方法”，其模式是：

把任何种类的问题转化为数学问题；把任何种类的数学问题转化为代数问题；把任何种类的代数问题转化为方程（组）的问题，然后讨论方程（组）的问题，得到解之后再对“解”进行解释。

从中，我们可以感觉到“方程”知识的重要性，它是解决问题的重要方法，由此有专家认为“方程既非基本概念，也非基本理论，而是基本方法”。

　　然而，许多教师对方程的本质认识也比较模糊，这可以从课后笔者询问教师“x=1是方程吗？

”中反映出来。

　　那么，方程的本质是什么？

张奠宙教授对方程进行了重新定义：

“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

”如此发生式定义首先告诉了我们方程的核心价值，即为了寻求未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。

可见，“含有未知数的等式叫作方程”并非是方程的严格定义，仅是一种朴素的描写，方程的意义不在于概念本身，而在于方程的本质特征：

要“求”未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

　　至此，我们就不难回答“x=1是方程吗？

”这一问题，从形式上看，x=1是方程，这个式子里有未知数，也有等式，完全符合教材对方程的描述。

但如果用“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”来看，x=1更应该说成是方程的解。

否则，只会出现“数学悖论”――“明明x等于1，怎么可以说它未知呢？

”

　　在教学中，如果教师始终只是抓住“等式”和“未知数”这两个要点去认识方程，那永远只能流于形式，这样的教学就是史宁中教授所说的把思路搞反了，学生对方程的认识只是停留在熟练背诵方程定义的层面上，也就是说，这样的教学过程只是教会了学生定义，而没有教会学生意义。

　　因为“方程既非基本概念，也非基本理论”，所以我们的教学不应过分在方程的“是什么”上咬文嚼字、对号入座，而应该在方程的“为什么”上下功夫。

陈重穆教授也指出：

“含有未知数的等式叫作方程”这一定义中没有体现方程的本质，这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。

真正的方程教学关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义，让学生通过丰富的问题情景，去发现其中的相等关系，在表达这些相等关系的时候，有的不需要未知数，有时候需要未知数一起参与，下面这个教学片段就很好地让学生明白了方程的“为什么”――

　　师：

你今年几岁啦？

　　生：

11岁。

　　师：

你的年龄是一个已经知道的数，在数学上称为已知数。

你知道老师的年龄吗？

　　生：

不知道。

是未知数。

　　师：

你们想把这个未知数变成已知数吗？

我的年龄减去20岁后，还比你们大。

我的年龄减去30岁，比你们小。

能确定我的年龄吗？

　　生：

不能，只是一个范围。

　　师：

如果我的年龄减去27就等于11呢？

　　生：

38岁。

　　师：

刚才给你们三条信息，为什么前面两条信息你们不能确定我的年龄，而第三条信息一出来就能确定？

（学生小组讨论）

　　生：

只有相等的式子，才能求出确定的结果。

　　师：

怎样把这三条信息用含有字母的式子表示？

　　生：

x-20>11，x-30<11，x-27=11。

　　师：

比较一下，你们发现了什么？

　　生：

第三个式子是左右相等的。

　　师：

是的，在未知数和已知数之间建立等量关系的式子，在数学上叫方程。

　　……

　　在小学教学中，方程是小学生首次学习有关代数的知识，是学生从算术思维向代数思维过渡的初期。

然而，在访谈中学生普遍认为“方程不难”，这在一定程度上暴露了教师并没有认识到方程的真正价值，也没有对教学难点进行突破。

　　首先，我们要让学生弄清楚等式关系这一个教学难点。

学生在以前的学习中，经常做的计算题，例如“1+2=？

”此时“1+2=3”中的“=”，在学生的眼里，常常被看成是一种具有运算性质的符号，然而，以前学生也曾做过诸如这样的判断题“在○里填>、=、<：

1+2○3”，此时“1+2=3”中的“=”，教师却常常未能及时指导学生认识到它其实就是一种关系符号。

由此可见，“1+2=3”在学生的眼里更多地看成是一个算式――“1+2=？

”而非一个等式――“1+2○3”，其实，“1+2=3”中的“=”在根本上就是一种关系符号。

　　学生长久局限在算术的思维中，导致在学习方程时对“‘=’是一种关系符号”的认识感到困难，对此，教师可以复习“在○里填>、=、<：

1+2○3”这样的判断题，勾起学生对“往事”的回忆，认识到“1+2=3”中的“=”表示相等关系。

为了增加视觉效果，引起学生的注意，教师还可以在例1（如图1）前增加这样的铺垫――“在天平左右两边各放20克砝码”，让学生对“20=20”在视觉上产生强烈的“不舒服”――“有这样的算式吗？

”此时教师把“20=20”改换成“20○20”这种学生曾经做过的判断题形式，帮助学生领悟到“20=20”表示的是一个等式，从而在对比中认识到此处的“=”是一种关系符号。

　　……

　　除了方程的工具价值，方程思想的感悟也是教学的重点和难点。

方程思想的核心在于建模、化归。

史宁中和孔凡哲在《方程思想及其课程教学设计――数学教育热点问题系列访谈录之一》一文中指出：

“小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想――用等号将相互等价的两件事情联立。

等号的左右两边等价，至于其中的关系是用文字语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的事情在数学上是等价的，这就是数学建模的本质。

