张量分析第二章_精品文档.ppt

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1,第二章应力分析,重点内容:

1.应力张量,应力张量与应力矢量之间的关系;2.应力张量对称性及其变换规律;3.主方向,主应力和应力不变量;,2,2.1连续介质假设,介质的质点连续地充满介质所占据的空间，没有一点空隙，即把介质看作由连续不断的质点所构成的体系，质点的存在以其所占据的空间位置来体现。

质点:

”宏观小微观大”,分子团的尺度与所研究问题的特征尺度相比足够小,平均物理量可以看作均匀不变.,质团的特征尺度远远大于分子运动的尺度,该质团中包含有大量分子,对这些分子集团进行平均统计后能得到稳定数值.,宏观小,微观大,3,上述数学上的连续介质定义，在现实世界中是不存在的。

用气体介质作为例子，当取定很小体积时，密度变化很大，甚至到极端，可能只有一个分子的情况。

Density,Volumeofelement,连续介质假设在一般情况下是完全合理的，是连续介质力学第一个且带有根本性质的假设。

但是在某些特殊条件下这种假设亦可能有问题。

例如，导弹在高空飞行时，周围空气很稀薄，分子间的距离很大，它能和物体的特征尺寸相比拟，不能把分子团作为一个质点.,4,强调几点：

（1）引进连续介质假设后，不再考虑介质的分子结构，将介质近似看成由介质质点连续无空隙的组成。

（2）在连续介质力学中所说的质点位移，不是指个别分子的位移，而是指含有大量分子的质团位移。

（3）当我们在连续介质内某一点A处取极限时，不管离A多么近的地方均有质点存在，并有确定的物理量。

5,2.2基本概念,2.2.1均匀性与各向同性均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。

具有这样性质的物质称做均匀物质。

各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质均具有同样的性质。

这样的物质称为各向同性物质。

各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。

这样的物质称做各向异性物质。

6,小体元,质量用表示,小体元中包含点P.,2.2.2质量密度,则在中介质的平均密度为,内某一点P的密度定义为,

（1）,7,2.2.3体力和面力体力:

作用在连续介质体各个部分，即各个质点上的有距离力。

如重力、磁力等，体力也称作质量力。

面力:

作用在连续介质面元上的力,面元可以是介质的外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方向都与作用面的方向有关。

压力和摩擦力都属于面力.,图中面力,为体力.,8,2.2.4柯西应力法则和应力矢量应力矢量:

作用在物体内部单位截面上的力。

特点:

矢量,有方向柯西应力法则：

当在P点趋于零时，趋于一定的极限.取极限的过程中绕P点的力矩同时趋于零。

数学表达:

应力矢量:

（2）,9,2.3应力张量,一点的应力状态由P点所有的应力矢量同其相应的单位法线一起确定.,2.3.1应力张量,P,P,P,10,上面三图合在一起,11,或表达成:

应力张量,正应力:

垂直于坐标平面的应力分量（两下标相同）,剪应力或切应力:

与坐标平面相切的应力分量（两下标相异）,表示作用在其外法线平行于第i坐标轴的平面上,并指向第j坐标轴向的分量.,12,设四面体底面ABC的面积为，则其他三个面的面积为的投影，即：

惯性力:

体力:

面力:

2.3.2应力张量与应力矢量间的关系,13,动平衡有（合外力为零）:

当体元收缩到P点时,即,P点任一面上的应力矢量与三个坐标平面上的应力矢量的关系式：

体积,有:

（3）,（4）,（5）,14,用指标形式表示:

矩阵表示形式:

分量表示形式:

应力矢量与应力张量的关系,或,（6）,15,2.4应力张量的对称性及其坐标变换规律,研究处于动平衡的连续介质体V.根据达朗伯原理,作用于连续介质体V上的合力为零,合力矩亦为零.,体力为,面力为,2.4.1应力张量的对称性,惯性力,16,合力为零，即有,若得到静平衡方程,或写成,（7）,（8）,（9）,17,动量矩之和为零,有:

式中:

式（11）取第i个分量,得,式（10）可写成,（10）,（11）,（12）,18,因此有:

应力张量有对称性.,向量的奥高公式有:

