方程像什么这样的举例合适吗.docx

1、方程像什么这样的举例合适吗“方程像什么”,这样的举例合适吗 【“望”：病例观察】 在一节“认识方程”的课中，教师设计了以下几个教学环节：一是以天平为载体呈现等量关系和不等量关系，然后进行分类得到方程；二是以方程的定义为切入点，从“等式”和“未知数”两个要点认识方程，并通过大量练习进行强化，最终学生都能抓住教师再三强调的“等式”和“未知数”两个要点来判断是否方程。 在课即将结束的时候，教师让学生回顾对方程的认识，开始回答的学生都在复述方程的意义“含有未知数的等式叫作方程”。教师正在进行全课总结，有一位学生谈了自己的学习体会：“我觉得方程就像两个双胞胎在一起玩跷跷板一样，两边相等，很平衡。” 教师

2、没有马上接口，暗自思考该如何评价，其他学生却很受“启发”，纷纷举手要发言。教师一看学生学习热情如此高涨，也不由得兴奋起来，允许学生畅所欲言，结果又出现了以下“精彩纷呈”的举例，让教师大呼过瘾，直至下课铃声响起 生1：方程像农民伯伯挑的粪桶担。 生2：方程像少林寺和尚用双手提水桶练功。 生3：鸟类的翅膀就像方程一样用来保持它们飞行时的平衡。 生4：对，飞机的两翼也是这个道理。 生5：我们人类繁衍生存的男女比例是一半一半的，这也与方程相似吧？！ 生6：科学课上学过植物链、动物链，我觉得，这生态平衡问题就像一个大大的方程。 【“问”：病历记录】 课后，笔者问学生：“你们觉得方程难学吗？” 学生众口一

3、词，都说不难，只要抓住“等式”和“未知数”两个要点就行。 “那为什么要学方程呢？” 许多学生都说不出所以然。 笔者换了一个话题：“一辆公交车行驶到某一站，下车6人，上车4人，这时车上一共12人。这里有方程么？” 学生众口一词，都认为没有，因为这里看不到天平的平衡。 笔者又换了一个话题：“你认为x=1是方程吗？” 许多学生都认为是，因为它符合“等式”和“未知数”两个要点。还有一些学生感觉这个方程有点怪。 笔者转而问教师：“x=1是方程吗？” 教师有点迟疑地说：“应该是吧，它是一个含有未知数的等式。只是这个方程也太简单了。” “明明x等于1，怎么可以说它未知呢？！” “这个，是啊，这是怎么回事呢？

4、”教师一筹莫展。 笔者又换了一个话题：“你觉得，学生在课的最后，所说的对方程的认识是否准确？” 教师一脸无奈：“说实在的，我也说不准，但我感觉他们这样说还是比较形象生动的。” 【“切”：病理诊治】 数学家笛卡尔在指导思维的法则一书中提出了一种解决一切问题的“万能方法”，其模式是：把任何种类的问题转化为数学问题；把任何种类的数学问题转化为代数问题；把任何种类的代数问题转化为方程（组）的问题，然后讨论方程（组）的问题，得到解之后再对“解”进行解释。从中，我们可以感觉到“方程”知识的重要性，它是解决问题的重要方法，由此有专家认为“方程既非基本概念，也非基本理论，而是基本方法”。 然而，许多教师对方程

5、的本质认识也比较模糊，这可以从课后笔者询问教师“x=1是方程吗？”中反映出来。 那么，方程的本质是什么？张奠宙教授对方程进行了重新定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”如此发生式定义首先告诉了我们方程的核心价值，即为了寻求未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。可见，“含有未知数的等式叫作方程”并非是方程的严格定义，仅是一种朴素的描写，方程的意义不在于概念本身，而在于方程的本质特征：要“求”未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。 至此，我们

