15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?
证明你的结论。
二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10月4日上午10:
00—12:
00)
学生注意:
1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、(本题满分50分)
如图:
⊿ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。
求证:
(1)OB⊥DF,OC⊥DE;
(2)OH⊥MN。
二、(本题满分50分)
设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且,求的最大值与最小值。
三、(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。
2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一.选择题:
CBDDCA
1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( ).
A.1 B.2 C.4 D.不确定
讲解:
M表示方程x2-3x-a2+2=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集,选C.
2.命题1:
长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2:
长方体中,必存在到各条棱距离相等的点;
命题3:
长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
讲解:
由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2和命题3,一般的长方体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,本题只有命题1正确,选B.
3.在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=lg|sinx|中,以π为周期、在(0,π/2)上单调递增的偶函数是( ).
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
讲解:
可考虑用排除法.y=sin|x|不是周期函数(可通过作图判断),排除A;y=cos|x|的最小正周期为2π,且在(0,π/2)上是减函数,排除B;y=|ctgx|在(0,π/2)上是减函数,排除C.故应选D.
4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ).
A. B.0<k≤12
C.k≥12 D.0<k≤12或
讲解:
这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问题,由课本结论知,应选结论D.
说明:
本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.
5.若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,
则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为( ).
A.3333 B.3666 C.3999 D.32001
讲解:
由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.
取ω=-(1/2)+(/2)i,则ω3=1,ω2+ω+1=0.
令x=1,得
31000=a0+a1+a2+a3+…+a2000;
令x=ω,得
0=a0+a1ω+a2ω2+…+a2000ω2000;
令x=ω2,得
0=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+…+a2000ω4000.
三个式子相加得
31000=3(a0+a3+a6+…+a1998).
a0+a3+a6+…+a1998=3999,选C.
6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).
A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同 D.不确定
讲解:
这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,则由题设得,
问题转化为在条件①、②的约束下,比较2x与3y的大小.有以下两种解法:
解法1:
为了整体地使用条件①、②,令6x+3y=a,4x+5y=b,联立解得x=(5a-3b)/18,y=(3b-2a)/9.
∴2x-3y=…=(11a-12b)/9.
∵a>24,b<22,
∴11a-12b>11×24-12×22=0.
∴2x>3y,选A.
图1
解法2:
由不等式①、②及x>0、y>0组成的平面区域如图1中的阴影部分(不含边界).令2x-3y=2c,则c表示直线l:
2x-3y=2c在x轴上的截距.显然,当l过点(3,2)时,2c有最小值为0.故2x-3y>0,即2x>3у,选A.
说明:
(1)本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题:
已知函数M=f(x)=ax2-c满足:
-4≤f
(1)≤-1,-1≤f
(2)≤5,那么f(3)应满足( ).
A.-7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15
C.-1≤f(3)≤20 D.-28/3≤f(3)≤35/3
(2)如果由条件①、②先分别求出x、y的范围,再由2x-y的范围得结论,容易出错.上面的解法1运用了整体的思想,解法2则直观可靠,详见文[1].
二.填空题
7.8.9.
10.11.12.732
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
讲解:
若注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法;若注意到离心率e和焦参数p(焦点到相应准线的距离)的几何意义,本题也可以直接求短半轴的长.
解法1:
由得
a=2/3,从而b=,故2b=
解法2:
由e=c/a=1/2,p=b2/c=1及b2=a2-c2,得
b=.从而2b=.
说明:
这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.
8.若复数z1、z2满足|z1|=2,|z3|=3,3z1-2z2=(3/2)-i,则z1·z2=______________.
讲解:
参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点,而且也不繁.
令z1=2(cosα+isinα),z2=3(cosβ+isinβ),则由3z1-2z2=(3/2)-i及复数相等的充要条件,得
即
二式相除,得tg(α+β)/2)=3/2.由万能公式,得
sin(α+β)=12/13,cos(α+β)=-5/13.
故z1·z2=6[cos(α+β)+isin(α+β)]
=-(30/13)+(72/13)i.
说明:
本题也可以利用复数的几何意义解.
9.正方体ABCD-A1B1C11的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是______________.
讲解:
这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.
图2
为了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD1B1,则A1C1