几何图形与线段培优训练专用.docx
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几何图形与线段培优训练专用
几何图形与线段
一．选择题（共28小题）
1．如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（ ）
A．5a+8b+9c+8d+5eB．5a+8b+10c+8d+5e
C．5a+9b+9c+9d+5eD．10a+16b+18c+16d+10e
2．如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（ ）
A．AB=12B．BC=4C．AM=5D．CN=2
3．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间
4．由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：
绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A．7种B．8种C．56种D．28种
5．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36B．37C．38D．39
6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（ ）
A．10cmB．11cmC．12cmD．13cm
7．某列绵阳⇔成都的往返列车，途中须停靠的车站有：
绵阳，罗江，黄许，德阳，广汉，清白江，新都，成都．那么为该列车制作的车票一共有（ ）
A．7种B．8种C．56种D．28种
8．一条铁路原有m个车站，为了适应客运的需要新增加了n个（n＞1）车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站是（ ）
A．12个B．13个C．14个D．15个
9．如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：
cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（ ）cm3．
A．48πB．50πC．58πD．60π
12．一个正方体的6个面分别标有“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，“7”其中一个数字，如图表示的是正方体3种不同的摆法，当“2”在上面时，下面的数字是（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，标有数字①～⑨的正方形与标有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．现从标有数字的9个正方形中等可能的任选一个，则所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
A．15B．24C．25D．26
18．下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）
A．B．C．
D．
19．如图，将侧面展开图（如图①）还原为正方体，按图②摆放，那么，图①中的线段MN在图②中的对应线段是（ ）
A．aB．bC．cD．d
20．有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（ ）
A．3B．7C．8D．11
21．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3.4厘米的矩形．则该笔筒最多能放半径为0.4厘米的圆柱形铅笔（ ）
A．20支B．21支C．22支D．25支
22．在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
23．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式
的值等于（ ）
A．
B．﹣6C．
D．6
24．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最大值（ ）
A．6B．7C．8D．9
25．如图，一个正方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态，则？
表示的数字是（ ）
A．1B．2C．4D．6
26．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考”在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是（ ）
A．祝B．你C．成D．功
27．有同样大小的立方体8个，把它们竖2个，横2个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用1根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
28．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共8小题）
29．如图是一个立方体的平面展开图形，每个面上都有一个自然数，且相对的两个面上两数之和都相等，若13、9、3的对面的数分别是a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为 ．
30．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：
上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过639，则该塔形中正方体的个数至少是 个．
31．把长和宽分别为6cm和4cm的矩形纸片卷成一个圆柱状，则这个圆柱的底面半径为 ．
32．如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去了7个小正方体），所得到的几何体的表面积是 ．
33．一个无盖的正方体纸盒，将它展开成平面图形，可能的情形共有 种．
34．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段 ．
35．观察下列A，B，C三个图形，从A到B，从B到C的变化都具有某种规律，按照这种规律填出D图
36．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．
三．解答题（共3小题）
37．我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依此类推，…
（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？
（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？
如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由；
（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．
38．阅读下表：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
7
解答下列问题：
（1）在上表中空白处分别画出图形，写出结果；
（2）写出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式；
（3）试证明：
N=
．
39．对于如图①、②、③、④所示的四个平面图
我们规定：
如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：
图
顶点数
边数
区域数
①
②
③
5
8
4
④
（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足
（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
几何图形与线段
参考答案与试题解析
一．选择题（共28小题）
1．如图，线段AF中，AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EF=e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（ ）
A．5a+8b+9c+8d+5eB．5a+8b+10c+8d+5e
C．5a+9b+9c+9d+5eD．10a+16b+18c+16d+10e
【考点】IE：
比较线段的长短．
【分析】首先求出以A为端点线段的长度，类比依次求出B、C、D、E为端点的线段的长度，然后求出这些线段的长度总和．
【解答】解：
以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，
以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，
以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，
以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，
以E为端点线段有EF，线段的长度为e，
故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，
故选A．
【点评】本题主要考查比较线段的长短的知识点，解答本题的关键是求出A，B，C，D，E，F为端点的所有线段的条数，本题不是很难．
2．如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（ ）
A．AB=12B．BC=4C．AM=5D．CN=2
【考点】IE：
比较线段的长短．
【分析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：
，继而即可得出答案．
【解答】解：
根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：
，
∴只要已知AB即可．
故选A．
【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
3．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点AB．点BC．A，B之间D．B，C之间
【考点】IC：
线段的性质：
两点之间线段最短．
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：
①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：
30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）=4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）=5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选A．
【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
4．由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：
绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A．7种B．8种C．56种D．28种
【考点】IA：
直线、射线、线段．
【分析】从绵阳要经过7个地方，所以要制作7种车票；从罗江要经过6个地方，所以制作6种车票；以此类推，则应分别制作5、4、3、2、1种车票；即可得出答案．
