双曲线性质总结及经典例题.docx

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双曲线性质总结及经典例题

双曲线性质总结及经典例题

做教育,做良心

双曲线

知识点总结

1.双曲线的第一定义：

|-|^f3||=加x舫程为瑕曲线pT1|-（JT1||-2a＞（F1F1^迹孵1|-四』卜加=匠叭朗丿卫的一个端点的一条射线y2y1

二二=1丽呵刍_

⑴①双曲线标准方程：

/

一般方程：

•.

⑵①i.焦点在x轴上：

i=±^^±y=0£_£=（）

顶点：

㈣（吨焦点：

（训，明准线方程「一匚渐近线方程：

或/丁

ii.焦点在F轴上：

顶点：

（。

厂呱朮）.焦点：

（切卫厂叭准线方程:

八i•■渐近线方

弹0

程：

住〃

£2/

②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.③离心率.④准线距c

（；也/昭＞s~—

（两准线的距离）.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：

对于双曲线方程

f_X=l

（八宀分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

标准方程

「二=】（a>0,d>0）

与—E=1ga0=占・<7b

图形

z

月

范圉

H王a.yeR

1胡王6#匡疋

对称性

既是中赴对称，又是轴对称，原点是收曲线的对称中心，咒轴和$轻是液曲线的对称轴

（0:

^）/0=-^）

詔心率

s=—e（L-H»）

焦点

（5（—5

（yoT

实轴长

la

蛊轴长

2b

矽方

程

x=±—

c

y=±—

c

新近线

方程

y—+—x

a

V=±—X/b

通径

3

a

做教肓,做良心

ISurn■£4I

例题分析

定义类

1,已知Fi（-5,0）,F2（5,0），—曲线上的动点P到Fi,F2距离之差为6，则双曲线的方程为

点拨：

一要注意是否满足2a：

|FiF2|，二要注意是一支还是两支

JPFj-|PF2|=6"0P的轨迹是双曲线的右支.其方程为

做教育,做良心

2

『g0）

2双曲线的渐近线为八一|x，则离心率为

点拨：

当焦点在x轴上时，

b_3a_I，

当焦点在y

轴上时，

a3.13

b=2，匕

I

4设P为双曲线X2七"上的一点Fi、F2是该双曲线的两个焦点，若|PFi|：

|PF2|=3:

2，则厶PF1F2的面积为（）

A.63B.12

C.12.3

解析：

a=1,b“12,c二、13,由|PFi|：

|PF2|=3:

2

又|PF1|-|PF2|=2a=2,②

由①、②解得|PR|=6,|PF2|=4.

■|PF1|2|PF2|2=52,|F1F2|2=52,

PF1F2为直角三角形，

S并=||pF1|•|PF2|=164=12故选B。

1已知双曲线C与双曲线琴—手=1有公共焦点，且过点（32,2）.求双曲线C的方程.

【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组

22

［解析］解法一：

设双曲线方程为7—b=1.由题意易求c=25.

又双曲线过点（3忑,2）,・•・吟1—¥=1・

ab

又Ta2+b2=（25）2,.・.a2=12,b2=8.

故所求双曲线的方程为i2—£=i・

128

解法二：

设双曲线方程为经—芜=1,

将点（32,2）代入得k=4,所以双曲线方程为暫—匸=1.

8

2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上

且焦距是10,则此双曲线的方程为

［解析］设双曲线方程为八4宀.,

当一0时，化为兰一—1,251=10，20,

4

4

当「：

0时，化为/-丄》,2-5"0—20,

_4

4

综上，双曲线方程为—诫『一*1

205520

3.以抛物线y2=8、3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x士府y=0的双曲线方程为.

［解析］抛物线y2=8、3x的焦点F为（23,0），设双曲线方程

22

为xJy2「,「03）2•—9，双曲线方程为—1

，393

2222

【例1】若椭圆U1m"0与双曲线—「1（a“0）有

mnab

相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点，贝V

A.m_a

B.

1m_aC.m2_a2

2

做教肓,做良心

|PFi|・IPF2I的值是（）

M（5,3）P，

F（6,0X

=5亠z为最小

25

D.,m-...a

【解析】椭圆的长半轴为市”PF,PF2=2、m1

双曲线的实半轴为屈”IPFi-PF2=±2药

（2）

（1）-

（2）：

PFiPF?

=4（m-a戶|PFi|PF2|=m-a，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键•

【例2】已知双曲线xi_ii=i与点M

927

3）,F为右焦点，若双曲线上有一点使PM.1pf最小，则P点的坐标为

2

【分析】待求式中的2是什么？

曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义•

【解析】双曲线的右焦点F（6,0），离心率e=2.

右准线为|:

.作mn_i于N，交双曲线右支于P，连FP，^V|PF|=ePN|=2PNn|PN=*|PF.此时

PMI+2问I=PMI+1PN|=MN

在£一沪1中，令心，得宀心-一疣“0,取X二2&.

所求P点的坐标为2.3,3）.

【例3】过点（1，3）且渐近线为心亍

的双曲线方程

【解析】设所求双曲线为j=k

点（1,3）代入：

k丄‘一35.代入

44

（1）：

222

「一务等金1即为所求-

222

【评注】在双曲线笃-占=1中，令笃

ab7a

为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为

b-k，而无须考虑其实、虚轴的位置.

b

2

x

~2.2

a

22、丄=1a2b2

若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上,

的离心率e的范围是（）

A.e>2B.1

D.e>5

【解析】如图设直线i的倾斜角为a,

曲线渐近线

m的倾斜角为3-显然。

当B>a时直

双曲线的两

个交点分别在左右两支上.由

耙毎个孩子，当成自己的孩子

【例7】直线i过双曲线

的右焦点,

斜率k=2.

