九年级上第三单元重点归纳.docx

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九年级上第三单元重点归纳

“证明”基础知识复习巩固

一、上学期学过的公理：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

7．由以上公理，容易证明以下推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

此外等式的性质和不等式的性质也作为公理。

二、上学期学过的定理及推论：

（一）、判定两直线平行：

1．同位角相等，两直线平行。

2．同旁内角互补，两直线平行。

3．内错角相等，两直线平行。

（二）、如果两直线平行：

1．两直线平行，同位角相等。

2．两直线平行，内错角相等。

3．两直线平行，同旁内角互补。

其它：

①对顶角相等。

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

③三角形内角和定理：

三角形三个内角和等于1800。

④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

⑤三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

⑥四边形的内角和等于3600。

例1．已知：

如图，直线a,b被直线c所截，且∠1+∠2=1800

求证：

a∥b（用不同方法证明）

例2．已知：

如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。

求证：

∠1+∠2=1800。

例3．已知：

如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=600，∠C=700.

求证：

∠ADE=500

例4．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D。

求证：

∠A=∠DCB。

例5．已知：

如图，在△ABC中，∠DAC=∠B。

求证：

∠ADC=∠BAC.

例6．已知：

如图，直线AB∥ED。

求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD。

例7．已知：

如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB，∠A=650

求∠BFC的大小。

例8．已知：

如图，点F是△ABC中一点，连接FB，FC

求证：

∠BFC＞∠A。

例9．已知：

如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

求证：

∠A=∠D。

例10．已知：

如图，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。

求证：

AE=CF

三、《证明

（二）》：

（一）、等腰（边）三角形的性质：

1．定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）。

2．推论：

等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

（简称：

三线合一）。

3．等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。

（二）、等腰三角形的判定：

1．定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：

等角对等边）。

（三）、等边三角形的判定：

1．定理：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2．三个角都相等的三角形是等边三角形。

例1．已知：

如图，∠EAC是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2。

求证：

AB=AC。

例2．已知：

如图，AB=AD，BC=DC，点E、F分别是AB、AD的中点。

求证：

EC=FC。

例3．已知：

如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。

求证：

BD=CD。

例4．已知：

如图，在△ABC中，D、E分别是BC上的点，且BD=CE，AD=AE。

求证：

AB=AC。

例5．已知：

如图，AB=AE，∠ABD=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。

求证：

AF⊥CD

（四）、直角三角形：

1．勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2．勾股定理逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

5．如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6．直角三角形全等的判定定理（HL定理）：

斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

例1．已知：

如图，在△ABC中，∠ABC=Rt∠，∠C=30°,AB=20

求

（1）BC的长；

（2）BD的长。

例2．已知：

如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DE⊥AB，且DE=DF。

求证：

△ABC是等腰三角形。

例3．已知：

如图，AC=BD，AC⊥BC，AD⊥BD。

求证：

AD=BC

例4．已知：

如图，△ABC中，∠BAC=Rt∠，点D是BC的中点，∠B=30°。

求证：

△ADC是正三角形。

例5．已知：

如图，△ADC是边长为5的正三角形，△ABD是以AB为底的等腰三角形，

求AB的长。

（五）、线段的垂直平分线：

1．性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2．判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3．定理：

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

例1．已知：

如图，等腰△ABC中，AB=AC，ED垂直平分AB，BC=23，△EBC的周长为50，求AB的长。

例2．已知：

如图，MN是线段AB的垂直平分线，C、D是ＭＮ上两点。

　　　求证：

∠CAD＝∠CBD。

例３．已知：

如图，△ABC中，ａ、ｂ、ｃ分别为AB、BC、CA三边

的垂直平分线，它们相交于同一点Ｏ，求证：

ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ．

（六）、角平分线：

1．性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2．判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3．定理：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

