平均数比较3.docx

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平均数比较3

四、二因素方差分析

（一）二因素随机测量方差分析

用同一套题目对5、6年级小学生进行了一次阅读测验，每个年级男女生人数相等。

如果对测验分数进行二因素随机测量方差分析（two-wayanalysisofvariancewithrandommeasuresontwofactorstest）就能做出如下方面的统计判断：

不同年级学生的分数是否不同，不同性别学生的分数是否不同，低年级的男生或者女生的分数是否比高年级的女生或者男生高。

完成关于年级、性别这两个因素对测验分数影响的考察。

性别变量有两个水平，分别为男生和女生；年级变量有两个水平，分别为5年级和6年级。

方差分析将得出三个方面的结果：

不同的性别变量水平下的测验分数是否有显著不同，即，性别因素主效应（maineffect）是否显著；不同的年级变量水平下的分数是否有显著不同，即，年级因素主效应是否显著；不同性别变量水平和不同年级变量水平下的分数是否有显著不同的变化趋势，即，性别因素和年级因素的交互作用（interactioneffect）是否显著。

因此，所谓主效应是指某自变量变化对因变量变化的影响效果；所谓交互作用是指两个或多个自变量对因变量变化的交叉影响效果。

不同变量水平数的积决定了处理（treatment）数，即，因变量测量分数需要构成的样本数。

对于这里的举例来说，性别变量的水平数和年级变量的水平数的乘积为4，将得到4种处理下的分数—4个样本：

5年级男生的分数、5年级女生的分数、6年级男生的分数和6年级女生的分数。

与之对应的二因素随机测量方差分析就是对这4个互不相关的样本进行平均数比较。

每个样本的平均数叫做处理平均数（cellmean），而样本按自变量水平进行组合，每个变量水平下的平均数叫做变量水平平均数（marginalmean）。

如果分析结果表明两个或某一个变量主效应显著而交互作用不显著，则要报告其变量水平平均数；如果变量交互作用显著，那么不论有没有变量主效应都要做进一步分析，叫做简单效应分析（analysisofsimpleeffect），得到具体哪两个处理平均数之间有显著性差异的结果。

二因素随机测量方差分析中，主效应第一自由度为相应变量水平数减1，交互作用的第一自由度为两个主效应的第一自由度的积。

主效应和交互作用的第二自由度都是总自由度（所有样本大小之和减1）减两个主效应的第一自由度和交互作用的第一自由度。

如果各样本大小均为n，第一个变量的水平数为p，第二变量的水平数为q，那么各效应的第一、二自由度如表2-11所示。

表2-11二因素随机测量方差分析两个主效应和一个交互作用的第一、二自由度

第一个自变量主效应第一自由度

p-1

第二个自变量主效应第一自由度

q-1

两个自变量交互作用第一自由度

（p-1）（q-1）

各主效应和交互作用第二自由度

pq（n-1）

对于主效应和交互作用，其效应大小为相应的平均数差异能够解释所有分数与总平均数的总差异的比例，用R2或η2表示。

效应大小、统计效力和不同设计下每个样本计划大小的关系如表2-12所示。

表2-12在0.05显著性水平上达到80%的统计效力的设计类型、效应大小和每个样本计划大小的关系

自变量的水平数

效应类型

效应大小

样本大小下限

两个自变量水平数均为2

各变量主效应及其交互作用

小（0.01）

197

中（0.06）

大（0.14）

一个自变量水平数均为2另一个自变量水平数为3

水平数为2的自变量主效应

小（0.01）

132

中（0.06）

大（0.14）

水平数为3的自变量主效应及两自变量的交互作用

小（0.01）

162

中（0.06）

大（0.14）

例如，对于一个自变量水平数为2另一个为自变量水平数3的设计，如果预测水平数为3的自变量主效应的有最大效应，水平数2的自变量主效应和交互作用有中等效应，要在0.05显著性水平达到80%的统计效力，那么，对于水平数3的自变量的每个水平下需要获得至少11个分数，对于水平数2的自变量的每个水平下需要获得至少22个分数，对于交互作用需要每个处理下获得27个分数。