”在认识“方程是一种模型”的教学中，教师应该让学生认识到“相互等价的两件事情”不仅只是如图2所示事物与砝码之间的等价关系（因为学生常常将砝码视为事物称重的结果，此情景下的“=”，学生往往视之为运算符号），还可以是如图3所示一种事物与另一种事物之间的等价关系（此情景下的“=”更容易让学生清楚地认识到它是一种关系符号），从而使学生能正确地理解方程的意义。

　　本课教学不能停留在概念层面的理解，而应该注重让学生经历方程的建模过程，根据已有模式出发赋予方程合理的生活情境，在经历方程建模的过程中深刻理解方程的意义。

上述课例，从课后的测试可以看出，学生对方程的认识满脑子只有“天平”，这对方程的建模是不利的。

我们应该帮助学生跳出天平而在更大的范围内认识方程，除了“乘车问题”，还有如下教学片段中的“倒水问题”，同样存在着方程――

　　师：

现在老师把看得见的天平收起来了，不知道你们的心中有天平吗？

　　生：

有！

　　师：

拿出来！

（学生两手平衡表示天平）

　　出示题目：

一个水壶，装有2000毫升水，往两个暖壶倒满水，再往一个200毫升的水杯倒满水，正好倒完。

（假设一个水壶的自身重量=两个暖壶的自身重量+一个水杯的自身重量）

　　师：

这道题里有天平吗？

　　生：

没有。

　　师：

真的没有吗？

　　生：

有！

　　师：

在哪儿呢？

拿出来。

右边2000毫升水壶，现在天平怎么样？

（学生演示）左边倒满一个暖壶，再倒满一个暖壶，天平还不平衡，再加一个装满200毫升水的水杯，天平平衡了吗？

　　师：

你会列出方程吗？

　　……

　　当然，上述“倒水问题”中的方程也可以只关注水的相等关系。

在“乘车问题”和“倒水问题”之类的迁移中，学生会经历一个“天平”的变异、抽象和拓展过程，例如图4所示，“天平”变成了示意图、线段图等形象。

如果说，图4所示的问题还能让学生看出“天平”，那么图5所示的问题则更需要学生想出“天平”，这样的抽象和变通过程是数学模型建立必须经历的过程。

　　……

　　同时，要让学生更好地进行方程建模，教师不妨多采用对比手法，教学可以分为两个层次：

一是同样的问题情景可以写出不同的方程，让学生从不同角度寻找等量关系，体会数量间的相等关系是方程的根；二是不同的问题情景可以用同样的方程来概括，表明了方程是刻画现实世界的有效模型，例如设计一些诸如“你能说一说生活中还有哪些事情也用方程4x=400表示吗？

”之类的开放题。

异中有同，同中有异，这也是方程的魅力所在。

　　上述“倒水问题”教学中，教师的高明之举就是逐步引导学生将心中的天平代替活动的天平。

学习方程，形式上的天平并不重要，重要的是心中要有“天平”――数量间的相等关系。

只有心中有数量之间的相等关系，才能真正体会到这种相等关系所带来的数学思维的变化。

　　经过如此深入知识本质的教学，也就能够最大程度避免上述课例中一些学生对方程的模糊认识：

一位学生的举例――“我觉得方程就像两个双胞胎在一起玩跷跷板一样，两边相等，很平衡”，其实玩跷跷板是以不平衡为目的，如果跷跷板平衡了，恰恰说明两边重量不相等。

同样，另一位学生的举例――“方程像农民伯伯挑的粪桶担”，挑粪桶担虽然以平衡为目的，但它可以通过调节支点两边的距离来实现，所以平衡不一定相等。

另外，这些学生的举例都缺失了方程另一个主要元素“含有未知数”，正确地说应该是“求未知数”，在此确实可以看出学生满脑子只有“平衡”意识。

而教师在处理这些生成性问题的时候没有及时介入作正确的指导（由此看出教师对此认识也比较模糊），导致学生的举例走上岔路，把“方程是什么”的科学性认识开始偏向“方程像什么”的艺术化认识，最终远离知识本质、学科本质而不亦乐乎，淡忘甚至遗忘原有的思考对象和知识目标。

　　教学过程是动态变化的，其随机性造就了许许多多的生成性问题。

有些生成性问题对教学有着积极作用――造就教学意外的“故事”，教师应及时开发和利用这些有益的问题，使之上升为教学的“资源”，使教学更精彩；而有些生成性问题对教学有着消极作用――造成教学意外的“事故”，教师应及时抛弃或转化这些无益的问题，使之不演变成教学的“垃圾”，使教学正常化。

　　然而，教师对这些生成性问题并非都能保持清醒的认识，并能科学合理地进行处理。

有的教师因本体性知识不足，对生成性问题是否正确无从判断；有的教师误解新课程理念，片面认定生成性问题的正面效应；有的教师审视能力偏低，判断迟钝，教育机智不强，显得无所适从。

所以，教师需要加强自身修炼。

　　（江苏省无锡市硕放南星苑小学214142

　　江苏省无锡市锡山教师进修学校214191）