一元二次方程的应用含答案.docx

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一元二次方程的应用含答案

一元二次方程的应用-（含答案）

23.4一元二次方程的应用

情境切入

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完全解读

知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤

列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：

（1）审：

审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；

（2）设：

设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（3）列：

列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；

（4）解：

求出所列方程的解；

（5）检验：

检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（6）答：

写出答案．

友情提醒：

列方程解应用题应该注意的一些问题

（1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系；

（2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系；

（3）注意单位问题：

一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致．

例1、某种商品原价50元。

因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为.

思维点击：

由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月平均涨价率为

，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+

），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+

）（1+

）即50×（1—10%）×（1+

）

，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。

解：

设4、5月份两个月平均涨价率为

，由题意，得

50×（1—10%）×（1+

）

=64.8。

整理，得（1+

）

=1.44.

解得：

（不合题意，舍去）。

所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。

解后反思：

列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。

例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.

思维点击：

设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.

解：

设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

（60－2x）（40－2x）＝800.

原方程可写成：

解这个方程，得

如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此

不符合题意，应舍去。

答：

截去正方形的边长为10厘米。

温馨提示：

在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.

范例探究

★基础思维探究

探究点1、与图形有关的问题

例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为300

的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？

思维点击：

设与院墙垂直的边长为xm，则与院墙平行的边长为（55-2x）m，根据矩形面积公式可列出方程式．

解：

设与院墙垂直的边长为xm，则与院墙平行的边长为（55-2x）m，根据题意得：

．整理，得

.

解方程，得

当x＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为15米．

当x＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．

答：

与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米．

温馨提示：

若设与院墙平行的边长为xm，则与院墙垂直的边长为

m．根据矩形面积公式也可以列出方程式．但出现了分数，不如前一种设法好．

探究点2、利润问题

例2、某商场服装柜在销售中发现：

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现：

如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

思维点击：

每天售出的童装件数×每件童装的利润=每天这种童装的总利润。

解：

设每件童装应降价

元，根据题意，得

化简，得

，解得

。

因为要尽快减少库存，所以

应取20。

答：

每件童装应降价20元。

温馨提示：

求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。

探究点3、增长率问题

例3、某厂1月份生产零件2万个，第一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。

思维点击：

解：

设每月的平均增长率为x，依题意，得2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98

经整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合题意，舍去。

答：

每月的增长率为30%。

温馨提示：

（1）解本题的关键是理解“7.98万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注意审题；

（2）牢记公式

，

为增长率（降低）前的基础数量，

为增长率（降低率），

为增长（降低）的次数，

为增长（降低）后的数量.

★综合思维探究

例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？

图1图2

思维点击：

这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。

如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x）米，宽为（64－4x）米。

解：

设水渠应挖x米宽，则根据题意，得

答：

水渠应挖1米宽。

温馨提示：

此类问题可采用“靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的化归思想.

★创新拓展思维探究

例5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克。

为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关。

甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？

乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。

问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？

用油的重复利用率是多少？

思维点击：

（1）机械设备实际耗油量为用油量-重复使用的用油量；

（2）若设技术革新后的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为

千克，则比技术革新前下降了（90-x）千克，从而重复利用率增加了

，这样，就可以根据题意列出方程。

解：

（1）由题意，得

（千克）。

（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为

千克，

由题意，得

，整理，得

，

解得：

（舍去），

。

答：

（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.

（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?

用油的重复利用率是84%.

解后反思：

本题考查了考生灵活利用一元二次方程解决实际问题的能力。

★中考热点探究

中考动态：

一元二次方程的应用是各地中考中非常重要的一个考查内容，特别是近几年来，各地中考题都更加重视数学问题的实际应用，因此此类题目一般是以一个单独的解答题进行考查，而且考查的题型也逐步由以前常见的工程问题、行程问题、面积问题、平均增长率问题等向更新颖、更贴近生活的问题转变，这就要求同学们在具有更强的数学抽象能力的基础上进行数学建模。

例6、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．

思维点击：

根据面积关系列方程.

解：

设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得

（2x＋6）（2x＋8）＝80.

解得：

x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．

答：

金色纸边的宽为1分米．

温馨提示：

“数”和“形”是数学中两个最基本的要素，它们是统一的．图形蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述．本题把数量关系借助于图形展示，兼容了数的严谨与形的直观，充分体现了数形结合的数学思想．

整合提升

★知识内在联系

★学习方法指导

本节的重点是利用一元二次方程解决实际问题，难点是数量关系的确定。

用一元二次方程解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系，往往有时等量关系可以通过关键词语表示出来；当等量关系较隐蔽时，要考虑学习过的相关公式、规律来得出等量关系，并总结运用方程解决问题的一般步骤，体会方程的模型思想，及数形结合的思想。

★规律方法点津

列方程解应用题一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案六步进行，其中审题过程虽在草纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求的量，弄清量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，设列方程。

已知量与未知量之间的关系有的是直接给出的，如和、差、倍、分、多少等关系，仔细审题便可找出；而有些关系则是由物理公式得来的。

如路程=速度×时间等等。

这就需要对物理、化学等学科的有关定律比较熟悉才行，还有一些关系是在生产实践中总结出来的。

如在锻造问题中，尽管发生变化，但是体积却没有发生变化，抓住这一相等关系，常常给列方程带来方便。

★思维误区警示

品味尝试

1、某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为

，由题意，所列方程正确的是（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

2、如图，在一条长90米，宽60米的矩形草地上修三条小路，小路都等宽，除小路外，草地面积为5192米2的6个矩形小块，则小路的宽度应为（）

A.1米或104米B.1米C.2米D.1.5米

3、三个连续奇数的平方和等于155，则这三个数是（）

A.3、5、7B.5、7、9

C.7、9、11D.以上都不对

4、兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为

5、一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是

，则原来这块钢板的面积是

．

6、一块长36米，宽24米的矩形草地，现要在它的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地作走道，走道的宽度相等，且喷水池的面积是矩形的草地的面积的

，求周围走道的宽度。

7、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求３月份到５月份营业额的平均月增长率．

品味尝试答案

1、B2、B3、D4、72（1－x）2＝565、81

6、解：

设周围走道的宽度为

，根据题意，得

整理，得

解这个方程，得

不合题意，应舍去，所以

.

答：

周围走道的宽度为8米。

7、解：

设3月份至5月份的营业额的平均月增长率为

，根据题意可得

整理，得（1+

）

=1.44.

解得：

（不合题意，舍去）。

答：

3月份至5月份的营业额的平均月增长率为20%。