数学建模-预测方法在数学建模中应用_精品文档.ppt

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数学建模中预测方法,2,历届CUMCM数据预测题目,2003年A题SARS的传播问题2005年A题长江水质评价和预测问题2006年B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题2007年A题中国人口增加预测问题2009年D题“会议筹备”对与会人数的确定2010B题上海世博会影响力相关数据预测,3,一、预测的概念,系统预测：

根据系统发展变化的实际数据和历史资料，运用现代的科学理论和方法，以及各种经验、判断和知识，对事物在未来一定时期内的可能变化情况，进行推测、估计和分析。

几个问题三六九，出门走。

早霞不出门，晚霞行千里。

4,预测的特点科学性：

据统计资料和目前信息，运用一定程序、方法和模型，分析预测对象与相关因素的相互联系，而揭示预测对象特性和变化规律。

近似性：

受许多随机因素的影响，事前预测的结果，往往与将来实际发生的结果有一定偏差。

局限性：

对预测对象的认识常受知识、经验、观察和分析能力限制，又掌握资料和信息不够准确完整，或建模时简化等，导致预测的分析不够全面。

一、预测的概念,5,根据预测的内容：

科学预测、技术预测、社会预测、经济预测、军事预测根据预测的期限：

短期预测（1年内）、中期预测（25年）、长期预测（510年及以上）根据预测的性质：

定性预测、定量预测、综合预测,预测分类,一、预测的概念,6,预测技术的种类繁多，据统计有150多种。

其中广泛采用有1520种。

一、预测的概念,7,预测一般步骤,一、预测的概念,8,二、时间序列分析预测法,时间序列：

系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为时间序列（TimeSeries），又称动态数据。

某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,9,二、时间序列分析预测法,系统预测中讨论的时间序列，一般是某随机过程的一个样本。

通过对其分析研究，找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度，是时间序列分析的内容。

某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,10,二、时间序列分析预测法,某市六年来汽车货运量,11,时间序列特征：

趋势性T：

总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。

季节性S：

以一年为周期，四个季节呈某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。

周期性C：

决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。

不规则性I：

包括突然性和随机性变动两种。

二、时间序列分析预测法,任一时间序列可表示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为：

加法模型：

Y=T+S+C+I乘法模型：

Y=TSCI,12,二、时间序列分析预测法,某市六年来汽车货运量时间序列分解,趋势项,周期项,随机项,13,平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。

这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。

趋势外推预测法根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。

平稳时间序列预测法由于平稳时间序列的随机特征不随时间变化，所以可利用过去的数据估计该时间序列模型的参数，从而可以预测未来。

二、时间序列分析预测法-分类,14,二、时间序列分析预测法-平稳时间序列,时序图检验根据平稳时间序列均值与方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。

该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数对很快地衰减向零。

纯随机性检验（白噪声检验）,平稳性检验,15,AR（p）模型MA（q）模型ARMA（p，q）模型,平稳时间序列分析模型：

ARMA模型的全称是自回归移动平均（autoregressionmovingaverage）模型，它是目前最常用的拟合平稳时间序列的模型。

ARMA模型又可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。

二、时间序列分析预测法-平稳时间序列,16,确定性时间序列分析（平滑法、趋势外推拟合法）通常这种非平稳的时间序列显示出非常明显的规律性，比如有显著的趋势或有固定的变化周期。

随机性时间序列分析（ARIMA模型）由随机因素导致的的非平稳时间序列，通常这种随机波动非常难以确定和分析。

通过差分法或适当的变换使非平稳序列的化成为平稳序列。

在实际情况中，绝大部分序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更普遍、更重要，相应地各种分析方法也更多。

通常包含下列两种方法：

二、时间序列分析预测法-非平稳序列,非平稳序列分析法,17,ARIMA（AutoregressiveIntegratedMovingAverage）模型，差分自回归滑动平均模型（滑动也译作移动），又称求合自回归滑动平均模型。

ARIMA（p，d，q）中，AR是自回归，p为自回归项数；MA为滑动平均，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。

ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q）模型的扩展。

二、时间序列分析预测法-非平稳序列,18,Box-Jenkins法-时间序列分析法,19,例：

建立国际航线旅客月度人数的ARIMA模型。

我们已有一组1949年至1961年国际航线旅客月度人数的144条记录。

使用ARIMA过程进行建模和预测。

其数据列于下表所示。

二、时间序列分析预测法实例分析,20,

（1）绘制时序图,二、时间序列分析预测法实例分析,21,

（2）对平稳性和季节性的识别,对平稳性和季节性的识别通常有时序图和自相关图两种方法，或两者结合起来一起判断。

时序图，是通过直接观察时间序列折线图来检验序列是否平稳。

如果时间序列有某种趋势或呈现出增加或减少范围的扩散现象，则序列是不平稳的。

自相关图。

如果序列的折线图并不明显地呈现上述现象，而我们又无法直接判断序列究竟平稳与否，通常可以利用自相关图来检测序列是否平稳。

二、时间序列分析预测法实例分析,22,二、时间序列分析预测法实例分析,23,（3）变换不平稳序列为平稳序列,如果时间序列呈线性趋势，均值不是常数，利用一阶差分将产生一个平稳序列。

