平均数比较3.docx

1、平均数比较3四、二因素方差分析（一）二因素随机测量方差分析用同一套题目对 5、6 年级小学生进行了一次阅读测验，每个年级男女生人数相等。如果对测验分数进行二因素随机测量方差分析（two-way analysis of variance with random measures on two factors test）就能做出如下方面的统计判断：不同年级学生的分数是否不同，不同性别学生的分数是否不同，低年级的男生或者女生的分数是否比高年级的女生或者男生高。完成关于年级、性别这两个因素对测验分数影响的考察。性别变量有两个水平，分别为男生和女生；年级变量有两个水平，分别为5年级和6年级。方差分析将得

2、出三个方面的结果：不同的性别变量水平下的测验分数是否有显著不同，即，性别因素主效应（main effect）是否显著；不同的年级变量水平下的分数是否有显著不同，即，年级因素主效应是否显著；不同性别变量水平和不同年级变量水平下的分数是否有显著不同的变化趋势，即，性别因素和年级因素的交互作用（interaction effect）是否显著。因此，所谓主效应是指某自变量变化对因变量变化的影响效果；所谓交互作用是指两个或多个自变量对因变量变化的交叉影响效果。不同变量水平数的积决定了处理（treatment）数，即，因变量测量分数需要构成的样本数。对于这里的举例来说，性别变量的水平数和年级变量的水平数的

3、乘积为 4，将得到4种处理下的分数4个样本：5 年级男生的分数、5 年级女生的分数、6 年级男生的分数和6年级女生的分数。与之对应的二因素随机测量方差分析就是对这4个互不相关的样本进行平均数比较。每个样本的平均数叫做处理平均数（cell mean），而样本按自变量水平进行组合，每个变量水平下的平均数叫做变量水平平均数（marginal mean）。如果分析结果表明两个或某一个变量主效应显著而交互作用不显著，则要报告其变量水平平均数；如果变量交互作用显著，那么不论有没有变量主效应都要做进一步分析，叫做简单效应分析（analysis of simple effect），得到具体哪两个处理平均数之间

4、有显著性差异的结果。二因素随机测量方差分析中，主效应第一自由度为相应变量水平数减 1，交互作用的第一自由度为两个主效应的第一自由度的积。主效应和交互作用的第二自由度都是总自由度（所有样本大小之和减1）减两个主效应的第一自由度和交互作用的第一自由度。如果各样本大小均为 n，第一个变量的水平数为 p，第二变量的水平数为 q，那么各效应的第一、二自由度如表 2-11 所示。表 2-11 二因素随机测量方差分析两个主效应和一个交互作用的第一、二自由度第一个自变量主效应第一自由度p-1第二个自变量主效应第一自由度q-1两个自变量交互作用第一自由度(p-1)(q-1)各主效应和交互作用第二自由度pq(n-

5、1)对于主效应和交互作用，其效应大小为相应的平均数差异能够解释所有分数与总平均数的总差异的比例，用 R2 或 2 表示。效应大小、统计效力和不同设计下每个样本计划大小的关系如表 2-12 所示。表 2-12 在 0.05 显著性水平上达到 80% 的统计效力的设计类型、效应大小和每个样本计划大小的关系自变量的水平数效应类型效应大小样本大小下限两个自变量水平数均为 2各变量主效应及其交互作用小（0.01）197中（0.06）33大（0.14）14一个自变量水平数均为2另一个自变量水平数为 3水平数为2的自变量主效应小（0.01）132中（0.06）22大（0.14）9水平数为3的自变量主效应及两

6、自变量的交互作用小（0.01）162中（0.06）27大（0.14）11例如，对于一个自变量水平数为2另一个为自变量水平数3的设计，如果预测水平数为3的自变量主效应的有最大效应，水平数2的自变量主效应和交互作用有中等效应，要在 0.05 显著性水平达到 80% 的统计效力，那么，对于水平数3的自变量的每个水平下需要获得至少 11 个分数，对于水平数2的自变量的每个水平下需要获得至少 22 个分数，对于交互作用需要每个处理下获得 27 个分数。因此，必须保证每个处理获得 27 个分数，6 个处理共 276=162 个分数，所以该设计至少共需要 162 个被试。【二因素随机测量方差分析例 1】三个

7、班共 105 名学生参加了一次英语考试（满分为 125 分），成绩如表 2-13 所示。问，不同班级不同性别学生的考试成绩是否差异显著。表 2-13 不同班级不同性别学生考试成绩一班二班三班编号性别分数编号性别分数编号性别分数1男981男841男842女1062女752女923女1073女803女10033男9039男10133男79表 2-13-1 不同班级不同性别学生考试成绩的 SPSS 表格结构注：“classId”的3个水平值“1”、“2”、和“3”分别代表一班、二班和三班；“gender”的2个水平值“1”和“2”分别代表男生和女生。操作假设不同班级之间成绩差异不显著，不同性别之间成