【解答】解：
共制作的车票数=7+6+5+4+3+2+1=28（种）．
故选D．
【点评】本题的关键是要找到由一地到另一地的车票的频数．
5．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36B．37C．38D．39
【考点】IA：
直线、射线、线段．
【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．
【解答】解：
三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：
1+2
四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：
1+2+3
五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：
1+2+3+4
六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：
1+2+3+4+5
七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：
1+2+3+5+6
八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：
1+2+3+5+6+7
九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：
1+2+3+4+5+6+7+8=36
则m+n=1+36=37
故答案B．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．
6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（ ）
A．10cmB．11cmC．12cmD．13cm
【考点】IE：
比较线段的长短．
【分析】由已知条件知MB+CN=MN﹣BC，MB+CN=
（AB+CD），故AD=AB+BC+CD可求．
【解答】解：
∵MN=6cm
∴MB+CN=6﹣1=5cm，AB+CD=10cm
∴AD=11cm．
故选B．
【点评】本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出AD的长．
7．某列绵阳⇔成都的往返列车，途中须停靠的车站有：
绵阳，罗江，黄许，德阳，广汉，清白江，新都，成都．那么为该列车制作的车票一共有（ ）
A．7种B．8种C．56种D．28种
【考点】IA：
直线、射线、线段．
【分析】从绵阳⇔成都的往返列车，去时从绵阳到其余7个地方有7种车票，从罗江到其余6个地方有6种车票，…等等，共有28（7+6+5+4+3+2+1）种车票，返回时类似得出共有28（1+2+3+4+5+6+7）种车票，相加即可．
【解答】解：
共有2×（7+6+5+4+3+2+1）=56种车票，
故选C，
【点评】此题主要考查了线段数法，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：
去时车票数十7、6、5、4、3、2、1，返回时一样也有7、6、5、4、3、2、1．
8．一条铁路原有m个车站，为了适应客运的需要新增加了n个（n＞1）车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站是（ ）
A．12个B．13个C．14个D．15个
【考点】IA：
直线、射线、线段．
【分析】根据已知条件得出增加n个车站后客运车票总种数，再利用整数的性质以及一元二次方程的解得出m的值．
【解答】解：
由题设Am+n2﹣Am2=58，
即n（2m﹣1+n）=58=2×29．
（1）若n=2，则2m﹣1+n=29，m=14；
（2）若n=29，则2m﹣1+n=2，m=﹣13，不合题意，舍去；
（3）若n=1，则2m﹣1+n=58，m=29；因为n＞1，不合题意，舍去0；
（4）若n=58，则2m﹣1+n=1，m=﹣28，不合题意，舍去．
故原有14个车站．
故选：
C．
【点评】本题考查排列及排列数公式，是一个实际问题的应用，注意在讨论时m，n的条件，做到不重不漏，本题考查的知识点比较多，是一个综合题目．
9．如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I2：
点、线、面、体．
【分析】根据题意作出图形，即可进行判断．
【解答】解：
将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，
故选：
C．
【点评】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：
考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
10．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I6：
几何体的展开图．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：
选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．
故选B．
【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
11．如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：
cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（ ）cm3．
A．48πB．50πC．58πD．60π
【考点】I1：
认识立体图形．
【分析】根据组合体的形状，可得一个底面直径是4高是14的圆柱，底面直径是4，高是2圆柱的一半，根据圆柱的体积公式，可得答案．
【解答】解：
底面直径是4高是14的圆柱的体积是π（
）2×14=56π，
底面直径是4，高是2圆柱的一半的体积是π（
）2×4×
=4π，
该新几何体的体积为56π+4π=60π，
故选：
D．
【点评】本题考查了认识立体图形，确定几何体的形状是解题关键．
12．一个正方体的6个面分别标有“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，“7”其中一个数字，如图表示的是正方体3种不同的摆法，当“2”在上面时，下面的数字是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】I8：
专题：
正方体相对两个面上的文字．
【分析】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【解答】解：
由第三个图知2，3，7是三个相邻的面，
则当“2”在上面时，下面的数字是“6”．
故选C．
【点评】此题考查了空间图形的翻转，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
13．在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I1：
认识立体图形．
【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以到三角形、四边形、五边形．
【解答】解：
根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形．
故选A．
【点评】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．
14．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I6：
几何体的展开图．
【分析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择．
【解答】解：
根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，且从P点开始到M点为止，
故选：
D．
【点评】本题着重考查学生对立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．要注意空间想象哦，哪一个平面展开图对面图案都相同．
15．如图，标有数字①～⑨的正方形与标有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．现从标有数字的9个正方形中等可能的任选一个，则所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I8：
专题：
正方体相对两个面上的文字．
【分析】共有9个数字，其中所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的⑦⑧⑨三种情况，又只能选①②⑥能拼成正方体，根据概率公式即可求解．
【解答】解：
标有数字①～⑨的正方形共有9个，
∵所选正方形与标有字母的正方形所组成的图形恰可以是一个无盖的正方体的表面展开图，且没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的⑦⑧⑨三种情况，又只能选①②⑥能拼成正方体，
∴没有盖的一面恰好与标有字母“A”的一面相对的概率为3÷9=
．
故选：
B．
【点评】本题考查专题：
正方体相对两个面上的文字，灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
16．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】I6：
几何体的展开图．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：
选项C中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选C．
【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
17．已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）
A．15B．24C．25D．26
【考点】I5：
认识平面图形．
【分析】图形中不含阴影的最小的矩形有10个，两个小矩形组成的矩形有10个，三个小矩形组成的矩形有4个，四个小矩形组成的矩形有2个．
【解答】解：
根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．
故选D．
【点评】本题可分类找出图形中的矩形，这样可以不重不漏．
18．下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）
A．B．C．
D．
【考点】I7：
展开图折叠成几何体．
【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：
选项B，C，D都能折叠成无盖的长方体盒子，
选项A中，上下两底的长与侧面的边长不符，所以不能折叠成无盖的长方体盒子．
故选A．
【点评】解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
19．如图，将侧面展开图（如图①）还原为正方体，按图②摆放，那么，图①中的线段MN在图②中的对应线段是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【考点】I7：
展开图折叠成几何体．
【分析】观察由平面图形转化为正方体的变化求解．
【解答】解：
将图1中的平面图折成正方体，
观察图形可知图1中的线段MN在图2中的对应线段是c．
故选：
C．
【点评】本题考查了几何体的展开与折叠问题
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