因此，必须保证每个处理获得27个分数，6个处理共27×6=162个分数，所以该设计至少共需要162个被试。

【二因素随机测量方差分析·例1】

三个班共105名学生参加了一次英语考试（满分为125分），成绩如表2-13所示。

问，不同班级不同性别学生的考试成绩是否差异显著。

表2-13不同班级不同性别学生考试成绩

一班

二班

三班

编号

性别

分数

编号

性别

分数

编号

性别

分数

男

女

106

女

107

女

100

…

男

101

男

表2-13-1不同班级不同性别学生考试成绩的SPSS表格结构

注：

“classId”的3个水平值“1”、“2”、和“3”分别代表一班、二班和三班；“gender”的2个水平值“1”和“2”分别代表男生和女生。

〖操作〗假设不同班级之间成绩差异不显著，不同性别之间成绩差异不显著，班级和性别之间没有交互作用。

造SPSS表格如表2-13-1所示，保存为twoWayAnova1.sav。

执行Analyze→GeneralLinearModel→Univariate，系统将弹出单因变量方差分析主窗口（Univariate），如图2-6所示。

点击左侧变量列表中的

，点击最上边的，则

将出现在

下方的

方框中；点击左侧变量列表中的

和

，点击从上往下的第二个，

和

将出现在

下的自变量列表中，如图2-6-1所示。

图2-6二因素随机测量方差分析主窗口1

图2-6-1二因素随机测量方差分析主窗口2

对于二因素方差分析通常要画出各处理水平下平均数线形图。

因此，点击

，系统将弹出线形图坐标设置子窗口（Univariate:

ProfilePlots），如图2-6-2所示。

点击

，然后，点击最上边的，

将出现在

下的

中。

点击，点击从上往下的第二个，将出现在

下的

中，系统将根据变量的水平数在同一坐标系内提供相应数目的因变量平均数随

变化而变化的线形图。

点击

，完成设置，如图2-6-3所示。

点击

，退出线形图坐标设置子窗口。

图2-6-2单因变量线形图：

横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口1

图2-6-3单因变量线形图：

横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口2

因为自变量classId的水平数大于2，因此有必要该变量的变量水平平均数进行多重比较，所以，点击

，系统将弹出主效应事后检验多重比较子窗口（Univariate:

PostHocMultipleComparisonsforObservedMeans），如图2-6-4所示。

选中左侧自变量列表中的

，点击，

将出现在

下的变量列表中。

选中某种（或者几种）平均数两两比较运算方法，如

，如图2-6-5所示。

点击

，退出该子窗口。

图2-6-4多因素方差分析：

被试间变量事后检验方法选项设置子窗口1

图2-6-5多因素方差分析：

被试间变量事后检验方法选项设置子窗口2

点击

，系统将弹出统计量选项子窗口（Univariate:

Options），如图2-6-6所示。

首先，选中

下的主效应和交互作用名称

、

和

，点击，则

、和

将出现

下的列表中，系统将提供相应的主效应和交互作用的对应平均数列表。

然后，在标签

下的许多选项中，选定

、

和

，系统将分别提供因变量在各处理下的平均数和标准差、方差分析的效应大小估计、观测统计效力和各处理下因变量分数的方差齐次性检验结果，如图2-6-7所示。

点击

，退出该子窗口。

点击

。

图2-6-6多因素方差分析：

统计量选项设置子窗口1

图2-6-7多因素方差分析：

统计量选项设置子窗口2

〖结果与解释〗

DescriptiveStatistics

DependentVariable:

score

classId

gender

Mean

Std.Deviation

一班

男

1.0395E2

18.13538

女

1.0685E2

13.00542

Total

1.0509E2

16.14846

二班

男

1.0000E2

12.30610

女

98.4615

11.82240

Total

99.4872

12.01287

三班

男

1.0283E2

10.67846

女

90.7333

21.23497

Total

97.3333

17.18405

Total

男

1.0203E2

13.89641

女

98.2927

17.19628

Total

1.0057E2

15.29948

105

表DiscriptivesStatsitcs显示了各处理水平上因变量的平均数和标准差等描述性统计结果。

如第一行信息表明，一班男生的平均数和标准差分别为103.95和18.14，一班女生的平均数和标准差分别为106.85和13.01。

Levene'sTestofEqualityofErrorVariancesa

DependentVariable:

score

df1

df2

Sig.