如果时间序列呈二次趋势，均值不是常数，利用二阶差分将产生一个平稳序列。

如果时间序列呈现出随时间的上升或下降而偏差，方差不是常数，通常可利用取自然对数转化为平稳序列。

如果时间序列呈现指数趋势，均值和方差都不是常数，通常也可利用取自然对数转化为平稳序列。

如果时间序列呈现“相对环”趋势，通常将数据除以同时发生的时间序列的相应值转化为平稳序列。

二、时间序列分析预测法实例分析,24,a）取对数消除振幅变大趋势-线性增长趋势,二、时间序列分析预测法实例分析,25,b）需要对这个新序列数据再进行滞后一次（消除增长）和滞后12次（消除季节）共两次差分最终转换为平稳序列,（4）检验待选的时间序列模型的自相关函数,二、时间序列分析预测法实例分析,26,ACF图中，我们认为自相关系数在延迟1阶后都落入2倍标准差内，然后在延迟12阶处突然有一个较大的自相关系数，紧接着又落入2倍标准差内，很象在1，12处截尾,27,（5）估计备选时间序列模型的参数估计（6）利用确定的模型进行预测,二、时间序列分析预测法实例分析,28,1、定义一元线性回归预测是处理因变量y与自变量x之间线性关系的回归预测法，其数学模型为：

其中a、b称为回归系数,首先根据x、y的现有统计数据，在直角坐标系中作散点图，观察y随x而变是否为近似的线性关系。

若是，则求出式（7.4.1）中的a、b值，就可确定其数学模型，然后由x的未来变化去求相应的y值。

三、回归分析预测法-一元线性回归,29,使拟合的数值与实际值的总方差为最小，即拟合程度最好，则得两者之差ei,根据极值原理，式（7.4.6）对a、b分别求偏导，并令其=0，得,三、回归分析预测法-一元线性回归,2、a、b的确定方法最小二乘法,30,三、回归分析预测法-一元线性回归,31,三、回归分析预测法-一元线性回归,32,3、回归效果检验,y=a+bx一定程度上反映了y与x之间的统计线性相关关系，该关系是否密切，决定了所采用线性预测模型多大程度上可信。

这可以通过y与x的相关系数rxy的大小来确定。

三、回归分析预测法-一元线性回归,33,3、回归效果检验,rxy的取值（P136图7-7）：

|rxy|=1，样本点完全落在回归线上，y与x有完全的线性关系；0rxy1，y与x有一定的正线性相关关系，即y随着x的增加而成比例倍数增加；-1rxy0，y与x有一定的负线性相关关系，即y随着x的增加而成比例倍数减少；rxy=0，y与x之间不存在线性相关关系。

三、回归分析预测法-一元线性回归,取一定显著水平，查相关系数表（教材P.384附表二），若|rxy|表中相应数字r临界值，表示x、y间存在线性相关，预测模型可用。

34,4、简化算法,对具有类似等差时间序列关系的统计数据进行预测时，可以采用此法。

由计算a、b的式（7.4.2）、（7.4.3）,发现，若能使其中的xi=0，则计算a、b就会大大简化为,三、回归分析预测法-一元线性回归,35,如何使xi=0?

当xi为等差自然数列时，可引入“集中时间序列”即使等差序列呈对称形态。

在给xi编号时可以这样处理：

（1）若n为奇数，取xi的时间间隔为1，将x=0置于资料期的中央；

（2）若n为偶数，取xi的时间间隔为2，将x=-1（+1）置于资料期中央的上（下）期。

例7.4.1某服装厂最近5年的服装产量如下表所示，请预测该厂今明两年的产量。

年份倒5年倒4年倒3年前年去年今年明年,产量（万元）300350380430500？

三、回归分析预测法-一元线性回归法,36,解：

以年份为自变量xi，产量为因变量yi，在直角坐标系中画散点图后发现y、x之间基本上呈线性关系，故可用一元线性回归方法进行预测。

此处n=5为奇数，因此可列下表整理资料，并使xi=0,年份倒5年倒4年大前年前年去年平均值,xi-2-101200,yi3003503804305001960392,xiyi-600-35004301000480,Xi24101410,Yi290000122500144400184900250000791800,三、回归分析预测法-一元线性回归,37,查相关系数表，此处n=5，若取=0.01，置信度（1-）=99%查得,三、回归分析预测法-一元线性回归,38,由于rxyr临界值，所以x，y之间确实存在着线性相关，故预测模型可以用于预测。

三、回归分析预测法-一元线性回归,39,1、基本概念社会经济S中，影响事物发展的往往是多个因素，一元回归只是一种抽象，是抓主要矛盾的结果。

有时分不清主次，只有通过多因素的多元回归才能反映事物的本质。

例如一个城市的公共交通营运总额y与该市的人口总数x1、国民生产总值x2、商品流通量（或人口流动数）x3等多因素有关，经过分析抓住主要矛盾后，可建立如下二元线性回归预测模型：

三、回归分析预测法-多元线性回归,40,一般而言，设系统变量y与k个自变量x1,x2,，xk之间存在统计线性相关关系，且给定n组样本数据点如下：

（y1,x11,x21,xk1）,（y2,x12,x22,xk2）,（yn,x1n,x2n,xkn）则其满足：

多元线性回归预测模型可以表示为：

多元线性回归与矩阵方法相结合，是社会经济系统预测与规划的一个重要手段。

三、回归分析预测法-多元线性回归,41,2、多元线性回归模型的参数估计设式（7.4.10）中，则其k+1个参数aj可利用最小二乘法进行估计，记,三、回归分析预测法-多元线性回归,42,于是，式（7.4.10）可以表示为：

三、回归分析预测法-多元线性回归,43,令误差平方和：

由极小值条件可得：

记系数矩阵（对称）适于计算机实现,最小二乘法估计是A的无偏估计。

三、回归分析预测法-多元线性回归,44,手算时，极小值条件可以表示为：

三、回归