考研数学高等数学强化资料多元函数积分学数学一doc.docx

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考研数学高等数学强化资料多元函数积分学数学一doc

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模块十一多元函数积分学（*数学一）

I教学规划

【教学目标】

1、回顾多元函数微分学的基本概念、基本性质和常用公式

2、全面掌握各类重积分及曲线、曲面积分的计算方法，形成系统的计算思路

【主要内容】

1、三重积分的概念、性质和计算方法

2、第一类曲线积分的概念、性质和计算方法

3、第二类曲线积分的概念、性质和直接计算的方法

4、格林公式的使用

5、积分与路径无关的条件

6、二元函数的全微分

7、斯托克斯公式的使用

8、第一类曲面积分的概念、性质和计算方法

9、第二类曲面积分的概念、性质和直接计算的方法

10、高斯公式的使用

11、场论初步

【重难点】

1、格林公式的使用

2、积分与路径无关的条件

3、高斯公式的使用

II知识点回顾

1.三重积分

1.基本概念

设/Cr』,z）是空间有界闭区域G上的有界函数.将。

任意分成n个小闭区域，其中△匕表

示第7个小闭区域，也表示它的体积•在每个上任取一点作乘积

/（纟,％,「JU（7=1,2,・・・,〃），并作和工/（纟,口用）△匕.用4表示△岭的肓径’当

/=1

t/=max{^.}趋于零时，如果和的极限总存在，则称该极限值为函数f（x,y9z）在区域0上

的三重积分，记作旳，W：

岭,

JJJ/（X』，z）dv=lim£/（石,r）t,rz）A

£2/=1

注：

三重积分表示密度为/（兀,”Z）的空间形体Q的质量•我们看到，三重积分的定义完全是将二重积分的定义推广到三重积分，本质上是一样的，故三重积分的性质与二重积分的性质类似：

2.基本性质

二重积分的所冇性质都可以平行地移到三重积分中来，这里不再一一赘述.

3•计算三重积分的主要方法

1）利用直角坐标系

利用直角处标计算有两种情况：

"先一后二"和“先二后一〃.

（1）“先一后二”法（以先对变量Z积分为例）：

沿着Z轴方向白下而上画一条直线，找到该直线与积分区域的上下两个交点，设这两个交点在Z方向的坐标分别为zg）和Z2（兀,刃,则它们分别为积分变量Z的上下限;然后再找出积分区域在兀-平面上的投影Dxy,则该三重积分可表示为

口必妙『（：

：

/任』,刃比.其中，计算二重积分时可选用直角坐标也可以选用极坐标.如选Sl（x，y）

用极坐标，则该积分坐标又称为柱而坐标.

（2）“先二后一〃法（以最后变量z积分为例）：

作一个垂直于Z轴的平而，找到该平而与积分区域截而在xoy平而上的投影2,则计算二重积分时的积分区域即为再确定Z的上下限即可.此时三重积分可表示为

2）利用球面坐标

球面坐标简介:

球面坐标通过三个变量式來确定三维空间中的点•其中p为点到原点的距离,确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；0（Q<0<2tt）和

（p（O<（p<^是两个角度：

将xoy平面x>0部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点

时，所转过的角度即为0,可见，&的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接，

该连线与2轴正半轴的夹角即为0,对见0的作用类似于纬度（只不过这个纬度是以南纬

x=/?

sin/cosO

90度作为0度的）.它与直角处标系的转换公式为

三重积分球而朋标转换公式:

3）利用对称性

三重积分与二重积分有相同的对称性，对称性包括奇偶性和轮换对称性两人类:

（1）奇偶性：

假设积分区域关于坐标平面xOp对称，则

[0,/（x,y,z）关于z为奇函数

卩/（兀,y,z）dv=2出/（兀,y,z）dv,/（兀,yz）关于z为偶函数•

（2）轮换对称性:

假设积分区域关于平而=x对称，则lfl/（x,y,z）c/v=fff/（y,x,z）c/v.

2.曲线积分

1.基本概念

1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

物理背景，粗细不均的曲线形物件的质量.

定义：

设厶为XOY平面内的一条光滑曲线，函数/（兀』）在该曲线上有界•将厶分为〃个小段，设第z个小段的长度为H在第j个小段上任取一点g,7），作和式工込•如果当各小段的最大长度2TO时，该和式的极限存在，我们就把该极限称为函数/（X』）

在曲线厶上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作［/（x,y}ds.

