典型的代数系统_精品文档.ppt

典型的代数系统_精品文档.ppt

《典型的代数系统_精品文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《典型的代数系统_精品文档.ppt（69页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,2,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,3,半群与独异点的定义与实例半群与独异点的幂运算半群与独异点的子代数和积代数半群与独异点的同态,半群与独异点,4,半群与独异点的定义,定义14.12设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群.设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.,5,实例,例1

（1）,是半群，+是普通加法,其中除外都是独异点.

（2）设n是大于1的正整数,和都是半群和独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法.（3），其中为集合的对称差运算.为半群，也是独异点.（4）,其中Zn=0,1,n1，为模n加法.为半群，也是独异点.（5）其中为函数的复合运算.为半群，也是独异点.（6）其中R*为非零实数集合，运算定义如下：

x,yR*,xy=y.为半群.,6,定义

（1）在半群中，xS，规定：

x1=x，xn+1=xnx,nZ+

（2）在独异点中，xS，x0=e，xn+1=xnx，nN用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：

xnxm=xn+m，（xn）m=xnm，在半群中m,nZ+，在独异点中m,nN，,半群与独异点的幂运算,7,半群与独异点的子代数,定义半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点.判定方法：

设V=是半群，TS，T非空，如果T对V中的运算封闭，则是V的子半群.设V=是独异点，TS，T非空，如果T对V中的运算封闭，而且eT，那么构成V的子独异点.,8,理由:

是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V2的子独异点，因为V2的单位元是e.,实例,例：

设半群V1=，独异点V2=.其中为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且,，则TS，且T是V1=的子半群，但不是子独异点。

9,半群与独异点的同态,定义14.13

（1）设V1=，V2=是半群，f:

S1S2.若对任意的x,yS1有f（xy）=f（x）f（y）则称f为半群V1到V2的同态映射，简称同态.

（2）设V1=，V2=是独异点，f:

S1S2.若对任意的x,yS1有f（xy）=f（x）f（y）且f（e1）=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射，简称同态.,10,实例,则f是半群V1=的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为f（e）e.,设半群V1=，独异点V2=.其中为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且,令,11,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,12,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,13,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,14,群的定义与实例,定义14.14设是代数系统，为二元运算.如果运算是可结合的，存在单位元eG，并且对G中的任何元素x都有x1G，则称G为群.实例,都是群；和不是群.是群，而不是群.是群，为对称差运算.，也是群.Zn=0,1,n1，为模n加.,15,Klein四元群,设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群,运算表特征：

对称性-运算可交换主对角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.,16,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,17,群中的术语,定义14.15

（1）若群G是有穷集，则称G是有限群，否则为无限群.群G中的元素个数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.

（2）若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔（Abel）群.实例：

（1）和是无限群

（2）是有限群，也是n阶群（3）Klein四元群是4阶群（4）n阶（n2）实可逆矩阵集合关于矩阵乘法

（1）

（2）（3）都是交换群；（4）是非交换群.,【例】设是群，则是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG,有（a*b）2=a2*b2。

证明:

（1）“”设是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有（a*b）*（a*b）=（a*a）*（b*b）。

对任意的a,bG，有a*b=b*a，因此，（a*b）*（a*b）=a*（b*a）*b=a*（a*b）*b=（a*a）*（b*b）即（a*b）*（a*b）=（a*a）*（b*b）也就是（a*b）2=a2*b2，得证。

Abel群实例,

（2）“”设对任意a,bG，有（a*b）2=a2*b2，下证是阿贝尔群。

ab=e*（a*b）*e=（a1*a）*（a*b）*（b*b1）=a1（a（a*b）*b）*b1=a1*（a*a）*（b*b）*b1=a1（a*b）*（a*b）*b1=（a1a）*（b*a）*（b*b1）=e*（b*a）*e=b*a即得a*b=b*a，因此群是阿贝尔群。

Abel群实例,20,群中的术语（续）,定义14.16设G是群，xG，nZ，则x的n次幂xn定义为,实例在中有23=?

（21）3=13=111=0在中有

（2）3=?

23=2+2+2=6,21,定义14.17设G是群，xG，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶（或周期），记作|x|=k，称x为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称x为无限阶元.实例

（1）在中，0,1,2,3,4,5分别是几阶元？

2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元0是1阶元

（2）在中，整数集合中元素分别是几阶元？

0是1阶元，其它整数的阶都不存在，都是无限阶元.,群中的术语（续）,【例】求证：

群中不可能有零元。

证明：

（1）当群的阶为1时，唯一元素为幺元。

（2）设|G|1且假设群有零元。

那么xG，都有x=x=e，所以，零元就不存在逆元，这与是群相矛盾。

【思考】写出群中各元素的阶数。

群实例,23,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,24,群的性质-幂运算规则,定理14.3设G为群,则G中的幂运算满足：

（1）xG，（x1）1=x.

