江苏省高考数学密卷8理.docx

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江苏省高考数学密卷8理

江苏省2019年高考数学密卷（8）理

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合，，若，则实数a的值为▲．

2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为▲．

3．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为▲．

4．工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图（左边一列的

数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数），则该组数据的

（第5题）

方差的值为▲．

5．根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S

为▲．

6．设实数满足则的最大值为▲．

7．若“

使得成立”是假命题，则

实数的取值范围是▲．

8．设等差数列的公差为（），其前n项和为．若，，

则的值为▲．

9．若抛物线的焦点到双曲线C：

的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为▲．

10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:

2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为▲．

11．若函数是偶函数，则实数a的值为▲．

12．若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a

的最小值为▲．

13．在平面凸四边形ABCD中，，，点E满足，且

．若，则的值为▲．

14．设函数（）．若存在，使，

则的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

已知向量m＝（cosα，sinα），n＝（－1，2）．

（1）若m∥n，求

的值；

（2）若|m－n|＝

，α∈，求cos的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，

，，M为的中点．求证：

（1）//平面；

（2）．

17．（本小题满分14分）

如图，是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．点C是半径上一点，点D是圆弧上一点，且．现在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：

线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．

（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆的离心率为，右焦点为圆的圆心，且圆截轴所得弦长为4．

（1）求椭圆与圆的方程；

（2）若直线与曲线，都只有一个公共点，记直线与圆的公共点为，求点的坐标．

19．（本小题满分16分）

设区间，定义在上的函数（），集合

．

（1）若，求集合；

（2）设常数．

①讨论的单调性；

②若，求证：

．

20．（本小题满分16分）

已知数列的各项均为正数，，前项和为，且，为

正常数．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，（）．

求证：

①；

②．

2018年高考模拟试卷（8）

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．

A．[选修4－1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知，是圆的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，

CD=，求线段AC的长度．

B．[选修4－2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为．

若，求，的值．

C．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数）．若以O为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l被曲线截得的线段长．

D．[选修4－5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知，且，，求a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．

22．如图，在直三棱柱中，已知，，，.

