张量分析第二章_精品文档.ppt

1、1,第二章 应力分析,重点内容:,1.应力张量,应力张量与应力矢量之间的关系;2.应力张量对称性及其变换规律;3.主方向,主应力和应力不变量;,2,2.1 连续介质假设,介质的质点连续地充满介质所占据的空间，没有一点空隙，即把介质看作由连续不断的质点所构成的体系，质点的存在以其所占据的空间位置来体现。,质点:”宏观小微观大”,分子团的尺度与所研究问题的特征尺度相比足够小,平均物理量可以看作均匀不变.,质团的特征尺度远远大于分子运动的尺度,该质团中包含有大量分子,对这些分子集团进行平均统计后能得到稳定数值.,宏观小,微观大,3,上述数学上的 连续介质定义，在现实世界中是不存在的。用气体介质作为例

2、子，当取定很小体积时，密度变化很大，甚至到极端，可能只有一个分子的情况。,Density,Volume of element,连续介质假设在一般情况下是完全合理的，是连续介质力学第一个且带有根本性质的假设。但是在某些特殊条件下这种假设亦可能有 问题。例如，导弹在高空飞行时，周围空气很稀薄，分子间的距离 很大，它能和物体的特征尺寸相比拟，不能把分子团作为一个质点.,4,强调几点：（1）引进连续介质假设后，不再考虑介质的分子结构，将介质近似看成由介质质点连续无空隙的组成。（2）在连续介质力学中所说的质点位移，不是指个别分子的位移，而是指含有大量分子的质团位移。（3）当我们在连续介质内某一点A处取极

3、限时，不管离A多么近的地方均有质点存在，并有确定的物理量。,5,2.2 基本概念,2.2.1 均匀性与各向同性 均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。具有这样性质的物质称做均匀物质。各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质均具有同样的性质。这样的物质称为各向同性物质。各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。这样的物质称做各向异性物质。,6,小体元,质量用 表示,小体元中包含点P.,2.2.2 质量密度,则在 中介质的平均密度为,内某一点P的密度定义为,(1),7,2.2.3 体力和面力 体力:作用在连续介质体各个部分，即各个质点上的有距离力。如重力、磁力等，体力也称作质量力。,

4、面力:作用在连续介质面元上的力,面元可以是介质的外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方向都与作用面的方向有关。压力和摩擦力都属于面力.,图中 面力,为体力.,8,2.2.4 柯西应力法则和应力矢量 应力矢量:作用在物体内部单位截面上的力。特点:矢量,有方向 柯西应力法则：当 在 P点趋于零时，趋于一定的极限.取极限的过程中绕 P点的力矩 同时趋于零。,数学表达:,应力矢量:,(2),9,2.3 应力张量,一点的应力状态由P点所有的应力矢量 同其相应的单位法线 一起确定.,2.3.1 应力张量,P,P,P,10,上面三图合在一起,11,或表达成:,应力张量,正应力:垂直于坐标平面的应力分量(两

5、下标相同),剪应力或切应力:与坐标平面相切的应力分量(两下标相异),表示作用在其外法线平行于第i坐标轴的平面上,并指向第j坐标轴向的分量.,12,设四面体底面ABC的面积 为，则其他三个面的面积为 的投影，即：,惯性力:,体力:,面力:,2.3.2 应力张量与应力矢量间的关系,13,动平衡有(合外力为零):,当体元收缩到P点时,即,P点任一面上的应力矢量与三个坐标平面上的应力矢量的关系式：,体积,有:,(3),(4),(5),14,用指标形式表示:,矩阵表示形式:,分量表示形式:,应力矢量与应力张量的关系,或,(6),15,2.4 应力张量的对称性及其坐标变换规律,研究处于动平衡的连续介质体V

6、.根据达朗伯原理,作用于连续介质体V上的合力为零,合力矩亦为零.,体力为,面力为,2.4.1 应力张量的对称性,惯性力,16,合力为零，即有,若 得到静平衡方程,或写成,(7),(8),(9),17,动量矩之和为零,有:,式中:,式(11)取第i个分量,得,式(10)可写成,(10),(11),(12),18,因此有:,应力张量有对称性.,向量的奥高公式有:,(13),利用(13)式,(12)式可得到:,(15)式代入运动方程(8)式,得,进一步整理得:,(14),(15),(16),由于V的任意性,可得,19,2.4.2 应力张量的变换规律,两个坐标系,20,应力张量在两个坐标系下的分量由下

