数学建模方法详解.docx
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数学建模方法详解
数学建模方法详解--三种最常用算法
一、层次分析法
层次分析法[1] （analytic hierarchy process，AHP）是美国著名的运筹学家 T．L．Saaty 教授于 20 世纪 70 年代初首先提出的一
种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、
方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．
（一） 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．
1． 递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把
这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层
支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．
2． 测度原理
决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而
对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．
3． 排序原理
层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．
（二） 层次分析法的基本步骤
1
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]．
1． 成对比较矩阵和权向量
为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T．L．Saaty 等人的作法，一是不把所有因
素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．
假设要比较某一层 n 个因素 C1,L , Cn 对上层一个因素 O 的影响，每次取两个因素 Ci 和 C j ，用 aij 表示 Ci 和 C j 对 O 的影响之比，
全部比较结果可用成对比较阵
A = （aij ） ⨯n , aij > 0, a ji =
1
aij
表示， A 称为正互反矩阵．
一般地，如果一个正互反阵 A 满足：
aij ⋅ a jk = aik ,
i, j, k = 1, 2,L , n
（1）
则 A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明 n 阶一致阵 A 有下列性质：
① A 的秩为 1， A 的唯一非零特征根为 n ；
② A 的任一列向量都是对应于特征根 n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根 n 的、归一化的特征向量（即分量之和为 1）表示诸因素
C1,L , Cn 对上层因素 O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵 A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于
A 最大特征根（记作 λ ）的特征向量（归一化后）作为权向量 w ，即 w 满足：
Aw = λw
（2）
直观地看，因为矩阵 A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素 aij ，所以当 aij 离一致性的要求不远时, A 的特征根和特
2
征向量也与一致阵的相差不大．
（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度
当比较两个可能具有不同性质的因素 C i 和 C j 对于一个上层因素 O 的影响时，采用 Saaty 等人提出的1 - 9 尺度，即 aij 的取值
范围是1,2,L ,9 及其互反数1,1 2,L ,1 9 ．
3． 一致性检验
成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根 λ 的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容
许范围内．
若已经给出 n 阶一致阵的特征根是 n ，则 n 阶正互反阵 A 的最大特征根 λ ≥ n ，而当 λ = n 时 A 是一致阵．所以 λ 比 n 大得越
多， A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用 λ - n 数值的大小衡量 A 的不一致程
度．Saaty 将
CI =
λ - n
n -1
（3）
定义为一致性指标． CI = 0 时 A 为一致阵； CI 越大 A 的不一致程度越严重．注意到 A 的 n 个特征根之和恰好等于 n ，所以 CI 相
当于除 λ 外其余 n -1个特征根的平均值．
为了确定 A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量 A 的一致性指标 CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标 RI ，计算
RI 的过程是：
对于固定的 n ，随机地构造正互反阵 A' ，然后计算 A' 的一致性指标 CI ．
3
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0．58
0．90
1．12
1．24
1．32
1．41
1．45
1．49
1．51
对于 n ≥ 3 的成对比较阵 A ，将它的一
致性指标 CI 与同阶（指 n 相同）的随机一致性指标 RI 之比称为一致性比率 CR ，当
CI
RI
（4）
时认为 A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．
对于 A 利用（3），（4）式和表 1 进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的 A 进行修
正．
4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有
s 层，则第 k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：
w（k） = W （k）w（k-1）, k = 3, 4L , s
（5）
k
w（s） = W （s）W （s-1）L W （3）w
（2）
（6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组
4
合权向量是否可以作为最终的决策依据．
组合一致性检验可逐层进行．如第 p 层的一致性指标为 CI1 p）,L , CInp）（ n 是第 p - 1 层因素的数目），随机一致性指标为
RI1 p）,L , RIn p） ，定义
CI （P） = ⎡CI1 p）,L , CIn p） ⎤ w（p-1）
RI （p） = ⎡RI1 p）,L , RIn p） ⎤ w（p-1）
则第 p 层的组合一致性比率为:
CR
（p）
=
p
RI （p）
p = 3, 4,L , s
（7）
p
定义最下层（第 s 层）对第一层的组合一致性比率为：
s
p=2
P）
（8）
对于重大项目，仅当 CR* 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
层次分析法的基本步骤归纳如下:
（1） 建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同
一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素
之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为
准则或指标层，当准则过多时（比如多于 9 个）应进一步分解出子准则层．
5
（2） 构造成对比较阵从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1 - 9 比
较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