2.954

.016

Teststhenullhypothesisthattheerrorvarianceofthedependentvariableisequalacrossgroups.

a.Design:

Intercept+classId+gender+classId*gender

表TestofHomogeneityofvariance显示，方差齐次性检验结果表明，不同处理条件下因变量对应分数的方差有显著性差异。

TestsofBetween-SubjectsEffects

DependentVariable:

score

Source

TypeIIISumofSquares

MeanSquare

Sig.

PartialEtaSquared

Noncent.Parameter

ObservedPowerb

CorrectedModel

2350.408a

470.082

2.116

.070

.097

10.580

.678

Intercept

996892.692

4.487E3

.000

.978

4487.382

1.000

classId

1262.728

631.364

2.842

.063

.054

5.684

.546

gender

316.564

1.425

.235

.014

1.425

.219

classId*gender

960.444

480.222

2.162

.121

.042

4.323

.433

Error

21993.306

222.155

Total

1086378.000

105

CorrectedTotal

24343.714

104

a.RSquared=.097（AdjustedRSquared=.051）

b.Computedusingalpha=.05

表TestsofBetween-SubjectsEffects是主要分析结果。

表中可以看出，classId的主效应边缘显著，F值为2.842，第一自由度（df1）为2，第二自由度（df2）为99，显著性水平为0.063；gender的主效应不显著，F值为1.425，第一自由度（df1）为1，第二自由度（df2）为99，显著性水平为0.235；classId×gender的交互作用不显著，F值为2.162，第一自由度（df1）为2，第二自由度（df2）为99，显著性水平为0.121。

PartialEtaSquared栏列出了各效应对应的R2分别是0.054、0.014和0.042。

2.classId

DependentVariable:

score

classId

Mean

Std.Error

95%ConfidenceInterval

LowerBound

UpperBound

一班

105.398

2.655

100.130

110.666

二班

99.231

2.531

94.208

104.254

三班

96.783

2.605

91.614

101.953

3.gender

DependentVariable:

score

gender

Mean

Std.Error

95%ConfidenceInterval

LowerBound

UpperBound

男

102.261

1.885

98.520

106.002

女

98.680

2.333

94.051

103.310

表classId和表gender分别列出了因变量在自变量classId不同水平下的变量水平平均数、gender的各变量水平平均数。

MultipleComparisons

score

LSD

（I）classId

（J）classId

MeanDifference（I-J）

Std.Error

Sig.

95%ConfidenceInterval

LowerBound

UpperBound

一班

二班

5.6037

3.52537

.115

-1.3914

12.5988

三班

7.7576*

3.66932

.037

.4768

15.0383

二班

一班

-5.6037

3.52537

.115

-12.5988

1.3914

三班

2.1538

3.52537

.543

-4.8413

9.1489

三班

一班

-7.7576*

3.66932

.037

-15.0383

-.4768

二班

-2.1538

3.52537

.543

-9.1489

4.8413

Basedonobservedmeans.

TheerrortermisMeanSquare（Error）=222.155.

*.Themeandifferenceissignificantatthe.05level.

