平均数比较3.docx
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平均数比较3
四、二因素方差分析
(一)二因素随机测量方差分析
用同一套题目对5、6年级小学生进行了一次阅读测验,每个年级男女生人数相等。
如果对测验分数进行二因素随机测量方差分析(two-wayanalysisofvariancewithrandommeasuresontwofactorstest)就能做出如下方面的统计判断:
不同年级学生的分数是否不同,不同性别学生的分数是否不同,低年级的男生或者女生的分数是否比高年级的女生或者男生高。
完成关于年级、性别这两个因素对测验分数影响的考察。
性别变量有两个水平,分别为男生和女生;年级变量有两个水平,分别为5年级和6年级。
方差分析将得出三个方面的结果:
不同的性别变量水平下的测验分数是否有显著不同,即,性别因素主效应(maineffect)是否显著;不同的年级变量水平下的分数是否有显著不同,即,年级因素主效应是否显著;不同性别变量水平和不同年级变量水平下的分数是否有显著不同的变化趋势,即,性别因素和年级因素的交互作用(interactioneffect)是否显著。
因此,所谓主效应是指某自变量变化对因变量变化的影响效果;所谓交互作用是指两个或多个自变量对因变量变化的交叉影响效果。
不同变量水平数的积决定了处理(treatment)数,即,因变量测量分数需要构成的样本数。
对于这里的举例来说,性别变量的水平数和年级变量的水平数的乘积为4,将得到4种处理下的分数—4个样本:
5年级男生的分数、5年级女生的分数、6年级男生的分数和6年级女生的分数。
与之对应的二因素随机测量方差分析就是对这4个互不相关的样本进行平均数比较。
每个样本的平均数叫做处理平均数(cellmean),而样本按自变量水平进行组合,每个变量水平下的平均数叫做变量水平平均数(marginalmean)。
如果分析结果表明两个或某一个变量主效应显著而交互作用不显著,则要报告其变量水平平均数;如果变量交互作用显著,那么不论有没有变量主效应都要做进一步分析,叫做简单效应分析(analysisofsimpleeffect),得到具体哪两个处理平均数之间有显著性差异的结果。
二因素随机测量方差分析中,主效应第一自由度为相应变量水平数减1,交互作用的第一自由度为两个主效应的第一自由度的积。
主效应和交互作用的第二自由度都是总自由度(所有样本大小之和减1)减两个主效应的第一自由度和交互作用的第一自由度。
如果各样本大小均为n,第一个变量的水平数为p,第二变量的水平数为q,那么各效应的第一、二自由度如表2-11所示。
表2-11二因素随机测量方差分析两个主效应和一个交互作用的第一、二自由度
第一个自变量主效应第一自由度
p-1
第二个自变量主效应第一自由度
q-1
两个自变量交互作用第一自由度
(p-1)(q-1)
各主效应和交互作用第二自由度
pq(n-1)
对于主效应和交互作用,其效应大小为相应的平均数差异能够解释所有分数与总平均数的总差异的比例,用R2或η2表示。
效应大小、统计效力和不同设计下每个样本计划大小的关系如表2-12所示。
表2-12在0.05显著性水平上达到80%的统计效力的设计类型、效应大小和每个样本计划大小的关系
自变量的水平数
效应类型
效应大小
样本大小下限
两个自变量水平数均为2
各变量主效应及其交互作用
小(0.01)
197
中(0.06)
33
大(0.14)
14
一个自变量水平数均为2另一个自变量水平数为3
水平数为2的自变量主效应
小(0.01)
132
中(0.06)
22
大(0.14)
9
水平数为3的自变量主效应及两自变量的交互作用
小(0.01)
162
中(0.06)
27
大(0.14)
11
例如,对于一个自变量水平数为2另一个为自变量水平数3的设计,如果预测水平数为3的自变量主效应的有最大效应,水平数2的自变量主效应和交互作用有中等效应,要在0.05显著性水平达到80%的统计效力,那么,对于水平数3的自变量的每个水平下需要获得至少11个分数,对于水平数2的自变量的每个水平下需要获得至少22个分数,对于交互作用需要每个处理下获得27个分数。
因此,必须保证每个处理获得27个分数,6个处理共27×6=162个分数,所以该设计至少共需要162个被试。
【二因素随机测量方差分析·例1】
三个班共105名学生参加了一次英语考试(满分为125分),成绩如表2-13所示。
问,不同班级不同性别学生的考试成绩是否差异显著。
表2-13不同班级不同性别学生考试成绩
一班
二班
三班
编号
性别
分数
编号
性别
分数
编号
性别
分数
1
男
98
1
男
84
1
男
84
2
女