（3） 计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性
指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
（4） 计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验
通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 CR 较大的成对比较阵．
（三） 层次分析法的优点
1． 系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计
分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很
广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．
3． 简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单
明确，容易为决策者了解和掌握．
（四） 层次分析法的局限性
层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．
第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；
第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；
第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当
6
然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径．
（五） 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问
题．
1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行
一致性检验．这里人们碰到的问题是：
正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近
一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题．
定理 1对于正矩阵 A （ A 的所有元素为正数）
1） A 的最大特征根是正单根 λ ；
2） λ 对应正特征向量 w （ ω 的所有分量为正数）；
3） lim
T
定理 2
n 阶正互反阵 A 的最大特征根 λ ≥ n ；当 λ = n 时 A 是一致阵．
定理 2 和前面所述的一致阵的性质表明, n 阶正互反阵 A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根 λ = n ．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通
过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．
7
（1） 幂法 步骤如下：
0
b．计算 % +1） = Aw（k）, k = 0,1, 2,L
k+1）
归一化,即令 w（k+1） = w（k+1）
n
i=1
i
（k+1）
k+1）
即为所求的特征向量；否则返回 b
k+1
n i=1 ω（k）
0
（2） 和法 步骤如下：
a. 将 A 的每一列向量归一化得 % = aij
n
j=1
n
i=1
ij
c．将 %归一化 ωi = %
n
i=1
*
1 2
T
d. 计算 λ =
1 n （Aw）
n i=1 i
8
这个方法实际上是将 A 的列向量归一化后取平均值，作为 A 的特征向量．
1 n
⎝ j=1⎭
算术平均值改为求几何平均值．
3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
T
ωi
ω j
那么当 A 不是一致阵时，权向量 w 的选择应使得
aij 与
ωi
ω j
相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定 w 可以化为如下的最小二乘问题：
ωi （i=1,L ,n）
n n
2
（9）
由（9）式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为（9）式将导致求解关于 ωi 的非线性方程组，计算复杂，且
不能保证得到全局最优解,没有实用价值．
如果改为对数最小二乘问题：
ωi （i=1,L ,n）
n n
2
（10）
则化为求解关于 ln ωi 的线性方程组．可以验证，如此解得的 ωi 恰是前面根法计算的结果．
特征根法解决这个问题的途径可通过对定理 2 的证明看出．
9
4． 成对比较阵残缺时的处理
专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便
继续进行权向量的计算呢？
⎧aij ,
⎪
0,
aij ≠ θ , i ≠ j
aij = θ , i ≠ j
mi为第行的个数,
i = j
（11）
θ 表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵 A 的充分必要条件是 A 为不可约矩阵．
（六） 层次分析法的广泛应用
层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视
和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面．这个方法在 20 世纪 80 年代初引入我国，很快
为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．
层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]
举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：
肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示
表 2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价
食品 维生素 A/（IU/g） 维生素 B/（mg/g） 热量/（kJ/g） 单价/（元/g）
10
肉
面包
蔬菜
0.3527
0
25
0.0021
0.0006
0.0020
11.93
11.51
1.04
0.0275
0.006
0. 0.007
该人体重为 55 kg，每天对各类营养的最低需求为：
维生素 A
维生素 B
热量R
7500
1.6338
8548.5
国际单位 （IU）
mg
kJ
考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？
用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：
① 建立层次结构
11
W
D
E
D
1
3
E
1 3
1
每日需求W
营养 D
维生素 A热量 R
支出 E
价格 F
肉
面包
蔬菜
② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵
T
12
D
A
B
R
A
1
1
2
B
1
1
2
R
0.5
0.5
1
T
③ 第三层组合一致性检验问题
因为 CI 2 = （CI1CI2 ）W 1 = 0; RI 2 = （RI1 RI2 ）W 1 = 0.435 , CR2 = CR1 + CI 2 RI 2 = 0 < 0.1
故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素 A、维生素 B、热量 Q 及支出 E 的总权重为：
T
求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价
的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计
算，可得表 5
表 5 各营养成分数据的归一化
食品维生素 A维生素 B热量 R单价 F
13
肉
0.0139
0.4468
0.4872
0.1051
面包
0.0000
0.1277
0.4702
0.4819
蔬菜
0.9861
0.4255