8、绩差异不显著，班级和性别之间没有交互作用。造 SPSS 表格如表 2-13-1 所示，保存为 twoWayAnova1.sav。执行 Analyze General Linear Model Univariate，系统将弹出单因变量方差分析主窗口（Univariate），如图 2-6 所示。点击左侧变量列表中的 ，点击最上边的 ，则 将出现在 下方的方框中；点击左侧变量列表中的 和 ，点击从上往下的第二个 ，和 将出现在 下的自变量列表中，如图 2-6-1 所示。图 2-6 二因素随机测量方差分析主窗口 1图 2-6-1 二因素随机测量方差分析主窗口 2对于二因素方差分析通常要画出各处理水平下

9、平均数线形图。因此，点击 ，系统将弹出线形图坐标设置子窗口（Univariate: Profile Plots），如图 2-6-2 所示。点击 ，然后，点击最上边的 ，将出现在 下的 中。点击 ，点击从上往下的第二个 ，将出现在 下的 中，系统将根据变量 的水平数在同一坐标系内提供相应数目的因变量平均数随 变化而变化的线形图。点击 ，完成设置，如图 2-6-3 所示。点击 ，退出线形图坐标设置子窗口。图 2-6-2 单因变量线形图：横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口 1图 2-6-3 单因变量线形图：横坐标、不同线段和不同线形图变量设置子窗口 2因为自变量 classId 的水平数大于

10、 2，因此有必要该变量的变量水平平均数进行多重比较，所以，点击 ，系统将弹出主效应事后检验多重比较子窗口（Univariate: Post Hoc Multiple Comparisons for Observed Means），如图 2-6-4 所示。选中左侧自变量列表中的 ，点击 ，将出现在 下的变量列表中。选中某种（或者几种）平均数两两比较运算方法，如 ，如图 2-6-5 所示。点击 ，退出该子窗口。图 2-6-4 多因素方差分析：被试间变量事后检验方法选项设置子窗口 1图 2-6-5 多因素方差分析：被试间变量事后检验方法选项设置子窗口 2点击 ，系统将弹出统计量选项子窗口（Univa

11、riate: Options），如图 2-6-6 所示。首先，选中 下的主效应和交互作用名称 、和 ，点击 ，则 、和 将出现 下的列表中，系统将提供相应的主效应和交互作用的对应平均数列表。然后，在标签 下的许多选项中，选定 、和 ，系统将分别提供因变量在各处理下的平均数和标准差、方差分析的效应大小估计、观测统计效力和各处理下因变量分数的方差齐次性检验结果，如图 2-6-7 所示。点击 ，退出该子窗口。点击 。图 2-6-6 多因素方差分析：统计量选项设置子窗口 1图 2-6-7 多因素方差分析：统计量选项设置子窗口 2结果与解释Descriptive StatisticsDependent

12、Variable:scoreclassIdgenderMeanStd. DeviationN一班男1.0395E218.1353820女1.0685E213.0054213Total1.0509E216.1484633二班男1.0000E212.3061026女98.461511.8224013Total99.487212.0128739三班男1.0283E210.6784618女90.733321.2349715Total97.333317.1840533Total男1.0203E213.8964164女98.292717.1962841Total1.0057E215.29948105表 D

13、iscriptives Statsitcs 显示了各处理水平上因变量的平均数和标准差等描述性统计结果。如第一行信息表明，一班男生的平均数和标准差分别为 103.95 和 18.14，一班女生的平均数和标准差分别为 106.85和 13.01。Levenes Test of Equality of Error VariancesaDependent Variable:scoreFdf1df2Sig.2.954599.016Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal acr

14、oss groups.a. Design: Intercept + classId + gender + classId * gender表 Test of Homogeneity of variance 显示，方差齐次性检验结果表明，不同处理条件下因变量对应分数的方差有显著性差异。Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable:scoreSourceType III Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Partial Eta SquaredNoncent. ParameterObserved PowerbCo

15、rrected Model2350.408a5470.0822.116.070.09710.580.678Intercept996892.6921996892.6924.487E3.000.9784487.3821.000classId1262.7282631.3642.842.063.0545.684.546gender316.5641316.5641.425.235.0141.425.219classId * gender960.4442480.2222.162.121.0424.323.433Error21993.30699222.155Total1086378.000105Correc

16、ted Total24343.714104a. R Squared = .097 (Adjusted R Squared = .051)b. Computed using alpha = .05表 Tests of Between-Subjects Effects 是主要分析结果。表中可以看出，classId 的主效应边缘显著，F 值为 2.842，第一自由度（df1）为 2，第二自由度（df2）为 99，显著性水平为 0.063；gender 的主效应不显著，F 值为 1.425，第一自由度（df1）为 1，第二自由度（df2）为 99，显著性水平为 0.235；classIdgender

17、的交互作用不显著，F 值为 2.162，第一自由度（df1）为 2，第二自由度（df2）为 99，显著性水平为 0.121。Partial Eta Squared 栏列出了各效应对应的R2分别是 0.054、0.014 和 0.042。2. classIdDependent Variable:scoreclassIdMeanStd. Error95% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound一班105.3982.655100.130110.666二班99.2312.53194.208104.254三班96.7832.60591.614101.9533.