2）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

物理背景，变丿J沿曲线做的功.

定义：

设厶为XOY平面内从/点到3点的一条有向光滑曲线,函数P（x』），O（x,y）在该曲线上有界•将厶分为/7个冇向弧段,在第7个小段上任取一点（6，〃J，作和式

与・如果当各小段的最大长度几TO时，和式

7=1i=\

工p（&，m的极限存在，我们就把该极限称为函数/（X』）在曲线厶上对处标*的曲线/=!

积分，记作（4兀刃弘・类似地，如果和式乞Pg,77闷的极限存在，我们就把该极限

/=1

称为函数f（x,y）在曲线厶上对坐标夕的曲线积分，记作［Q（x,y）dy.

上述定义可以推广到三维的情况.

注：

要结合物理背景理解第二类曲线积分.（P（x』）,0（x』））可以理解为变力由物理知识可知力在甌甌+|上所做的功nJ近似地计算为

F（纟，％）•Mg=m，Q（&,U））•a,Ayz）=P（&,7）0+Q（6，U）Ay，

而和式+0（6，%）Ax则近似农示变力F沿着曲线厶从A到B所做的功•当

/=1

划分取得无限细时，可知该和式的极限\LP（x,y）dx+［0（x,y）dy实际就是变力&在有向弧段厶所做的功，该和式记作^P{x,y）dx+^Q{x,y）dy=^F{x,y）dr.

2.基本性质

1）对弧长的曲线积分的性质

⑴线性性：

（（a/（x,y）+0g（x』）M=a[/（x』）ds+0[g（x,y）d&；

（2）对积分弧段的可加性：

£f（x,y）ds=J/（x,y）ds+J/（x,y）ds,（厶U厶2=厶厶Dd=0）；

1^^2

⑶比较定理：

f（x,y）ds<£g（x,y）ds.f（x,y）

（4）对称性：

a・奇偶性：

假设厶关于y轴対称，则

「[0,f（x,y）关丁N是奇函数

"ZW+[/（“）俎/•（“）关丁，是偶函数’其屮厶是L在第一四象限内的部分.

b・轮换对称性：

假设厶关于直线尹=兀对称，则

2）对坐标的曲线积分的性质a.线性性：

£aP（x,y）dx+/3Q（x,y）dy二&JP（x,y）dx+0JQ（x,y）dy

b・对积分弧段的可加性：

P（x,y）dx+Q（x,y）dy

=Jl、P（x,y）dx+Q（x,y）dy+J®P（x,y）dx+Q（x,y）dy,（LtQL2=0,L=厶U厶2）；

~^F（x,y）dr；

d・对称性：

假设厶关于y轴对称，则

F（x9y）dr

c・设有向弧段厶的反向弧段为匸,贝惰

其屮厶是厶在第一四象限内的部分.

3）两类曲线积分的关系

|Pdx+Qdy-\-Rdz=J[Pcosq+0cos0+7?

cosy0s.

3.重要公式定理

1）格林公式

定理：

设闭区域D由分段光滑Illi线厶围成，函数P（x,y）及0（x』）在D上具有连续的一

阶偏导数，则有:

注：

花运用时要注意检验P（x,y）及是否具有所需的连续的一阶偏导数.

该公式的意义在于将对坐标的曲线积分转化为我们相对比较熟悉的二重积分，降低了计算难度.同时，由该定理出发还可以得到如下结论：

2）平面上曲线积分与积分路径无关的条件

设函数P（x,y）及Q（x,y）在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数.

我们想要讨论对坐标的曲线积分［+0（x,y）妙在什么条件下只与厶的起点A和终点B有关，而与具体的积分路径无关.

设厶,厶是从A到B的两条分段光滑1111线，则

+Q（x,y）dy当且仅当

[P（x,y）dx+Q（x,y）dy=[P（x,y）dx

J/-Ij/j

P（x,y）dx+g（x,y）dy+£P（x,y）dx+y）dy=0（其中厶;表示厶？

的反向路径）•

若令厶二厶U厶；，则厶就成为区域G内的一条分段光滑的曲线•由上述讨论nJ知,

P（x,y）dx+Q（x,y）dy=P（x,y）dx+Q（x,y）dy当且仅当J厶JZ*2

fP^y）dx^Q（x,y）dy=（）（其中积分方向取正向边界）.