是线段的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

23．（本小题满分10分）

在教材中，我们已研究出如下结论：

平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：

空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．

设空间内个平面最多可将空间分成个部分．

（1）求的值；

（2）用数学归纳法证明此结论．

2018年高考模拟试卷（8）参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．【答案】8

【解析】因为，所以，即．

2．【答案】；

【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．

因为，所以．．

3．【答案】

【解析】设向上的点数之差的绝对值是2为随机事件，将一颗质地均匀的骰子先后

抛掷2次共有36个基本事件，事件共包含，，，，，

，，共8个基本事件，所以．

4．【答案】

【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值，所以

．

5．【答案】12

【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为；第二次执行循环体计算两个

变量的结果为；第三次执行循环体计算两个变量的结果为；所以

输出的结果为12．

6．【答案】3

【解析】画出可性域如图所示，求出代入点，

求出最大值为3．

7．【答案】

【解析】命题的否定是“

都有成立”，且是真命题，所以

对恒成立，所以．因为，当且仅当

时成立，所以，即．

8．【答案】

【解析】因为（），所以．

又因为即，，

所以解答．

9．【答案】3

【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．

因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为．根据点到直线的距离有，化简有．

10．【答案】；

【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．

因为圆分成圆心角之比为1：

2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为和．和，解得，．，

．所以．

11．【答案】

【解析】，因为是偶函数，

所以，即，解得．

12．【答案】9本题考查了曲线的切线存在性的问题．

【解析】因为，所以．存在某点处的切线斜率不大于，所以存在，．得到

，当且仅当取“”，化简得，解得．

13．【答案】2

【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积．

因为，点E满足，所以，．

，，得到．

又因为，所以，得到．

又．

，

，

，

，

．

14．【答案】

【解析】①若，

当时，为递增函数，且，

当时，的对称轴为，

若存在，使得，

则或，即或，

解得．

②若，

当时，为递增函数，且，

当时，为递减函数，且，

当时，的对称轴为，

若存在，使得，

则，即，

解得，又，所以．

综上可得，，即的取值范围为．

二、解答题：

15．【解】

（1）因为m∥n，所以sinα＝－2cosα．……4分

所以原式＝4．……6分

（2）因为|m－n|＝

，所以2sinα－cosα＝2．……9分

所以cos

α＝4（sinα－1）

，所以1－sin

α＝4（sinα－1）

，

所以α∈，

所以．……12分

所以原式＝．……14分

16．【解】

（1）设AC与BD交于点O，连结OM，

因为是平行四边形，所以O为AC中点，………2分

因为M为的中点，所以∥OM，…………………4分

又平面，OM平面，

所以∥平面．…………………………7分

（2）平面平面，交线为，

因为，故，

因为平面，所以平面，……………9分

因为平面，所以．……………11分

因为，M为的中点，所以．……12分

因为，平面，

所以平面，……………………………………………………………14分

17．【解】

（1）因为∥，所以，

在△中，，，km，

由正弦定理得，…………………………4分

（注：

正弦定理要呈现，否则扣2分）

得km，km．…………………………5分

又圆弧长为km．

所以

，．…………………………7分

（2）记，

则，………………8分

令，得．……………………………………………………9分

当x变化时，，的变化如下表：

x

＋

0

－

递增

极大值

递减

所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．

即．………………………………………………………12分

答：

（1）y关于x的函数解析式为，其定义域为

；

（2）广告位出租的总收入的最大值为元．………………………14分

18．【解】

（1）由题意知：

解得

又，

所以椭圆的方程为．…………………………………………3分

因为圆截轴所得弦长为4，所以，

所以圆的方程为．…………………………………………6分

（2）设直线的方程为，则

，

即①…………………………………………………………8分

由得，…………………………10分

因为直线与曲线只有一个公共点，所以

，

化简，得②……………………………………………………12分

①②联立，解得或……………………………………………13分

由解得，………………………………………………14分

由解得，………………………………………………15分

故直线与圆的公共点的坐标为或．…………………………16分

19．【解】

（1）当时，，则．

由可知恒成立，故函数在上单调递增，……2分

所以，解得，

所以集合．……4分

（2）①由得，

因为，则由，得．

在上列表如下：

＋

0

－

0

＋

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

（ⅰ）当，即时，

则，所以在上单调递减；……6分

（ⅱ）当，即时，此时，

在和上单调递增；在上单调递减．

综上，当时，在上单调递减；

当时，在，上单调递增；

在上单调递减．……8分

②（方法一）当时，由①可知，

（ⅰ）当时，在上单调递减，

所以，

这与恒成立矛盾，故此时实数不存在；……10分

（ⅱ）当时，在，上单调递增；

在上单调递减，

所以．……12分

若，这与恒成立矛盾，

故此时实数不存在；

若，此时，

又，则，

．

……14分

下面证明，也即证：

．

因为，且，则，

下证：

．

令，则，

所以在上单调递增，所以，即．

这与恒成立矛盾，故此时实数不存在．

综上所述，．……16分

（方法二）（ⅰ）当时，成立；

（ⅱ）当时，由题意可知恒成立，则，

设，则，

令，解得．

因为，所以，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以；……12分

（ⅲ）当时，由题意可知恒成立，则．

设，则，

因为，所以恒成立，所以在上单调递增，

所以，

所以．

若，则存在实数满足，

则成立，即，

也即成立，

则，这与矛盾，所以．……16分

20．【解】

（1）由，得，

两式相减得，也即．

又，所以．……2分

当时，，则，

所以（），

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以．……4分

（2）①由

（1）知，

所以，……6分

则，

所以得证．……8分

②

，……12分

因为，所以，．

由，所以，所以，

又因为，所以，

所以，

所以得证．……16分

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21-A．连接BC设相交于点，，

因为AB是线段CD的垂直平分线，

所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°……………………2分

则，．……………………………4分

由射影定理得……………………………6分

即有

解得（舍）或………………………………8分

所以，

．……………………………………………10分

21-B．由条件知，，即，即，

所以解得所以．……5分

则，所以解得

所以，的值分别为，．……10分

21-C．由得

两式平方后相加得．………………………………4分

所以曲线是以为圆心，半径等于3的圆．

直线l的直角坐标方程为，…………………………………………6分

圆心到l的距离是，

所以直线l被曲线截得的线段长为．……………………………10分

21-D．因为………………………………………………………………2分

，………………………6分

即，所以．……………………………………………10分

22．解：

因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线

为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则．

因为是的中点，所以，……2分

（1）因为，设平面的法向量，

则，即，取，

所以平面的法向量，而，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．……5分

（2），，设平面的法向量，

则，即，取，平面的法向量，

所以，

二面角的大小的余弦值．……10分

23．

（1）由，得解得．3分

（2）用数学归纳法证明．

①当时，显然成立．……………………………………………4分

②假设当时成立，即

那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面，

因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任

何3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分．

每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了

个，所以

+……………………………………………7分

+

，

即时，结论成立．……………………………………………9分

根据①②可知，．…………………………………10分