18、 genderDependent Variable:scoregenderMeanStd. Error95% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound男102.2611.88598.520106.002女98.6802.33394.051103.310表 classId和表 gender 分别列出了因变量在自变量 classId 不同水平下的变量水平平均数、gender 的各变量水平平均数。Multiple ComparisonsscoreLSD(I) classId(J) classIdMean Difference (I-J)Std. ErrorS

19、ig.95% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound一班二班5.60373.52537.115-1.391412.5988三班7.7576*3.66932.037.476815.0383二班一班-5.60373.52537.115-12.59881.3914三班2.15383.52537.543-4.84139.1489三班一班-7.7576*3.66932.037-15.0383-.4768二班-2.15383.52537.543-9.14894.8413Based on observed means. The error term is Mean

20、 Square(Error) = 222.155.*. The mean difference is significant at the .05 level.表 Multiple Comparisons 显示，一班和三班之间的平均数差异达到显著性水平。图 Estimated Marginal Means of score 表明，就女生而言，因变量 score 随班级不同而不同：一班成绩最高，三班最低，二班居中。就男生而言，不同班级成绩似乎没有太大差异。虽然表 Tests of Between-Subjects Effects 显示，性别和班级的交互作用不显著，但是，图 Estimated M

21、arginal Means of score 明确表明，三班不同性别的分数变化和二班有交叉，因此，不妨进行简单效应分析。自变量 classId 和 gender 分别有3个水平和2个水平，需要作如下共 3+2=5 项简单效应分析：对一班（即，当 classId=1 的时候）男女生成绩（gender=1 和 gender=2 对应的因变量 score 的分数）进行独立样本 t 检验；对二班男女生成绩进行独立样本 t 检验；对三班男女生成绩进行独立样本 t 检验；对不同班级女生进行单因素方差分析；对不同班级男生进行单因素方差分析。操作(1) 选择 gender=1 条件下的观测分数，对不同班级男生

22、的成绩进行单因素方差分析，结果如下：ANOVAscoreSum of SquaresdfMean SquareFSig.Between Groups192.488296.244.490.615Within Groups11973.45061196.286Total12165.93863表 ANOVA 表明，各班男生成绩之间总体上没有显著性差异。（2）选择 gender=2 条件下的观测分数，对不同班级女生的成绩进行单因素方差分析，结果如下：ANOVAscoreSum of SquaresdfMean SquareFSig.Between Groups1808.6312904.3163.430.

23、043Within Groups10019.85638263.680Total11828.48840表 ANOVA 表明，各班女生成绩之间总体上存在显著性差异。Multiple ComparisonsscoreLSD(I) classId(J) classIdMean Difference (I-J)Std. ErrorSig.95% Confidence IntervalLower BoundUpper Bound一班二班8.384626.36916.196-4.509121.2783三班16.11282*6.15319.0133.656328.5693二班一班-8.384626.36916

24、.196-21.27834.5091三班7.728216.15319.217-4.728320.1847三班一班-16.11282*6.15319.013-28.5693-3.6563二班-7.728216.15319.217-20.18474.7283*. The mean difference is significant at the 0.05 level.事后LSD分析表明，一班和三班女生的成绩之间存在显著性差异。（3）选择 classId=1 条件下的观测分数，对一班男女生的成绩进行独立样本 t 检验，结果表明，一班男女生的成绩差异不显著。Independent Samples Te

25、stLevenes Test for Equality of Variancest-test for Equality of MeansFSig.tdfSig. (2-tailed)Mean DifferenceStd. Error Difference95% Confidence Interval of the DifferenceLowerUpperscoreEqual variances assumed.173.681-.49731.622-2.896155.82196-14.770118.97781Equal variances not assumed-.53430.615.597-2

26、.896155.42729-13.970828.17852（4）选择 classId =2 条件下的观测分数，对二班男女生的成绩进行独立样本 t 检验，结果表明，二班男女生的成绩差异不显著。Independent Samples TestLevenes Test for Equality of Variancest-test for Equality of MeansFSig.tdfSig. (2-tailed)Mean DifferenceStd. Error Difference95% Confidence Interval of the DifferenceLowerUpperscore

27、Equal variances assumed.225.638.37337.7111.538464.12760-6.824869.90178Equal variances not assumed.37825.002.7091.538464.07138-6.846669.92359（5）选择 classId=3 条件下的观测分数，对三班级男女生的成绩进行独立样本 t 检验，结果表明，三班男生的成绩显著高于女生。Independent Samples TestLevenes Test for Equality of Variancest-test for Equality of MeansFSig.tdfSig. (2-tailed)Mean DifferenceStd. Error Difference95% Confidence Interval of the DifferenceLowerUpperscoreEqual variances assumed13.384.0012.12131.04212.100005.70373.4671723