则双曲线

Y

线l与

双

:

X

做教肓,做良心

.22

bc_a

P>a=>tanB>tana二一>2二2—>4ne2a5.

aa

••双曲线中e>1，故取e>J5.选d.

【例8】设p为双曲线

2

x—A1上的一点，F1,F2是该双曲

线的两个焦点，若|PF1|:

|PF2|=3:

2，则△PF1F2的面积为（

B・12

C.12.3

【解析】双曲线的实、

D・24

虚半轴和半焦距分别是:

a=1,b=275,c=T13.设；

PF1-3r,PF2-2r^*PFj|PF2=2a=2,.r=2.

于是PF1=6,PF2=4.；'PR2+|PF22=52=,

故知△PF1F2是直角三角形，

ZFiPF2=90°.

3v

F1

p

2r

F2X

二SPF1F^-2|PF1PF2=

丄64=12.选B.

2

X2—y2"的一弦中点

【例9】双曲线

（2，1），则此弦所在的直线方程为

A.y=2x-1B.

y=2x-2

C.

y=2x-3

D.y=2x3【解析】设弦的两端分别为A冷y,,BX2,y2.则有:

'22

X/y12>xf-xf-y2-y|=0=3=3.

X2—y?

=1为—X2y1y2

•・•弦中点为（2,1）,・•・

X1X2目.故直线的斜率

y1y^2

x1x2

则所求直线方程为：

y_1=2（x_2）=y=2x—3,故选C.

2

【例10】在双曲线x2舟"上，是否存在被点M（1,1）平分的弦？

如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由•

如果不问情由地利用"设而不求”的手段，会有如下解法：

【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别

为：

A（X1，yj，

_L2124

X-尹1"

'1=（X1

X2一尹2T

B（X2，y2）.那么:

i

X2xX2--%-y2yry2=0

•・•M（1,1）为弦AB的中点,

X1X2=2

y1^2-2

代入1:

2为-X2浙-y2-0,・kAB-yy-2

X1-X2

故存在符合条件的直线AB,其方程为:

y_1=2（x_1），即y=2x_1.

这个结论对不对呢？

我们只须注意如下两点就够了：

2

其一：

将点M（1，1）代入方程x2亡「，发现左

式=1-2-V1,故点M（1,1）在双曲线的外部；其二:

所求直线AB的斜率kAB=2，而双曲线的渐近线为y-B.这里、“2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公

共点的条件.

【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

2

X2-Y1—22—2

{2n2x2-（2x-1）=2n2x2-4x+3=0

（2）

y=2x-1

这里=16一24<；0，故方程

（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：

只有当可能求出k=2.若"X2,必有y“y2=0.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线•

课堂展示：

1.如果双曲线竺

4

是（）

4血

（A）〒

X1=X2时才

2

亍=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离

2.已知双曲线C:

2

X

2a

（B）卷

3

2

占=1（a>0,b>0）,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的

b2

（C）26

（D）23

圆的半径是

（A）a

（B）b

（C）ab

（D）、a2b2

22

3.以双曲线—丄

916

=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（

A.x2y2-10x9=0B.x2y2-10x16=0

耙毎个孩子，当成自己的孩子

£花定戟盲

19*iim■I

2222

C.xy10x16=0D.xy10x9=0

4.以双曲线x2—y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）

A.x2y2-4x-3=0

22

B.xy-4x3=0

C.x2y24x-5=0D.x2y24x5=0

2

5.

若双曲线》十"（a>0,b>0）上横坐标为亍的点到右焦点的距离大于它到左准

线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,2）

B.（2,+：

：

）C.（1,5）

D.（5,+:

:

）

6.

若双曲线

2

爲=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3:

2那么则双曲线的离心

b

率是（

7.

（A）3

（B）5

（C）.3

（D）5

过双曲线

2x~2

2

笃=1（a0,b0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的a~b

1—

.5

两条渐近线的交点分别为B,C.若A^-BC,则双曲线的离心率是（）

D.10

22

&已知双曲线—=1（b0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为

2b

y=x，点PC3,y°）在双曲线上■则PfJPf2=（）

A.-12B.-2C.0D.4

22

1.双曲线—=1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是

25144

2.双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.

22

3.双曲线的务-占=1a>0，b>0渐近线与一条准线围成的三角形的面积

a2b2

是.

22

4.若双曲线与-每=1（a0,b0），在右支上有一点P，且P到左焦点F1与P到右焦点F2ab

的距离之比为4:

3，求P点的横坐标。

22

1已知双曲线笃—与=1（a>0,b>0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于A,'ab

2

OAF面积为—（O为原点），则两条渐近线夹角为（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.已知双曲线的离心率为2,准线方程为y=-2x,焦点F（2,0）,求双曲线标准方程

3.求渐近线方程是4x_3y=0，准线方程是5y_16=0的双曲线方程

3.解答题

22

（1）判断方程芒y1所表示的曲线。

9—kk—3

（5）■双曲线2x2-y2=k的焦距是6,求k的值.