106
2
女
75
2
女
92
3
女
107
3
女
80
3
女
100
…
…
…
…
…
…
…
…
…
33
男
90
39
男
101
33
男
79
表2-13-1不同班级不同性别学生考试成绩的SPSS表格结构
注:
“classId”的3个水平值“1”、“2”、和“3”分别代表一班、二班和三班;“gender”的2个水平值“1”和“2”分别代表男生和女生。
〖操作〗假设不同班级之间成绩差异不显著,不同性别之间成绩差异不显著,班级和性别之间没有交互作用。
造SPSS表格如表2-13-1所示,保存为twoWayAnova1.sav。
执行Analyze→GeneralLinearModel→Univariate,系统将弹出单因变量方差分析主窗口(Univariate),如图2-6所示。
点击左侧变量列表中的
,点击最上边的,则
将出现在
下方的
方框中;点击左侧变量列表中的
和
,点击从上往下的第二个,
和
将出现在
下的自变量列表中,如图2-6-1所示。
图2-6二因素随机测量方差分析主窗口1
图2-6-1二因素随机测量方差分析主窗口2
对于二因素方差分析通常要画出各处理水平下平均数线形图。
因此,点击
,系统将弹出线形图坐标设置子窗口(Univariate:
ProfilePlots),如图2-6-2所示。
点击
,然后,点击最上边的,
将出现在
下的
中。
点击,点击从上往下的第二个,将出现在
下的
中,系统将根据变量的水平数在同一坐标系内提供相应数目的因变量平均数随
变化而变化的线形图。
点击
,完成设置,如图2-6-3所示。
点击
,退出线形图坐标设置子窗口。
图2-6-2单因变量线形图:
横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口1
图2-6-3单因变量线形图:
横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口2
因为自变量classId的水平数大于2,因此有必要该变量的变量水平平均数进行多重比较,所以,点击
,系统将弹出主效应事后检验多重比较子窗口(Univariate:
PostHocMultipleComparisonsforObservedMeans),如图2-6-4所示。
选中左侧自变量列表中的
,点击,
将出现在
下的变量列表中。
选中某种(或者几种)平均数两两比较运算方法,如
,如图2-6-5所示。
点击
,退出该子窗口。
图2-6-4多因素方差分析:
被试间变量事后检验方法选项设置子窗口1
图2-6-5多因素方差分析:
被试间变量事后检验方法选项设置子窗口2
点击
,系统将弹出统计量选项子窗口(Univariate:
Options),如图2-6-6所示。
首先,选中
下的主效应和交互作用名称
、
和
,点击,则
、和
将出现
下的列表中,系统将提供相应的主效应和交互作用的对应平均数列表。
然后,在标签
下的许多选项中,选定
、
、
和
,系统将分别提供因变量在各处理下的平均数和标准差、方差分析的效应大小估计、观测统计效力和各处理下因变量分数的方差齐次性检验结果,如图2-6-7所示。
点击
,退出该子窗口。
点击
。
图2-6-6多因素方差分析:
统计量选项设置子窗口1
图2-6-7多因素方差分析:
统计量选项设置子窗口2
〖结果与解释〗
DescriptiveStatistics
DependentVariable:
score
classId
gender
Mean
Std.Deviation
N
一班
男
1.0395E2
18.13538
20
女
1.0685E2
13.00542
13
Total
1.0509E2
16.14846
33
二班
男
1.0000E2
12.30610
26
女
98.4615
11.82240
13
Total
99.4872
12.01287
39
三班
男
1.0283E2
10.67846
18
女
90.7333
21.23497
15
Total
97.3333
17.18405
33
Total
男
1.0203E2
13.89641
64
女
98.2927
17.19628
41
Total
1.0057E2
15.29948
105
表DiscriptivesStatsitcs显示了各处理水平上因变量的平均数和标准差等描述性统计结果。
如第一行信息表明,一班男生的平均数和标准差分别为103.95和18.14,一班女生的平均数和标准差分别为106.85和13.01。
Levene'sTestofEqualityofErrorVariancesa
DependentVariable:
score
F
df1
df2
Sig.