表MultipleComparisons显示，一班和三班之间的平均数差异达到显著性水平。

图EstimatedMarginalMeansofscore表明，就女生而言，因变量score随班级不同而不同：

一班成绩最高，三班最低，二班居中。

就男生而言，不同班级成绩似乎没有太大差异。

虽然表TestsofBetween-SubjectsEffects显示，性别和班级的交互作用不显著，但是，图EstimatedMarginalMeansofscore明确表明，三班不同性别的分数变化和二班有交叉，因此，不妨进行简单效应分析。

自变量classId和gender分别有3个水平和2个水平，需要作如下共3+2=5项简单效应分析：

对一班（即，当classId=1的时候）男女生成绩（gender=1和gender=2对应的因变量score的分数）进行独立样本t检验；对二班男女生成绩进行独立样本t检验；对三班男女生成绩进行独立样本t检验；对不同班级女生进行单因素方差分析；对不同班级男生进行单因素方差分析。

〖操作〗

（1）选择gender=1条件下的观测分数，对不同班级男生的成绩进行单因素方差分析，结果如下：

ANOVA

score

SumofSquares

MeanSquare

Sig.

BetweenGroups

192.488

96.244

.490

.615

WithinGroups

11973.450

196.286

Total

12165.938

表ANOVA表明，各班男生成绩之间总体上没有显著性差异。

（2）选择gender=2条件下的观测分数，对不同班级女生的成绩进行单因素方差分析，结果如下：

ANOVA

score

SumofSquares

MeanSquare

Sig.

BetweenGroups

1808.631

904.316

3.430

.043

WithinGroups

10019.856

263.680

Total

11828.488

表ANOVA表明，各班女生成绩之间总体上存在显著性差异。

MultipleComparisons

score

LSD

（I）classId

（J）classId

MeanDifference（I-J）

Std.Error

Sig.

95%ConfidenceInterval

LowerBound

UpperBound

一班

二班

8.38462

6.36916

.196

-4.5091

21.2783

三班

16.11282*

6.15319

.013

3.6563

28.5693

二班

一班

-8.38462

6.36916

.196

-21.2783

4.5091

三班

7.72821

6.15319

.217

-4.7283

20.1847

三班

一班

-16.11282*

6.15319

.013

-28.5693

-3.6563

二班

-7.72821

6.15319

.217

-20.1847

4.7283

*.Themeandifferenceissignificantatthe0.05level.

事后LSD分析表明，一班和三班女生的成绩之间存在显著性差异。

（3）选择classId=1条件下的观测分数，对一班男女生的成绩进行独立样本t检验，结果表明，一班男女生的成绩差异不显著。

IndependentSamplesTest

Levene'sTestforEqualityofVariances

t-testforEqualityofMeans

Sig.

Sig.（2-tailed）

MeanDifference

Std.ErrorDifference

95%ConfidenceIntervaloftheDifference

Lower

Upper

score

Equalvariancesassumed

.173

.681

-.497

.622

-2.89615

5.82196

-14.77011

8.97781

Equalvariancesnotassumed

-.534

30.615

.597

-2.89615

5.42729

-13.97082

8.17852

（4）选择classId=2条件下的观测分数，对二班男女生的成绩进行独立样本t检验，结果表明，二班男女生的成绩差异不显著。

IndependentSamplesTest

Levene'sTestforEqualityofVariances

t-testforEqualityofMeans

Sig.

Sig.（2-tailed）

MeanDifference

Std.ErrorDifference

95%ConfidenceIntervaloftheDifference

Lower

Upper

score

Equalvariancesassumed

.225

.638

.373

.711

1.53846

4.12760

-6.82486

9.90178

Equalvariancesnotassumed

.378

25.002

.709

1.53846

4.07138

-6.84666

9.92359

（5）选择classId=3条件下的观测分数，对三班级男女生的成绩进行独立样本t检验，结果表明，三班男生的成绩显著高于女生。

IndependentSamplesTest

Levene'sTestforEqualityofVariances

t-testforEqualityofMeans

Sig.

Sig.（2-tailed）

MeanDifference

Std.ErrorDifference

95%ConfidenceIntervaloftheDifference

Lower

Upper

score

Equalvariancesassumed

13.384

.001

2.121

.042

12.10000

5.70373

.46717

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