（2）x,yG，（xy）1=y1x1.（3）xG，xnxm=xn+m，n,mZ.（4）xG，（xn）m=xnm，n,mZ.（5）若G为交换群，则（xy）n=xnyn.证：

（1）（x1）1是x1的逆元，x也是x1的逆元.根据逆元的唯一性，等式得证.

（2）（y1x1）（xy）=y1（x1x）y=y1y=e,同理（xy）（y1x1）=e，故y1x1是xy的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.,25,等式（5）只对交换群成立.如果G是非交换群，那么,群的性质-幂运算规则（续）,说明：

（3）（4）（5）的证明：

用数学归纳法证明对于自然数n和m证等式为真，然后讨论n或m为负数的情况.

（2）中的结果可以推广到有限多个元素的情况，即,26,群的性质-群方程存在唯一解,定理14.4G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.证：

（1）存在性：

a1b代入方程左边的x得a（a1b）=（aa1）b=eb=b所以a1b是该方程的解.

（2）下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=（a1a）c=a1（ac）=a1b同理可证ba1是方程ya=b的唯一解.例设群G=，其中为对称差.群方程aX=，Ya,b=b的解X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,27,群的性质-消去律,定理14.5G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,cG有

（1）若ab=ac，则b=c.

（2）若ba=ca，则b=c.证

（1）ab=aca1（ab）=a1（ac）（a1a）b=（a1a）cb=c

（2）同理可证.例1设G=a1,a2,an是n阶群，令aiG=aiaj|j=1,2,n证明aiG=G.证:

由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|n.必有aj,akG使得aiaj=aiak（jk）由消去律得aj=ak,与|G|=n矛盾.,28,群中元素阶的性质,定理14.6G为群，aG且|a|=r.设k是整数，则

（1）ak=e当且仅当r|k

（2）|a1|=|a|证

（1）充分性.由r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=（ar）m=em=e.必要性.（反证法）根据除法，存在整数m和i使得k=mr+i,0ir1从而有e=ak=amr+i=（ar）mai=eai=ai因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.

（2）由（a1）r=（ar）1=e1=e,可知a1的阶存在.令|a1|=t，根据上面的证明有t|r.a又是a1的逆元，所以r|t.从而证明了r=t，即|a1|=|a|.,29,群性质的应用,例2证明单位元为群中唯一幂等元.证设G为群.首先证存在性：

显然ee=e；再证唯一性：

设a为G中幂等元.则aa=a，从而得到aa=ae.根据消去律得a=e.例3设G为群，如果aG都有a2=e,证明G为Abel群.证a2=ea=a1任取x,yG，xy=（xy）1=y1x1=yx因此G为Abel群.,30,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,31,子群的定义,定义14.18设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作HG.若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H的子群.当n1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和e都是G的子群，称为G的平凡子群.,32,子群判定定理,判定定理一定理14.7设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,bH有abH，aH有a1H.证：

必要性显然，只证充分性.由于H非空，存在a属于H,因此有a1属于H.根据已知必有aa1属于H,即e属于H.H满足子群定义.实例：

求证nZ是整数加群的子群.证明：

显然nZ是Z的非空子集.因为n属于nZ.nk,nlnZ,有封闭性：

nk+nl=n（k+l），n（k+l）nZ，逆元存在：

nknZ根据判定定理，nZ是整数加群的子群.,33,子群判定定理（续）,判定定理二定理14.8设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,bH有ab1H.证明：

只证充分性.由于H非空，必有xH.由已知有xx1H，从而得到eH.任取H中元素a,由e,aH得ea1H，即a1H.任取a,bH,必有b1H，从而得到a（b1）1H，即abH.根据判定定理一得证.,判定定理三定理14.9设G,*是群，A是G的非空子集，如果A是一个有限集，只要运算*在A上封闭，则是G,*的子群。

证明：

G,*是群，则G,*是半群，A,*是半群。

以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元。

证明A中有幺元e。

子群判定定理（续）,bA，因为运算*在A上封闭，所以b2=b*bAb3=b2*bA,由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设ij，使得bi=bj从而有bi=bi*bji和bi=bji*bi根据群中的消去律得bji=e，即bji是群G,*的幺元。

且这个幺元也在G的非空子集A中。

证明S中每一个元素都有逆元。

如果ji1，那么bji=b*bji1和bji=bji1*b，即bji1是b的逆元，b1=bji1且bji1A。

如果ji