6、就不难回答“x=1是方程吗？”这一问题，从形式上看，x=1是方程，这个式子里有未知数，也有等式，完全符合教材对方程的描述。但如果用“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”来看，x=1更应该说成是方程的解。否则，只会出现“数学悖论”“明明x等于1，怎么可以说它未知呢？” 在教学中，如果教师始终只是抓住“等式”和“未知数”这两个要点去认识方程，那永远只能流于形式，这样的教学就是史宁中教授所说的把思路搞反了，学生对方程的认识只是停留在熟练背诵方程定义的层面上，也就是说，这样的教学过程只是教会了学生定义，而没有教会学生意义。 因为“方程既非基本概念，也非基本理论”，所以我们的教

7、学不应过分在方程的“是什么”上咬文嚼字、对号入座，而应该在方程的“为什么”上下功夫。陈重穆教授也指出：“含有未知数的等式叫作方程”这一定义中没有体现方程的本质，这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。真正的方程教学关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义，让学生通过丰富的问题情景，去发现其中的相等关系，在表达这些相等关系的时候，有的不需要未知数，有时候需要未知数一起参与，下面这个教学片段就很好地让学生明白了方程的“为什么” 师：你今年几岁啦？ 生：11岁。 师：你的年龄是一个已经知道的数，在数学上称为已知数。你知道老师的年龄吗？ 生：不知道。是未知数。 师：你们想把这个未知数变成已知数吗

8、？我的年龄减去20岁后，还比你们大。我的年龄减去30岁，比你们小。能确定我的年龄吗？ 生：不能，只是一个范围。 师：如果我的年龄减去27就等于11呢？ 生：38岁。 师：刚才给你们三条信息，为什么前面两条信息你们不能确定我的年龄，而第三条信息一出来就能确定？（学生小组讨论） 生：只有相等的式子，才能求出确定的结果。 师：怎样把这三条信息用含有字母的式子表示？ 生：x-2011，x-30、=、=、：1+23”这样的判断题，勾起学生对“往事”的回忆，认识到“1+2=3”中的“=”表示相等关系。为了增加视觉效果，引起学生的注意，教师还可以在例1（如图1）前增加这样的铺垫“在天平左右两边各放20克砝码

9、”，让学生对“20=20”在视觉上产生强烈的“不舒服”“有这样的算式吗？”此时教师把“20=20”改换成“2020”这种学生曾经做过的判断题形式，帮助学生领悟到“20=20”表示的是一个等式，从而在对比中认识到此处的“=”是一种关系符号。 除了方程的工具价值，方程思想的感悟也是教学的重点和难点。方程思想的核心在于建模、化归。史宁中和孔凡哲在方程思想及其课程教学设计数学教育热点问题系列访谈录之一一文中指出：“小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想用等号将相互等价的两件事情联立。等号的左右两边等价，至于其中的关系是用文字语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，

10、重要的是等号左右两边的事情在数学上是等价的，这就是数学建模的本质。”在认识“方程是一种模型”的教学中，教师应该让学生认识到“相互等价的两件事情”不仅只是如图2所示事物与砝码之间的等价关系（因为学生常常将砝码视为事物称重的结果，此情景下的“=”，学生往往视之为运算符号），还可以是如图3所示一种事物与另一种事物之间的等价关系（此情景下的“=”更容易让学生清楚地认识到它是一种关系符号），从而使学生能正确地理解方程的意义。 本课教学不能停留在概念层面的理解，而应该注重让学生经历方程的建模过程，根据已有模式出发赋予方程合理的生活情境，在经历方程建模的过程中深刻理解方程的意义。上述课例，从课后的测试可以看