J厶

再设D是曲线厶所围成的区域，则由格林公式可得：

iPdx+Qdy=||雲-甞dxdy.

"趴oxSy）

也就是说，如果要求曲线积分\P^y）dx+Q^y）dy在区域G内为积分路径无关则有

口（型—兰）次妙=0,其屮D为G内任一子区域.而川（越―竺肚妙二。

对任意区域北dxdy计8xdy

D成立又要求有譽-齐0成立•由此我们可以得到如下定理:

定理：

设函数P（x,y）及0（x,y）在区域G上具有连续的一阶偏导数，则曲线积分

^P（x,y）dx

+Q^y）dy在G内与积分路径无关的充要条件是拏=迟在G内恒成立.exdy

3）二元函数的全微分

定理：

设函数尸（兀刃及0（兀刃在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数，则

P（x,y）dx+Q（x,y）dy在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是越=兰在G内恒dxdy

成立.

先取定G内一定点（x0,y0）,则原函数u{x,y）的计算公式为

u{x,y）=£Pdx+Qdy,^中厶（x,y）为从点（心几）到（x,y）的任意路径•为计算简便起

见，可以选择与兀轴及y轴平行的垂直折线，具体的计算公式为

fP（x』（））/+fQ（x,y）dy或fP（x,y）dx+『Q（x0,y）（Jy.

^y（）Jx。

Jy（）

4.主要计算方法

1）对弧长的曲线积分的计算方法

设曲线厶的参数式为J*=%（Z）,a

{f（x,y）ds=£/（兀⑴,W））J（xa））'+©'（/）『t.

注：

对该公式可以结合曲线弧氏计算公式来记忆，具体证明过程要了解.计算时要注意，积分上限一定要大于下限•该公式还可以推广到三维，设三维曲线厶的参数式为

X=x（t）

Z=z（/）

{f（X,y）ds=£/（x（Z）,y（t\z（/））^（x（/））~+（;/（/））'+（z（/））~dt.

特殊形式：

如果曲线厶是由函数y=f（x）9a

{P（x,y）dx+Q（x,y）dy=£[P（x（Z）,y（f））x（/）+0（x（/）,y（t））y（f）

dt.

参数式

如果曲线厶是由极朋标方程r=p{O\a

特殊形式：

如果曲线厶是山函数y=f{x\a

£P（x,y）dx+Q（x,y）dy=£[P（x,/（%））+Q（x,/（%））/'（x）JZr.

3.曲面积分

1.基本概念

1）对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

物理背景，厚薄不均的曲而型物件的质量.

定义：

设》为三维空间中的光滑曲面，函数/（x』,z）在该曲线上冇界•将Y分为刃个小块,设第7个小块的面积为d,在第，个小块上任取一点，作和式为如果当各小块的最大直径2tO吋，该和式的极限存在，我们就把该7=1

极限称为函数/（x,y,z）在曲而力上对而积的曲而积分或第一类曲而积分，记作J[/（x』,z）dS.

2）对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）

物理背景：

设流动的不可压缩液体的速度场由向最值函数v（x,y,z）=（P（x,y,z）9Q（x,y,z）,7?

（x,y,z））确定.X是速度场小一块有向llll面（所谓有向曲而是指将曲而的一侧规定为曲面的方向），我们想要求岀单位时间内流过该曲面的液体的体积.

定义：

设Y为三维空间中的有向光滑曲面，向量值函数v（x,y,z）=（P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,yyz））在该ill]面上育界.将Y分为斤个小块，设第/个小块的而积为在第7个小块上任取一点7,5），则单位时间内通过第，个小块的液体体积可近似表示为其中⑦是有向iw面工在点（&，□，©）处的法向量，设Hi=（cosa.cosp,cos/）,则冇

WaOmASj=（P（&，a，Gcosa+Q（gj,77j，Gcos0+R（&，a，Gcosy）g.

因此，单位时间内流过曲面2的液体体积近似于和式

乞（P（&，E，Gcosa+Q（&,77i，Gcos0+R（gMj，Gcosy）ASj.

/=1

由法向量的意义可知，costs’实际上是有向面积元在YOZ平面上的投影，因此记cosa^Si=（AS,）旳•同样记cos（3\Si=（,cosy\Sj=（ASJ・

则和式可改写为

工工0（/7応〃応）（△$）”

最后当各小块的最大直径2—0时，如果和式的极限存在，则该极限值就是时间内流过Illi

面Z的液体体积，其屮工P（&，a，G（ASh的极限称作函数P（x,y9z）在曲面S上对坐标尹,z的|11|面积分，记作\\P{x,yyz）dydz,即

类似地，有

S/=1

Jp?