0.0426
0.4310
的比例取 0.2376 :
0.2293 :
0.5331 较为合适．引入参数变量，令 x1 = 0.2376k ， x2 = 0.2293k ， x3 = 0.5331k ，代入 （LP1）
min f = 0.0275x1 + 0.006x2 + 0.007x3
⎧0.3527x1 + 25.0x3 ≥ 7500
⎪0.0021x123 ≥ 1.6338
s.t. ⎨
⎪x1, x2 , x3, ≥ 0
（LP1）
则得
min f = 0.0116k
⎧13.4113k ≥ 7500
⎪0.0017k ≥ 1.6338
s.t. ⎨
⎪k ≥ 0
（LP2）
755.98 g，每日的食品费用为16.45 元．
14
T
f * = 16.4497 ，即肉 336.94 g，面 325.17 g，蔬菜
总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．
15
二、模糊数学法
模糊数学是 1965 年美国控制论专家 L．A．Zadeh 创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识
别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．
（一） 模糊数学的研究内容
一一一 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；
一一一 研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；
一一一 研究模糊数学的应用．
（二） 模糊数学在数学建模中应用的可行性
1． 数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内
外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论
本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模
糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．
2． 数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：
白色问题、灰色问题和黑色问题．毫
无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这
种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．
3． 数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次
分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够
写出优秀的论文．
16
（三） 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度
在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量 b
= （b1, b2 ,L , bm ）,其中， 0 < b j < 1 ， m 为可能出现的
评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注
意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适
用的．
最大隶属原则有效度的测量
1． 有效度指标的导出
n
j=1
n
j=1
j
= nc 时，
最大隶属原则完全失效，且 max bj 越大（相对于
n
j=1
j 而言），最大隶属原则也越有效．由此可认为，最大隶属原则的有效性
与 max bj 在
n
j=1
j
中的比重有关，于是令：
1≤ j≤n
n
j =1
j
（12）
17
1≤ j≤1≤ j≤n
n
n
j=1
j
= nc 时，有 β = 1 n 为 β 的最小
值，即得到 β 的取值范围为:
1 n ≤ β ≤ 1．由于在最大隶属原则完全失效时， β = 1 n 而不为 0 ，所以不宜直接用 β 值来判断最大
隶属原则的有效性．为此设：
β ' = =
n - 1
（13）
则 β ' 可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与 1sec b j （ 1sec b j 的含义是向量 b 各分量中
第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：
1≤ j≤n
n
j=1
j
（14）
可见：
当 b = （1,1, 0, 0,L , 0）时， γ 取得最大值1 2 ．
当 b = （0,1, 0, 0,L , 0）时， γ 取得最小值 0 ．
即 γ 的取值范围为 0 ≤ γ ≤ 1 2 ，设 γ ' =
（1γ2- - 0
= 2γ ．一般地， β ' 值越大最大隶属原则有效程度越高；而 γ ' 值越大，最大隶属原
则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：
18
β '⎛ nβ -1 ⎫
γ '⎝ n -1 ⎭
nβ -1
2γ （n -1）
（15）
使用α 指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．
2. α 指标的使用
从α 指标的计算公式看出α 与 γ 成反比，与 β 成正比．由 β 与 γ 的取值范围，可以讨论α 的取值范围：
当 γ 取最大值， β 取最小值时，α 将取得最小值 0 ；
当 γ 取最小值， β 取最大值时，α 将取得最大值：
因为 limα = +∞ ，所以可定义 γ = 0 时，α = +∞ ．即：
0 ≤ α < +∞ ．
γ →0
由以上讨论，可得如下结论：
当α = +∞
时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1 ≤ α < +∞ 时，可认为施行最大隶属原
则非常有效；当 0.5 ≤ α < 1 时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为α 值；当 0 < α < 0.5 时可认为施行最大隶属
原则是最低效的；而当α = 0 时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得
可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于
某个等级．
讨论
a．在很多情况下，可根据 β 值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算α 值．根据α 与 β 之间的关系，
当 β ≥ 0.7 ，且 n > 4 时，一定存在α > 1 ．通常评价等级数取 4 和 9 之间，所以 n > 4 这一条件往往可以忽略，只要 β ≥ 0.7 就可免
算α 值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．
b． 如果对 b = （b1, b2 ,L , bm ）进行归一化处理而得到 b' ，则可直接根据 b' 进行最大隶属原则的有效度测量．
19
（四） 模糊数学在数学建模中的应用
模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等
等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用．
举例带模糊约束的最小费用流问题[8]
问题的提出最小费用流问题的一般提法是：
设 D = （V , A, c,ω ）是一个带出发点 vs 和收点 vt 的容量-费用网络，对于任意
（vij ）∈ A ， cij
表示弧 （vi , v j ）上的容量， ωij 表示弧 （vi , v j ）上通过单位流量的费用， v0 是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得
从 vs 到 vt 恰好运输流值为 v0 的流且总费用最小？
如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？
模型和解法问题可以归结为：
怎样制定满足以
升级会员 