11、出，学生对方程的认识满脑子只有“天平”，这对方程的建模是不利的。我们应该帮助学生跳出天平而在更大的范围内认识方程，除了“乘车问题”，还有如下教学片段中的“倒水问题”，同样存在着方程 师：现在老师把看得见的天平收起来了，不知道你们的心中有天平吗？ 生：有！ 师：拿出来！（学生两手平衡表示天平） 出示题目：一个水壶，装有2000毫升水，往两个暖壶倒满水，再往一个200毫升的水杯倒满水，正好倒完。（假设一个水壶的自身重量=两个暖壶的自身重量+一个水杯的自身重量） 师：这道题里有天平吗？ 生：没有。 师：真的没有吗？ 生：有！ 师：在哪儿呢？拿出来。右边2000毫升水壶，现在天平怎么样？（学生演示）左

12、边倒满一个暖壶，再倒满一个暖壶，天平还不平衡，再加一个装满200毫升水的水杯，天平平衡了吗？ 师：你会列出方程吗？ 当然，上述“倒水问题”中的方程也可以只关注水的相等关系。在“乘车问题”和“倒水问题”之类的迁移中，学生会经历一个“天平”的变异、抽象和拓展过程，例如图4所示，“天平”变成了示意图、线段图等形象。如果说，图4所示的问题还能让学生看出“天平”，那么图5所示的问题则更需要学生想出“天平”，这样的抽象和变通过程是数学模型建立必须经历的过程。 同时，要让学生更好地进行方程建模，教师不妨多采用对比手法，教学可以分为两个层次：一是同样的问题情景可以写出不同的方程，让学生从不同角度寻找等量关系，

13、体会数量间的相等关系是方程的根；二是不同的问题情景可以用同样的方程来概括，表明了方程是刻画现实世界的有效模型，例如设计一些诸如“你能说一说生活中还有哪些事情也用方程4x=400表示吗？”之类的开放题。异中有同，同中有异，这也是方程的魅力所在。 上述“倒水问题”教学中，教师的高明之举就是逐步引导学生将心中的天平代替活动的天平。学习方程，形式上的天平并不重要，重要的是心中要有“天平”数量间的相等关系。只有心中有数量之间的相等关系，才能真正体会到这种相等关系所带来的数学思维的变化。 经过如此深入知识本质的教学，也就能够最大程度避免上述课例中一些学生对方程的模糊认识：一位学生的举例“我觉得方程就像两个

14、双胞胎在一起玩跷跷板一样，两边相等，很平衡”，其实玩跷跷板是以不平衡为目的，如果跷跷板平衡了，恰恰说明两边重量不相等。同样，另一位学生的举例“方程像农民伯伯挑的粪桶担”，挑粪桶担虽然以平衡为目的，但它可以通过调节支点两边的距离来实现，所以平衡不一定相等。另外，这些学生的举例都缺失了方程另一个主要元素“含有未知数”，正确地说应该是“求未知数”，在此确实可以看出学生满脑子只有“平衡”意识。而教师在处理这些生成性问题的时候没有及时介入作正确的指导（由此看出教师对此认识也比较模糊），导致学生的举例走上岔路，把“方程是什么”的科学性认识开始偏向“方程像什么”的艺术化认识，最终远离知识本质、学科本质而不亦

15、乐乎，淡忘甚至遗忘原有的思考对象和知识目标。 教学过程是动态变化的，其随机性造就了许许多多的生成性问题。有些生成性问题对教学有着积极作用造就教学意外的“故事”，教师应及时开发和利用这些有益的问题，使之上升为教学的“资源”，使教学更精彩；而有些生成性问题对教学有着消极作用造成教学意外的“事故”，教师应及时抛弃或转化这些无益的问题，使之不演变成教学的“垃圾”，使教学正常化。 然而，教师对这些生成性问题并非都能保持清醒的认识，并能科学合理地进行处理。有的教师因本体性知识不足，对生成性问题是否正确无从判断；有的教师误解新课程理念，片面认定生成性问题的正面效应；有的教师审视能力偏低，判断迟钝，教育机智不强，显得无所适从。所以，教师需要加强自身修炼。 （江苏省无锡市硕放南星苑小学 214142 江苏省无锡市锡山教师进修学校 214191）