（兀y,z）dxdy=\m£r（&,q，G（竺）切•

SZfT"

2.基本性质

1）第一类曲面积分：

a・线性性：

尹,z）+0g（x,y,z））dS=町〃（兀』,z）〃S+0JJg（x,尹,z）dS.

SES

b・对积分曲面的可加性：

JLf（x9y9z）dS+jL/（x,y,z）dS=J[/（x,yyz）dS,（£AE2=0）；

I212

d.对称性：

设分块光滑iihffls关于兀0尹平面对称，iiii曲在z轴上方的部分记作s「设其方程为z=z（x,y）,曲面在z轴下方的部分记作S2,并设P（x9y,z）是S上的连续函数，则

JJP（x』,z）dS=

0,P（x,y,z）关于z是奇函数

2fjP（x9y,z）dS,P（x,y,z）关于z是偶函数-

2）第二类曲面积分（以上/（兀』,z）张创型积分为例说明，其它类型类似）:

a・线性性:

b.对积分曲面的可加性:

f\x,y,z）dxdy,（XlAZ2=0）

血/（X，”z）dxdy+f（x,y,z）dxdy=血匹

c・设有向曲面工的反向曲面为》一,

则有从/（3皿处=-瓜/（3）必姒

d・对称性：

设分块光滑llh而S关于xOy平面对称，Illi面在Z轴上方的部分记作5,设其方

程为z=z（x,y）,曲面在z轴下方的部分记作S?

并设P（x,y,z）是S上的连续函数，则

[0,P（x,y9z）关于z是偶函数

呼,y,z）dxdy=2严,y,z）dxdy,P（x,y,z）关于z是奇函数，

3）两类曲线积分的关系

设曲面工的法向量为（cosQ,COS0,cosy）,则有

JjPcosa+Qcos（3-\-RcosydS=jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy.

£I

也可以写成如下的向罐形式：

^v-dS=^v^idS或[p・dF=[|\dS,其屮

n=（cosa.cosP，cosx）为有向lill面为在点（x.y.z）处的单位法向

量.dS=ndS=（dydz,dzdx、dxdy）称为有向面积元，匕为向量值函数7在向量方上的投影.

3.重要公式定理

1）高斯公式

定理：

设空间闭区域G是由分块光滑的闭曲而工围成的，函数

+叫.

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

P（x,y,z）,Q（x,y,z）,7?

（x,y,z）在。

上具冇一阶连续偏导数，则冇

2）斯托克斯公式

定理：

设「是分段光滑的空间冇向闭曲线，Y是以「为边界的分片光滑冇向曲面，工与厂的方向符合右手规则（当拇指以外的四指沿着厂的方向运动吋，拇指所指的方向与工上法

向量的指向一致），函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在工上具有一阶连续偏导数，贝U有

4.主要计算方法

1）对面积的曲面积分的计算方法

设曲面Y由函数z=z（x^）,（x,y）GJO确定,其中D为XOY平面上一有界闭区域.

Jj7（x,”z）dS=JJ7（x,”z（x,y））J

计算时，首先将变量z转化为z（x,y）,再将於转化为Jf+zf+zJ/妙，最后再确定Illi

面工在XOY平面上的投影即可.

2）对坐标的曲面积分的计算方法

设积分曲面工是由函数z=z（x,j）,（x,y）GZ）vvm确定曲面的上侧（其中%.为XOY平面

上一有界闭区域），

因为S取上侧，则有cos/>0,因此（AS）”=cosy\Si=（Aq）“（其中（AcrJ^是面积

元A5‘在XOY平而上的投影）•因此，我们有

/=1•/=1

令几TO即可得到^R{x,y,z）dxdy=,y,z（x,y））dxdy.为%,

计算吋，首先将变量z转化为z（x,y）,最后再确定曲而》在XOY平而上的投影即可.

注意，如果积分是取的1111面的下侧的话，公式应该札I应地变为

07?

（兀,y,z）dxdy=-jjR（x,y,z（x9y））dxdy.》4,

同样地，我们还有公式

^P（x,y,z）dydz=^P（x（y,z）,y,z）cfydz（其中积分取曲而指向x轴正方向一侧）.