7、式给出:,按矩阵表示的应力张量的变换规律可表示成：,分量形式表示为,为新旧坐标变换的方向余旋,构成变换张量.,或,(17),21,2.5 主应力和应力不变量,2.5.1 主应力和主方向 过P点某个方向的面上的应力分量与该面的法线 共线,这样的法线方向称主应力方向，简称主方向。对于主方向有,或写成,称作主应力.,利用恒等式,上式可以写成:,(18),(19),22,若上式有非零解，即，则有上式展开为 的三次多项式：,其中,主应力值为,主应力值为实数.,为应力张量的不变量,(20),(21),23,2.5.2 应力不变量,特点:坐标系发生旋转时值不变.,新旧坐标系下应力张量和主方向分别可写为:,新

8、坐标系下,上两式代入,有,上式两边点乘 整理后可得:,证法一:,且满足,24,则上式可以写成:,根与系数之间保持如下的关系:,主应力描述一点应力的物理状态，所以与任何参考坐标无关.坐标旋转时,所以系数,不变.,同样证明了,是坐标旋转的不变量.,证法二:,的根设为,方程,25,2.6应力张量的主方向,求解主方向,展开式:,(1),主方向坐标系中,应力张量 变为,形式为:,三个主方向互相垂直,26,根据主应力和主方向的定义,有,上两式相减:,(22)式右点乘,(23)式左点乘,可得,由于,有,即,同样可证明,即 三个主方向互相垂直.,(22),(23),27,(2),主方向坐标系中,应力张量,(3

9、),主方向坐标系中,应力张量,若,则,若,则,(24),(25),28,将应力张量的主方向选为坐标轴，主应力记为,在该坐标系中任一矢量 的三个分量可表示为,由于有,由应力向量分量关系同上式结合，得,该方程为椭球方程，主应力为椭球的轴;描述了一点附近面元上应力向量终点的轨迹。,(26),29,2.7 最大最小剪应力,主轴坐标系中假设主应力,在该坐标系中,应力张量表示为,30,法向应力则写成,切向应力,可得,任一应力矢量的分量,(27),(28),31,利用拉格朗日乘子法，可从上式求得 的最大值和最小值.,设函数,函数的极值由 给出.,(29),(30),32,(1),(2),(3),第一组解,单

10、位矢量 平行,为主方向,单位矢量 平行,为主方向,单位矢量 平行,为主方向,33,在垂直 轴的平面上：在垂直 轴的平面上：在垂直 轴的平面上：,结论:在主平面上(与主方向垂直的平面)剪应力值为零，只有法向应力。,34,第二组解:,最大剪应力,最大剪应力平面:过 轴且平分 和 的夹角 的平面上.,该平面上,35,1.已知,求,平面上的应力矢量,及其法向应力分量和剪切应力分量.,1)主应力和主方向.,2),36,2.8 应力莫尔圆,主轴坐标系中,:,由此方程组可解出方向余弦 为,P,设主应力,(31),37,由于 可得:,或写成,38,应力莫尔圆,1),有两个相同,则Mohr圆退化为C2,2),M

11、ohr圆退化为点,任一方向上的法应力都相同,剪切应力为零.应力张量是各向同性张量.,过一点的所有应力矢量都落在图中阴影区内.,39,2.9 分界面上的应力边界条件,分界面S,介质1的应力,介质2的应力,介质1在P点处作用于介质2的应力矢量.,介质2在P点处作用于介质1的应力矢量.,因此有:,即,40,自由面:,分界面的一方为大气(压力为常数P0):,41,2.10 平面应力,如果有一个且唯一的一个主应力为零,该状态为平面应力状态.,42,如果主应力不按次序排列,并将零主应力方向选作 轴向，这样的应力状态叫作平行 平面的平面应力.,任选正交 坐标系中,应力张量的矩阵形式为:,43,由于,该面的单位法线 以及应力矢量 写成,(32),44,最大最小主应力分别为：,圆心,半径,45,1.写出图中的平面应力状态,并确定其最大剪应力,