例1．已知：

如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，

求证：

AD⊥AE。

例2．已知：

如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，

BD=CD，DE⊥AB,DF⊥AC.求证：

EB=FC。

例3．已知：

如图，在△ABC中，AD是角平分线，

DE∥AB，DF∥AC。

求证：

EF⊥AD。

例4．已知：

如图，AD是∠BAC的角平分线，DM、DN分别

是△ABD和△ACD的高。

求证：

AD垂直平分MN。

例5．已知：

如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线

相交于点F。

求证：

点F在∠DAE的平分线上。

例6．已知：

如图，△ABC中，AB=4，∠C=900，∠B=300，AD是角平分线。

求点D到AB的距离。

四、《证明（三）》：

（一）、平行四边形（两组对边分别平行的四边形称为平行四边形）：

1．性质定理：

①．平行四边形的对边相等。

②．定理：

平行四边形的对角相等。

③．定理：

平行四边形的对角线互相平分。

④．夹在两条平行线间的平行线段相等。

例1．已知：

如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F。

求证：

OE=OF.

例2．已知：

如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F;与BC、DA的延长线分别交于点M、N。

求证：

ME=MF.

例3．已知：

如图，四边形ABCD中，AB∥DC，

AD=BC，求证：

∠D=∠C。

2．判定定理：

①．定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

②．定理：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

③．定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④．定理：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例1．已知：

如图，四边形ABCD中，BD⊥DC，AD=5，BD=4，AB=CD，BC比CD长2。

求证：

四边形ABCD是平行四边形。

例2．已知：

如图，□ABCD中，∠ABC的角平分线与AD相交于点E。

求证：

ED+CD=BC。

例3．已知：

如图，AC是□ABCD的对角线，BM⊥AC，DN⊥AC。

求证：

四边形BMDN是平行四边形。

（二）、等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等的四边形称为等腰梯形）：

1．性质定理：

①等腰梯形在同一底上的两个角相等。

②等腰梯形的两条对角线相等。

2．判定定理：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

例1．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是各边的中点，求证：

EF=FG=GH=HE.

例2．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。

AB=8，AD=DC=4，∠A=600，求BC的长度。

（三）、三角形

1．定理：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

例1．已知：

如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点。

求证：

△ADE≌△DBE

例2．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，点E、F、G分别是AD、BD、BC的中点。

求证：

△EFG是等腰三角形。

（四）、矩形（有一个角是直角的平行四边形称为矩形）：

1．性质定理：

①矩形的四个角都是直角。

②矩形的对角线相等。

2．判定定理：

①有三个角是直角的四边形是矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

例1．

已知：

如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=600，AC=6。

求矩形ABCD的面积。

例2．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，AH、BG、CF、DE分别是四边形ABCD各内角的角平分线。

求证：

四边形EFGH是矩形。

例3．已知：

如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点。

求证：

四边形EFGH是矩形。

（五）、菱形（一组邻边相等的平行四边形称为菱形）：

1．性质定理：

①菱形的四条边都相等。

②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

2．判定定理：

①四条边都相等的四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

例1．已知：

如图，四边形ABCD是边长为20cm的菱形，其中对角线BD长12cm。

求

（1）对角线AC的长度。

（2）菱形ABCD的面积。

例2．已知：

在△ABC中，CE平分∠ACB，EG⊥AC，EH⊥BC，

DM∥BC，DN∥AC。

求证：

四边形CMDN为菱形。

例3．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是各边的中点，求证：

线段GE与HF互相垂直平分。

例4．已知□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点F、E，与BD交于点O。

求证：

四边形BEDF是菱形。

（六）、正方形（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形称为正方形）：

1．性质定理：

①正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

2．判定定理：

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③对角线互相垂直的矩形是正方形。

例1．已知：

如图，四边形ABCD是正方形，

以AC为边作正△AEC。

求∠EAB的度数。

例2．已知：

如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的

外角平分线围成的四边形。

求证：

四边形EFGH是正方形。

例3.已知：

如图，四边形EFGH以正方形ABCD各边的

中点为顶点。

求证：

四边形EFGH是正方形。