第25讲 平行四边形中考数学一轮复习精准导练解析版.docx

第25讲 平行四边形中考数学一轮复习精准导练解析版.docx

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第25讲平行四边形中考数学一轮复习精准导练解析版

2019年中考数学一轮复习精准导练

第25讲平行四边形

【考题导向】

平行四边形是中考命题的重点内容，多以选择题、填空题和解答题的形式出现．

1.直接考查多边形的边角关系、多边形内角和、平行四边形的定义、性质和判定．

2．以平行四边形为背景，常和三角形、圆、函数结合．

3．体现数形结合思想、方程思想、对称思想和转化思想．

【考点精练】

考点1：

多边形的内角和与外角和

【典例】（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（　　）

A．360°B．540°C．720°D．900°

【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．

【解答】解：

该正多边形的边数为：

360°÷60°=6，

该正多边形的内角和为：

（6﹣2）×180°=720°．

故选：

C．

【同步练】（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（　　）

A．4B．5C．6D．7

【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．

【点评】1.利用多边形的内角和公式，当已知内角和时，可求边数；已知边数时，可求内角和．2.有时需要转化为方程解决．3.正多边形的每个外角等于

，求解时可以利用外角与内角的关系，转化为外角解决．学科，网

考点2：

平行四边形的性质

【典例】（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【同步练】（2018•黔南州）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　　）

A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm

【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．

【解答】解：

∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，

∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．

故选：

D．

【点评】利用平行四边形的性质可以说明线段相等、角相等，也可以求角的度数、面积等，其方法是把平行四边形问题转化为三角形问题，通过三角形全等、相似来解决．学科；网

考点3：

平行四边形的判定

【典例】（2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A．AD=BCB．CD=BFC．∠A=∠CD．∠F=∠CDF

【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；

【解答】解：

正确选项是D．

理由：

∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，

∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，

∴CD=BF，

∵BF=AB，

∴CD=AB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

故选：

D．

【同步练】（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE=DFB．AE=CFC．AF∥CED．∠BAE=∠DCF

【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．

D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；

故选：

B．

【点评】在判定一个四边形是平行四边形时，需要根据图形及已知条件选择方法：

（1）若已知一组对边平行，则考虑说明另一组对边平行或者说明这组对边相等；

（2）若已知一组对边相等，则考虑说明另一组对边相等或者说明这组对边平行；（3）若已知条件与对角线有关，则考虑说明对角线互相平分．

考点4：

平行四边形探究研究问题

【典例】如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：

四边形EBFD是平行四边形；学科、网

（2）小明在完成

（1）的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请补全他的证明思路．

小明的证明思路

由

（1）可知，BE∥DF.要证四边形EGFH是平行四边形，只要证FG∥EH．

由

（1）可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥FC，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得FG∥EH，则四边形EGFH是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC.

∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，

∴∠EBF＝∠EDF＝

∠ABC＝

∠ADC.

∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC.

∴∠DFC＝∠EBF.∴BE∥DF.

∴四边形EBFD是平行四边形

【同步练】如图，在▱ABCD中，E，F在对角线AC上．

（1）若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：

四边形BEDF是平行四边形；

（2）若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？

若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF还是平行四边形吗？

【分析】

（1）可从对角线互相平分上证明四边形BEDF是平行四边形；

（2）BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线和高线时，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，则有四边形BEDF是平行四边形．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，

∴OE＝OF.

∴四边形BEDF是平行四边形．

同理可证得BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，仍有四边形BEDF是平行四边形．

【真题演练】

1.（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为（　　）

A．120°B．135°C．140°D．144°

【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；

【解答】解：

∵一个十边形的每个外角都相等，

∴十边形的一个外角为360÷10=36°．

∴每个内角的度数为180°﹣36°=144°；

故选：

D．

2.（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P=（　　）

A．50°B．55°C．60°D．65°

【分析】先根据五边形内角和求得∠ECD+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．

3.（2018•海南）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A．15B．18C．21D．24

【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；

【解答】解：

∵平行四边形ABCD的周长为36，

∴BC+CD=18，

∵OD=OB，DE=EC，

∴OE+DE=

（BC+CD）=9，

∵BD=12，

∴OD=

BD=6，

∴△DOE的周长为9+6=15，

故选：

A．

4.（2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　　．

【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，

∴△OCD的周长=5+4+5=14，

故答案为14．

5.（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　　．

【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．

∴OB=

=2

，

∴BD=2OB=4

故答案为：

4

．

6.（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3

，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=　　．

【分析】根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3

，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=

AM=6．

故答案为：

6．

7.（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　　．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

当P在点B时，OH的最大值是：

1+

=

，即（a+2b）的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．

8.（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：

OE=OF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF．

9.（2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：

①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．

请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

①构造一个真命题，画图并给出证明；

②构造一个假命题，举反例加以说明．

【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．

10.（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：

四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

【分析】

（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=

AB，BE=

AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；

∴CE=

AB，BE=

AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，

∴BC=

AB=3，AC=

BC=3

，

∴S平行四边形BCFD=3×

=9

．

【拓展研究】

正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF＝AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.

（1）如图1，当点M在DA延长线上时，求证：

△ADF≌△ABM；

（2）如图2，当点M在线段AD上时，求证：

四边形DFEM是平行四边形；

（3）在

（2）的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？

并求出这个面积的最大值．

图1　　　　　　　　图2

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.

在△ADF和△ABM中，

∴△ADF≌△ABM（SAS）．

S▱EFDM＝DM·AF＝x（5－x）＝－（x－

）2＋

.

∵－1＜0，

∴x＝

时，▱EFDM的面积最大，最大面积为

，

即当AM＝

AD时，▱EFDM的面积最大，最大面积为

.