几何压轴题.docx

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几何压轴题

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【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

几何压轴题

图形的平移、翻折和旋转等问题压轴题

1、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,CD=5,点E为CD上一动点（不与C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．

2、

（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；

3、

（2）试用x表示

，并写出x的取值范围；

4、（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求

的值．

2、已知：

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．

（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形？

（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；

（3）若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

3、如图

（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图

（1）证明上述结论

【类比引申】如图

（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，

∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD

【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（

-1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：

（

=，

=）

4、在RtΔPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点A、B，

（1）求证：

MA=MB

（2）连接AB，探究：

在旋转三角尺的过程中，⊿AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。

请说明理由。

5、如图，在ΔABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：

点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：

△ABE∽△ECM；

（2）探究：

在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

6、已知，如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1.

（1）求证：

△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化请说明理由

7、如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,F为AD中点，

CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

8、问题探究：

（1）请你在图①中，过点A作一条直线，使它平分ΔABC面积

（2）如图②，点D是ΔABC边AC上一定点，取BC的中点M，连接DM，过点A做AE∥DM，交BC于点E，作直线DE，求证：

直线DE平分△ABC的面积。

（3）如图③，四边形ABCD是某商业用地示意图，现准备过点A修一条笔直的道路（占地面积不计），使其平分四边形ABCD的面积，请在图③中作出这条直线，并说明作法。

9、问题探究：

（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

10、如图，在直角梯形AOBC中，AC∥OB，且OB=6,AC=5,OA=4,

（1）直接写出B、C两点的坐标；

（2）以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？

（3）是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短若存在，请说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么

11、类比梯形的定义，我们定义：

有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：

如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°．求∠C，∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：

“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（改成对角相等，相邻的边也相等才可以，如图2）

（3）已知：

在“等对角四边形"ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC=90°，AB＝5，AD＝4．求对角线AC的长．

12、如图，在锐角ΔABC中，∠ACB=45°，AB=1，分别以A，B为直角顶点向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．

（1）求证：

EM+FN=AB；

（2）求△ABC面积的最大值；

（3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P，使得EP+FP的值最小，求出这个最小值．（结果可保留根号）

13、平面上有三点M,A,B，若MA=MB,则称点A,B为点M的等距点

问题探究：

（1）如图①，在ΔABC中，AB=AC,点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使P,Q为点A的等距点。

答案：

1、分析：

（1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x的值；

（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG与BE的比，然后利用

=

EG

BG

求解；

（3）依题意作出图形，当△BFE的外接圆与AD相切时，线段BE的中点O成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例关系列方程求出x的值，进而求出

的值．

解答：

解：

（1）当点F落在梯形ABCD中位线上时，

如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．

由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=1/2BC

由轴对称性质，可知BF=BC，

∴BN=1/2BF，

∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，

∴△BFC为等边三角形．

∴CF=BC=4，∠FCB=60°，

∴∠ECF=30°．

设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=1/2CF=2，CF⊥BE．

2、解：

（1）过点D作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，

∴AH=2，

∵AP=x，

依题意得2＜x＜8，

∴PH=x-2，

①当AP=AD时，

，？

②当AD=PD时，有AH=PH，

∴2=x-2，

解得x=4，

③当AP=PD时，

在Rt△DPH中，x2=42+（x-2）2，

解得x=5，

∵2＜x＜8，

∴△APD是等腰三角形时，

，4或5；

（2）∵点P不与点B重合，

∴点E必在线段BC上，易证△DPH∽△PEB，

∴

∴

整理得y=

（x-2）（8-x），

即y=-

x2+

x-4；

（3）假设存在满足条件的点P，则BE=BC=4，？

即y=-

x2+

x-4=4，

整理，得x2-10x+32=0，

∵△=（-10）2-4×32＜0，

∴此方程无实数解，与假设矛盾，

∴不存在点P，使得PQ经过点C，

当BC满足O＜BC≤

时，存在点P，使得PQ经过点C。

3、【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．

∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，

∴∠BAE=60°．

又∵∠B=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=80米．

根据旋转的性质得到：

∠ADG=∠B=60°，

又∵∠ADF=120°，

∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAG=∠BAD=150°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴EF=BE+DF=80+40（