（13）,利用（13）式,（12）式可得到:

（15）式代入运动方程（8）式,得,进一步整理得:

（14）,（15）,（16）,由于V的任意性,可得,19,2.4.2应力张量的变换规律,两个坐标系,20,应力张量在两个坐标系下的分量由下式给出:

按矩阵表示的应力张量的变换规律可表示成：

分量形式表示为,为新旧坐标变换的方向余旋,构成变换张量.,或,（17）,21,2.5主应力和应力不变量,2.5.1主应力和主方向过P点某个方向的面上的应力分量与该面的法线共线,这样的法线方向称主应力方向，简称主方向。

对于主方向有,或写成,称作主应力.,利用恒等式,上式可以写成:

（18）,（19）,22,若上式有非零解，即，则有上式展开为的三次多项式：

其中,主应力值为,主应力值为实数.,为应力张量的不变量,（20）,（21）,23,2.5.2应力不变量,特点:

坐标系发生旋转时值不变.,新旧坐标系下应力张量和主方向分别可写为:

新坐标系下,上两式代入,有,上式两边点乘整理后可得:

证法一:

且满足,24,则上式可以写成:

根与系数之间保持如下的关系:

主应力描述一点应力的物理状态，所以与任何参考坐标无关.坐标旋转时,所以系数,不变.,同样证明了,是坐标旋转的不变量.,证法二:

的根设为,方程,25,2.6应力张量的主方向,求解主方向,展开式:

（1）,主方向坐标系中,应力张量变为,形式为:

三个主方向互相垂直,26,根据主应力和主方向的定义,有,上两式相减:

（22）式右点乘,（23）式左点乘,可得,由于,有,即,同样可证明,即三个主方向互相垂直.,（22）,（23）,27,

（2）,主方向坐标系中,应力张量,（3）,主方向坐标系中,应力张量,若,则,若,则,（24）,（25）,28,将应力张量的主方向选为坐标轴，主应力记为,在该坐标系中任一矢量的三个分量可表示为,由于有,由应力向量分量关系同上式结合，得,该方程为椭球方程，主应力为椭球的轴;描述了一点附近面元上应力向量终点的轨迹。

（26）,29,2.7最大最小剪应力,主轴坐标系中假设主应力,在该坐标系中,应力张量表示为,30,法向应力则写成,切向应力,可得,任一应力矢量的分量,（27）,（28）,31,利用拉格朗日乘子法，可从上式求得的最大值和最小值.,设函数,函数的极值由给出.,（29）,（30）,32,

（1）,

（2）,（3）,第一组解,单位矢量平行,为主方向,单位矢量平行,为主方向,单位矢量平行,为主方向,33,在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

结论:

在主平面上（与主方向垂直的平面）剪应力值为零，只有法向应力。

34,第二组解:

最大剪应力,最大剪应力平面:

过轴且平分和的夹角的平面上.,该平面上,35,1.已知,求,平面上的应力矢量,及其法向应力分量和剪切应力分量.,1）主应力和主方向.,2）,36,2.8应力莫尔圆,主轴坐标系中,:

由此方程组可解出方向余弦为,P,设主应力,（31）,37,由于可得:

或写成,38,应力莫尔圆,1）,有两个相同,则Mohr圆退化为C2,2）,Mohr圆退化为点,任一方向上的法应力都相同,剪切应力为零.应力张量是各向同性张量.,过一点的所有应力矢量都落在图中阴影区内.,39,2.9分界面上的应力边界条件,分界面S,介质1的应力,介质2的应力,介质1在P点处作用于介质2的应力矢量.,介质2在P点处作用于介质1的应力矢量.,因此有:

即,40,自由面:

分界面的一方为大气（压力为常数P0）:

41,2.10平面应力,如果有一个且唯一的一个主应力为零,该状态为平面应力状态.,42,如果主应力不按次序排列,并将零主应力方向选作轴向，这样的应力状态叫作平行平面的平面应力.,任选正交坐标系中,应力张量的矩阵形式为:

43,由于,该面的单位法线以及应力矢量写成,（32）,44,最大最小主应力分别为：

圆心,半径,45,1.写出图中的平面应力状态,并确定其最大剪应力,