2.954
5
99
.016
Teststhenullhypothesisthattheerrorvarianceofthedependentvariableisequalacrossgroups.
a.Design:
Intercept+classId+gender+classId*gender
表TestofHomogeneityofvariance显示,方差齐次性检验结果表明,不同处理条件下因变量对应分数的方差有显著性差异。
TestsofBetween-SubjectsEffects
DependentVariable:
score
Source
TypeIIISumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
PartialEtaSquared
Noncent.Parameter
ObservedPowerb
CorrectedModel
2350.408a
5
470.082
2.116
.070
.097
10.580
.678
Intercept
996892.692
1
996892.692
4.487E3
.000
.978
4487.382
1.000
classId
1262.728
2
631.364
2.842
.063
.054
5.684
.546
gender
316.564
1
316.564
1.425
.235
.014
1.425
.219
classId*gender
960.444
2
480.222
2.162
.121
.042
4.323
.433
Error
21993.306
99
222.155
Total
1086378.000
105
CorrectedTotal
24343.714
104
a.RSquared=.097(AdjustedRSquared=.051)
b.Computedusingalpha=.05
表TestsofBetween-SubjectsEffects是主要分析结果。
表中可以看出,classId的主效应边缘显著,F值为2.842,第一自由度(df1)为2,第二自由度(df2)为99,显著性水平为0.063;gender的主效应不显著,F值为1.425,第一自由度(df1)为1,第二自由度(df2)为99,显著性水平为0.235;classId×gender的交互作用不显著,F值为2.162,第一自由度(df1)为2,第二自由度(df2)为99,显著性水平为0.121。
PartialEtaSquared栏列出了各效应对应的R2分别是0.054、0.014和0.042。
2.classId
DependentVariable:
score
classId
Mean
Std.Error
95%ConfidenceInterval
LowerBound
UpperBound
一班
105.398
2.655
100.130
110.666
二班
99.231
2.531
94.208
104.254
三班
96.783
2.605
91.614
101.953
3.gender
DependentVariable:
score
gender
Mean
Std.Error
95%ConfidenceInterval
LowerBound
UpperBound
男
102.261
1.885
98.520
106.002
女
98.680
2.333
94.051
103.310
表classId和表gender分别列出了因变量在自变量classId不同水平下的变量水平平均数、gender的各变量水平平均数。
MultipleComparisons
score
LSD
(I)classId
(J)classId
MeanDifference(I-J)
Std.Error
Sig.
95%ConfidenceInterval
LowerBound
UpperBound
一班
二班
5.6037
3.52537
.115
-1.3914
12.5988
三班
7.7576*
3.66932
.037
.4768
15.0383
二班
一班
-5.6037
3.52537
.115
-12.5988
1.3914
三班
2.1538
3.52537
.543
-4.8413
9.1489
三班
一班
-7.7576*
3.66932
.037
-15.0383
-.4768
二班
-2.1538
3.52537
.543
-9.1489
4.8413
Basedonobservedmeans.
TheerrortermisMeanSquare(Error)=222.155.
*.Themeandifferenceissignificantatthe.05level.