﹣1）≈（米），即这条道路EF的长约为米．

4、

（1）证明：

连接OM∵Rt⊿POQ中，OP=OQ=4,M是PQ的中点

∴OM=PM=

PQ=2

∠POM=∠BOM=∠P=450∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO

∴∠PMA=∠OMB⊿PMA≌⊿OMB∴MA=MB

（2）解：

⊿AOB的周长存在最小值

理由是:

⊿PMA≌⊿OMB∴PA=OB

∴OA+OB=OA+PA=OP=4

令OA=xAB=y则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16

=2（x-2）2+8≥8

当x=2时y2有最小值=8从而y≥2

5、

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）解：

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC-EC=6-5=1，

当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴CE∶AC=AC∶CB

∴CE=AC2/CB=25/6

BE=6-25/6=11/6

（3）解：

设BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，？

∴CM∶BE=CE∶AB

即：

CM∶x=（6-x）∶5，

∴CM=-x2/5+6/5x=-1/5（x-3）2+9/5，

∴AM=-5-CM═1/5（x-3）2+6/5，

∴当x=3时，AM最短为16/5

又∵当BE=x=3=1/2BC时，

∴点E为BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴AE=√（AB2-BE2）=4，

此时，EF⊥AC，

∴EM=√（CE2-CM2）=12/5

S△AEM=1/2×16/5×12/5=96/25

6、

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。

∴∠ABF+∠CBF=90°。

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。

∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）。

？

（2）解：

∵正方形面积为3，∴AB=

。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。

∴

。

又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。

∴

。

（3）解：

没有变化。

理由如下：

∵AB=

，BE=1，∴

。

∴∠BAE=30°。

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE"=90°，AE′=AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。

∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。

设BF与AE′的交点为H，

则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG=AG，∴△BAG≌△HAG。

∴

。

？

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。

7、解：

（1）∵α=60°，BC=10，

∴sinα=

，即sin60°=

=

，

解得CE=5

；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．

理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，∴AF=FD，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，在△AFG和△CFD中，

，

∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF=

AD=

BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，

∵CF=GF（①中已证），

∴CF2=（

CG）2=

CF2=

（200﹣20x）=50﹣5x，

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣

）2+50+

，

∴当x=

，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，

此时，EG=10﹣x=10﹣

=

，CE=

=

=

，

所以，tan∠DCF=tan∠G=

=

=

．

9、

（1）如图①．

（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．

（3）如图③存在直线l，

过点D作DA⊥OB于点A，

则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，

∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，

易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．

从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，

10、（3）如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，

则S△MON=S△OMP+S△NMP=1/2MP·QG+1/2MP·GN，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴当点N与点B重合，M在AC上运动时，QN，MP同时取得最大值BO，OA，

∴△MON的面积=1/2OA·OB，

∴M点与A点重合，

∴M（0，4），△MON的周长=10+

，

当△OMN是等腰三角形时，点N与B重合，

则OM=MN，∴M（3，4），

∴△MON的面积=1/2OAOB，

∴△MON的周长=16＜10+

，

∴存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短，

M（3，4）．

11、

12、

（1）过C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定义得到一对角互余，再由CG垂直于AG，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG与三角形AEM全等，利用全等三角形的对应边相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代换即可得证；

（2）在三角形ABC中，由∠ACB的度数及AB的长，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出ACBC的最大值，再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值；

（3）根据三角形ABC面积最大时，AC=BC，作出E、F关于MN的对称点E′、F′，连接E′F，过G点，当P与G重合时，EP+FP最小，最小距离为E′F，作出△ABC的外接圆，由∠ACB=45°，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠AOB=90°，再由OA=OB，得到三角形AOB为等腰直角三角形，由AB的长求出三角形ABC外接圆半径长，以及OG的长，由CO+OG求出CG的长，即为MA与NB的长，由MA+AB+NB求出MN长，即为E′F′长，在直角三角形E′FF′中，由E′F′与FF′长，利用勾股定理求出E′F的长，即为EP+FP的最小值．

（1）

（2）

（3）同

（2）图