宁夏银川一中届高三第一次模拟考试 数学理.docx
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宁夏银川一中届高三第一次模拟考试数学理
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2019届宁夏银川一中高三第一次模拟考试
理科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则
A.B.C.D.
2．复数，则
A．B．-2C．D．2
3．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：
人次/天）分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是
A．，，，的平均数B．，，，的标准差
C．，，，的最大值D．，，，的中位数
4．已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，
且，则
A．26B．52C．78D．104
5．如图，在中，，是上
一点，若，则实数的值为
A．B．C．D．（5题图）
6．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。
老师们
目送着大家远去，渐行渐远……．执行如图所示的程序框图，
若输入，则输出的结果为
A．2B．3C．4D．5
7．双曲线C：
和直线，若过C的左焦点和点（0，-b）的直线与l平行，则双曲线C的离心率为
A．B．C．D．5
8．已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点
A．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到
B．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到
C．横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位得到
D．横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位得到
9．一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图
为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正
方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该
球的表面积为
A．B．
C．D．
10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是
①平面平面；
②平面；
③异面直线与所成角的取值范围是；
④三棱锥的体积不变.
A．①②B．①②④C．③④D．①④
12．已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是
A．B．C.D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中，的系数等于．
14．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是．
15．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为．
16．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，
，（），且.若对任意，恒成立，
则实数的最小值为．
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分）
17.（12分）
在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.
（1）若，求的值；
（2）的面积为，求的值.
18.（12分）
经济损失
4000元以下
经济损失
4000元以上
合计
捐款超过500元
30
捐款低于500元
6
合计
2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：
00到8：
00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：
30到8：
30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.
附：
临界值表
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
参考公式：
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
19.（12分）
如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.
（1）求证：
平面平面；
（2）线段上是否存在一点，使二面角
所成角的余弦值为？
若存在，请找出点的位置；若不存在，
请说明理由.
20.（12分）
已知点在椭圆上，为坐标原点，直线的斜率与直线的斜率乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：
.
21．（12分）
已知函数R.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中,以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（t为参数）.直线与曲线分别交于两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值.
23.[选修4-5：
不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数的取值范围.
银川一中2019届高三第一次模拟理科数学试题参考答案
1、选择题：
本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
C
C
A
D
C
B
B
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13.-12014.15.1316.
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分）
17．解：
（Ⅰ）由，
则，且，
由正弦定理，
因为，所以，所以，
（Ⅱ），∴，
，
∴，，
∴.
18.解
（1）如下表：
经济损失4000元以下
经济损失4000元以上
合计
捐款超过500元
30
9
39
捐款低于500元
5
6
11
合计
35
15
50
K2＝≈4.046>3.841.
所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
（2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则（x，y）可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}，则SΩ＝1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A＝{（x，y）|y≥x，7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}，即图中的阴影部分面积为SA＝1－××＝，
所以P（A）＝＝，
连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为，则
19.解：
（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，
又∵，∴，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，
∵，，，∴.
假设线段上存在一点满足题意，
，，，，
易知：
平面的一个法向量为，
∵，，
∴设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，
，∴.
点为线段的中点时，
二面角所成角的余弦值为.
20.解：
（Ⅰ）由题意，，
即①又②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：
.
（Ⅱ）设，，，由，
得，
所以，即，
又因为，所以，，
，，
解法一：
要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.
∴
∴，∴.
21．解：
（1）的定义域为，
.……………………1分
（i）当时，恒成立，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减；………………2分
（ii）当时，由得，（舍去），
①当，即时，恒成立，在上单调递增；…3分
②当，即时，
或时，恒成立，在，单调递增；
时，恒成立，在上单调递减；…………4分
③当即时，
或时，恒成立，在单调递增；
时，恒成立，在上单调递减；……………5分
综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为．
…………………………………………………6分
（2）由
（1）知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，
又因为，…………………………………7分
取，令，，则
在成立，故单调递增，，
，
（注：
此处若写“当时，”也给分）
所以有两个零点等价于，得，
所以．……………………………………………………………8分
当时，，只有一个零点，不符合题意；
当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；……9分
当且时，有两个极值，
，，
记，……………………………10分
，
令，则.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减．
故，在单调递增．
时，，故．……………………11分
又，由
（1）知，至多只有一个零点，不符合题意．
综上，实数的取值范围为.………………………………12分
22.解：
（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，即.
由直线的参数方程得直线的普通方程为.
（2）将直线的参数方程代入，化简并整理，得.
因为直线与曲线分别交于两点，所以，解得、由一元二次方程根与系数的关系，得
，.
又因为，所以.
因为点的直角坐标为，且在直线上，
所以，
解得，此时满足，且，
故.
23.解：
（1）由已知不等式，得，
当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；
当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；
当时，由得，此时无解.
综上可得所求不等式的解集为.
（2）要使函数的定义域为，
只要的最小值大于0即可.
又，当且仅当时取等号.
所以只需，即.
所以实数的取值范围是.
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