2Dy:

^Q{xyy,z）dzdx=jjQ（x,y（z,x）,z）dzdx（其屮积分取曲面指向y轴正方向一侧）.

3）利用两类曲面积分的关系

JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=|J（

Pcosa+0cosp+7?

cos/）dS，

结合对面积的曲面积分的计算公式,我们可以得到对坐标的曲面积分的计算公式:

其中工是由函数z=z（x,y）决定的曲面的上侧•由多元函数的几何应用可知，曲面

z=z（x.y）上侧的点（兀尹二（兀』））处的外法线方向的方向向量

（cosa.cos0、cos/）=

（-zv,-zv,l）•进而由对面积的IW面积分的计算公式

我们有:

^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ

ZSJl+（zJ+CJ

—P・zx—Q・Zy+%ds=^-P-zx-Q-zv+Rdxdy,

其中2,是曲面E在XOY平面上的投影•当曲面是兀=x（y,z），或尸y（x,z）时我们也有

相丿应形式的公式.

4）利用高斯公式

高斯公式的应用与第二类曲线积分的格林公式的应用比较接近.

4.场论初步

1.散度

向量值函数,=（P,Q,R）的散度定义为等+詈+詈，记作div：

向量值函数v=（P,Q,R）的旋度定义为

（8R

dQdP

dP}

l勿

dz'dz

，&

莎丿

记作rotu・

旋度的计算公式也可以写为

—♦

旋度

III考点精讲

1.三重积分的计算

1.利用直角坐标

其中fl:

+y2<2z,z<2.

【例1］：

计算^\（x2+y2）dxdydz,答案：

16兀

•3

【例2】：

计算+y2dxdydz,其中Q由z=x2+y2,z=\,z=2围成.

【例3】：

i|I-^xydxdydz，其中。

由z=xy,x+y=1及z=0围成.

答案:

【例4】：

已知/点和B点的直角处标分别为（1,0,0）,（0,1,1）,线段绕Z轴旋转一-周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面z=0,z=l所围成立体的体枳.

答案：

F（f）二出z2+/（x2+j

【例5】：

设/（〃）连续，雪为空间区域03",兀2+尹2“2,令

•小结：

•般來说，当积分区域是由旋转Illi面围成或是被积函数为/（Z）或/（x2+/）可以考虑使用“先二后一〃进行计算.

使用“先二后-•〃法的关键是确定二重积分的积分区域，方法是作-个Mz轴垂直的平面，找出该平面在积分区域上的截面.

2.利用球面坐标

【例6】：

计算/=JJjzJx?

+才+z?

dxdydz,其中Q由x2+y2+z2=1,z=+J^2）

围成.

答案：

—.

【例7]：

\\\zdxdydz其中。

是由球面疋+j?

+（z_q）2=/所围成的闭区域.

•小结：

球面坐标定限的一般方法：

1）画-条从原点出发的射线，使咲穿过积分区域，找出积分区域和该射线和交的部分（结合图像）.在相交的这一段上找出Q的最大值和最小值，即为°的积分上下限；

考试对三重积分的计算耍求并不高，了解简单的计算方法即可.

【例8]:

计算/训（2尹+仃+才）血处,其中0由曲面

x2+y2+z2=672,%2+y2+z2=4a2x2+y2-z2=0围成.

答案，15龙（兀—2）/

■

•小结：

【例9］：

求/=Jjj（x3+y3+z3）dxdydzJt中0：

/+j?

+z2<2z.Q

答案：

32兀

•15*

2.第一类曲线积分

1.直接计算

答案:

【例11

【例10】：

已知曲线厶：

y=x2（0

设|11|线r：

x=acost,y=asint,z=bt（O

f（x2+y2）ds=

答案：

2勿2厶2+方2.

【例12]:

^Lyds其中厶：

（/+尹2）2二兀2一尹2在第一象限内的部分.

答案:

【例⑶：

设厶lHjtfx2+/+z2=1与x=2p的交线，试计算£（5j；2+z2）2^.

答案：

2龙.

•小结：

在计算曲线积分时,曲线上的方程可以直接“代入〃被积函数,以简化计算.

2.借助对称性

【例讥设厶为椭圆手+牛1，其周长记为。

，则

答案：

12a.

•小结：

第一类曲线积分打曲面积分冇着打重积分一样的对称性，当积分曲线或曲面关于某一坐标轴对称或坐标平面对称时，应该首先考虑函数的

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