差分方法建模.docx
《差分方法建模.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《差分方法建模.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
差分方法建模
差分方法建模
经过一段时间的学习，我对《数学建模》从最初的认知，到最后系统性的了解，并且在老师的帮助下，我渐渐地喜欢上这么课程，由此把自己的从这门课程中学到的东西和认识给写下来，希望老师给予知道和讲评，我也会在以后的日子里加以改进。
首先说说自己对《数学建模》的认识。
最初印象是从图书馆里开始认识的，那个时候自己还是大一刚来的小青年，对一切都充满着好奇和新鲜，看到《数学建模》这本书的时候，我随手拿过来看，发现里而对事物的分析方法和模型的建立都很详细，我就试着往下看，感觉这本书非常好，幸好今年有这门课程的建立，更加是我产生了浓厚的兴趣，在以后的日子里，每节课堂我都认真的听老师讲课，经过这半年的学习，自己多少对《数学建模》有了一些认识，利用课间时间我查阅了一些资料，是自己更加充分的了解它，下而是我对其的认识，数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。
经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。
对于现在的大学上来说，大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越髙，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。
可以说，数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。
1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。
教弃部领导及时发现、并扶植、培冇了这一新生事物，决左从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。
十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。
全国大学生数学建模竞赛是全国髙校规模最大的课外科技活动之一。
本竞赛每年9月（一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛而向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、髙专生）可以参加）。
2008年全国有31个省/巾7自治区（包括香港）1023所院校、12846个队（其中甲组10384队、乙组2462队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多二、数学建模的定义简单地说：
数学模型就是对实际问题的一种数学表述。
具体一点说：
数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。
更确切地说：
数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特左目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并”解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模的几个过程：
1模型准备：
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题。
2模型假设：
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3模型建立：
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
（尽量用简单的数学工具）
4模型求解：
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
5模型分析：
对所得的结果进行数学上的分析。
6模型检验：
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出英实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
7模型应用：
应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
数学建模的方法：
机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。
1•比例分析法-建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2.代数方法-求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3.逻辑方法-是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。
4.常微分方程-解决两个变量之间的变化规律，关键是建立”瞬时变化率”的表达式。
5.偏微分方程-解决因变疑与两个以上自变量之间的变化规律。
（二）、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型。
1.回归分析法-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=l,2...n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2•时序分析法-处理的是动态的相关数拯，又称为过程统汁方法。
3.回归分析法-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=l,2..n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4•时序分析法-处理的是动态的相关数据，又称为过程统汁方法。
（三）、仿真和其他方法：
1.计算机仿真（模拟）实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。
①离散系统仿真有一组状态变量。
②连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。
2.因子试验法-在系统上作局部试验，再根摇试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。
3.人工现实法-基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。
五、数学建模的意义：
1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、上木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；髙速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解：
建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以英快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设讣中的现场实验、物理模拟等手段。
2）在髙新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，it算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。
数学建模、数值计算和汁算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。
在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。
国际上一位学者提出了“髙技术本质上是一种数学技术"的观点。
3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经汛人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。
一般地说，不存在作为支配关系的物理左律，当用数学方法研究这些领域中的左量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。
在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。
马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。
展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
在这些课题上，其中有一些问题，我对其有很深的兴趣，也就是差分法这章里而的。
差分法是：
含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。
其实方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。
如果一个函数代入差分方程后方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。
对于差分法的建模应有以下特点：
1..问题提出:
已知一种昆虫每2周产卵一次，6周以后即死亡，孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，4周龄的成虫平均产卵150个，假设每个卵发育为2周龄成虫的概率为0.09（即成活率），2周龄的成虫发育为4周龄成虫的槪率为0.2。
（1）假设开始时1-2、2-4、4-6周龄的昆虫数目相等，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目。
（2）讨论这种昆虫％种周龄的昆虫数目的变化趋势：
各周龄的昆虫的比例是否有一个稳泄值？
昆虫数目是无限的增长还是趋于火亡？
（3）假设使用了一种除虫剂以控制昆虫的数目，已知使用后各周龄昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？
2.模型建立：
假左昆虫的雌、雄数目之比为一常数，仅考虑雌性个体，将所有的雌性个体分为3个年龄组：
年龄的单位为周，每个周龄组的时间段为2周，取2周为一个时间单位。
在t+1时刻的C0组雌性个体数=在t时刻到t+1的Cl组雌性所育C0组雌性后代的成活数+在时刻t到t+1的C2组雌性所育CO组雌性后代的成活数＞J：
xO（t+1）=（100*0.09）xl（t）+（150*0.09）x2（t）;
在时刻I+1的Cl（C2）组雌性个体数=在t时刻的CO（Cl）组雌性个体数•
CO（Cl）组的成活率为:
xl（t+l）=0.09x0（t）x2（t+1）=0.2x1（t）最终得到
X（r）=（x0（r）,x1（r）,x2（r））/
原差分方程写成矩阵的形式，即为:
09
X（f+l）=PX（f）=0.090
00.2
13.5
0X（f）
0
P称为投影矩阵，此为线性差分方程。
3•模型的分析与求解
不失一般性，取a=l,可得差分方程的解为：
X（r+l）=Pz+1X（0）
各周龄组的昆虫数分别为：
（、
X（l）=PX（0）=0.090
0.200丿\/
‘3.510、
X
（2）=P2X（0）=2.025
<0.180>
‘18.468
X（3）=0X（0）二0.316
0.405
2）要获得各周龄雌性昆虫数目的演变趋势，需要的表达式与t的关系，利用数值方法可得，其特征值为：
人）=1.0234,人=—0.6680,入=—0.3554
（-0.9603、
Q=（a°,0,a2）
首先令
%
Q~lPQ=人=A
那么“
P'=Q^Q~l=Q兀2-1
所以：
'2丿
祝、
PX（0）=Q入Q~lX（0）
<11.5260、
Q'lX（0）=
%
22.6992
、—12.4941丿
kQ9k^k2也心卩也
由于
与t无关
并且
hm:
=koao
当t充分大时,
2（）i
X（r）t昭
如果，
X（r）t
昆虫总数趋于稳龙
A）<1
x（2
各周期组的昆虫数增加
A）=
=1.0234>1
昆虫趋于灭亡
各周龄组的昆虫数随时间的延续而增加。
3）除虫剂效果分析:
投影矩阵现为:
P=0.045
、0
使用了除虫剂后，各周龄组昆虫演变趋势的分析方法与前相同，只是由于成活率减半,
4.506.75'
00
0.1000,
入=0.5117,=-0.3340,=-0.1777
人<1
由于，所以昆虫趋于灭亡。
T
假设初始分布为：
X（o）=（1,1,1）,随着时间的演变，各周龄组的昆虫数及昆虫总数:
坷⑴
兀2⑴
工⑴
0
1
1
1
3
1
11.2500
0.0450
升级会员 