表MultipleComparisons显示,一班和三班之间的平均数差异达到显著性水平。
图EstimatedMarginalMeansofscore表明,就女生而言,因变量score随班级不同而不同:
一班成绩最高,三班最低,二班居中。
就男生而言,不同班级成绩似乎没有太大差异。
虽然表TestsofBetween-SubjectsEffects显示,性别和班级的交互作用不显著,但是,图EstimatedMarginalMeansofscore明确表明,三班不同性别的分数变化和二班有交叉,因此,不妨进行简单效应分析。
自变量classId和gender分别有3个水平和2个水平,需要作如下共3+2=5项简单效应分析:
对一班(即,当classId=1的时候)男女生成绩(gender=1和gender=2对应的因变量score的分数)进行独立样本t检验;对二班男女生成绩进行独立样本t检验;对三班男女生成绩进行独立样本t检验;对不同班级女生进行单因素方差分析;对不同班级男生进行单因素方差分析。
〖操作〗
(1)选择gender=1条件下的观测分数,对不同班级男生的成绩进行单因素方差分析,结果如下:
ANOVA
score
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
BetweenGroups
192.488
2
96.244
.490
.615
WithinGroups
11973.450
61
196.286
Total
12165.938
63
表ANOVA表明,各班男生成绩之间总体上没有显著性差异。
(2)选择gender=2条件下的观测分数,对不同班级女生的成绩进行单因素方差分析,结果如下:
ANOVA
score
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
BetweenGroups
1808.631
2
904.316
3.430
.043
WithinGroups
10019.856
38
263.680
Total
11828.488
40
表ANOVA表明,各班女生成绩之间总体上存在显著性差异。
MultipleComparisons
score
LSD
(I)classId
(J)classId
MeanDifference(I-J)
Std.Error
Sig.
95%ConfidenceInterval
LowerBound
UpperBound
一班
二班
8.38462
6.36916
.196
-4.5091
21.2783
三班
16.11282*
6.15319
.013
3.6563
28.5693
二班
一班
-8.38462
6.36916
.196
-21.2783
4.5091
三班
7.72821
6.15319
.217
-4.7283
20.1847
三班
一班
-16.11282*
6.15319
.013
-28.5693
-3.6563
二班
-7.72821
6.15319
.217
-20.1847
4.7283
*.Themeandifferenceissignificantatthe0.05level.
事后LSD分析表明,一班和三班女生的成绩之间存在显著性差异。
(3)选择classId=1条件下的观测分数,对一班男女生的成绩进行独立样本t检验,结果表明,一班男女生的成绩差异不显著。
IndependentSamplesTest
Levene'sTestforEqualityofVariances
t-testforEqualityofMeans
F
Sig.
t
df
Sig.(2-tailed)
MeanDifference
Std.ErrorDifference
95%ConfidenceIntervaloftheDifference
Lower
Upper
score
Equalvariancesassumed
.173
.681
-.497
31
.622
-2.89615
5.82196
-14.77011
8.97781
Equalvariancesnotassumed
-.534
30.615
.597
-2.89615
5.42729
-13.97082
8.17852
(4)选择classId=2条件下的观测分数,对二班男女生的成绩进行独立样本t检验,结果表明,二班男女生的成绩差异不显著。
IndependentSamplesTest
Levene'sTestforEqualityofVariances
t-testforEqualityofMeans
F
Sig.
t
df
Sig.(2-tailed)
MeanDifference
Std.ErrorDifference
95%ConfidenceIntervaloftheDifference
Lower
Upper
score
Equalvariancesassumed
.225
.638
.373
37
.711
1.53846
4.12760
-6.82486
9.90178
Equalvariancesnotassumed
.378
25.002
.709
1.53846
4.07138
-6.84666
9.92359
(5)选择classId=3条件下的观测分数,对三班级男女生的成绩进行独立样本t检验,结果表明,三班男生的成绩显著高于女生。
IndependentSamplesTest
Levene'sTestforEqualityofVariances
t-testforEqualityofMeans
F
Sig.
t
df
Sig.(2-tailed)
MeanDifference
Std.ErrorDifference
95%ConfidenceIntervaloftheDifference
Lower
Upper
score
Equalvariancesassumed
13.384
.001
2.121
31
.042
12.10000
5.70373
.46717
23