江苏省学年高二数学上学期期末考试试题1.docx

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江苏省学年高二数学上学期期末考试试题1

江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试

高二数学（文理）试卷

一、填空题：

（本大题共14大题，每小题5分，共70分）

1.已知命题则为．

2.复数．

3.女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．

4.若命题是假命题，则实数的取值范围是．

5.若双曲线的一条准线方程是，则实数的值是____．

6.现有一个关于平面图形的命题：

如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．

7.双曲线上的点P到点（5,0）的距离为8.5，则点P到

左准线的距离为_______．

8．抛物线的弦过焦点，且的长为6，则的中点的

纵坐标为．

9.复数满足，则的最小值为．

10.当a为任意实数时，直线（2a＋3）x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的

标准方程是__________________．

11.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

12.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两

点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为________．

13.若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则.

14.设点，分别为椭圆：

的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是.

二、简答题：

（本大题共6小题，共90分）

15.（本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为，至少一个白球的概率为，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．

16.（本小题14分）设命题p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，

命题q：

实数x满足

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

17.（本小题15分）从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，

每次取出后不放回，连续取两次．

（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

18.（本小题15分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，

且经过点M.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点P（2,1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝2？

若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．

19.（本小题16分）已知关于x的绝对值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.

（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？

（2）在条件

（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的

充要条件．

20.（本小题16分）已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆

于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（3）在

（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，

求的取值范围．

高二数学（附加题）

21.（本小题10分）已知P是椭圆上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．

22.（本小题10分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数

的比是10∶1.求展开式中含的项．

23.（本小题10分）如图,在三棱锥中,底面,

点，分别在棱的中点，求与平面所成的角的正弦值的大小；

24.（本小题10分）是否存在a、b、c

使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？

证明你的结论．

江苏省启东中学第一学期期终考试

答案

1.2．　　　　　　　　　3．0.9

4.　　　　　　　　5．－３　　　　　　　　６．

7．　　　　　　　　　　8．２　　　　　　　　　9．

10.y2＝32x或x2＝－y　　　　11.　　　　　　　12..或

13．８　　　　　　　　　　　　14．

15.解：

设摸到的两个球均为红色的事件为A，一红一白的事件为B，均为白球的事件为C.

显然，A、B、C为互斥事件，

依题意：

⇒

⇒P（B）＝.

即两个球恰好红球白球各一个的概率为.

16.设命题p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：

实数x满足

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解　

（1）由x2－4ax＋3a2<0得（x－3a）（x－a）<0，

又a>0，所以a

当a＝1时，1

由，得2

若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2

（2）设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}，

B＝{x|}，

则BA，又A＝{x|a≤x≤3a}，B＝{x|2

则0

所以实数a的取值范围是{a|1

17.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．

（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

解析：

列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．

于是：

（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．

事件A由4个基本事件组成，所以P（A）＝＝.

（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．

事件B由4个基本事件组成，所以P（A）＝.

18.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点P（2,1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝2？

若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．

解析　

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），

由题意得解得a2＝4，b2＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1（x－2）＋1，代入椭圆C的方程得，（3＋4k）x2－8k1（2k1－1）x＋16k－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

所以Δ＝[－8k1（2k1－1）]2－4（3＋4k）（16k－16k1－8）＝32（6k1＋3）＞0，

所以k1＞－.

又x1＋x2＝，x1x2＝，

因为·＝2，

即（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝，

所以（x1－2）·（x2－2）（1＋k）＝|PM|2＝.

即[x1x2－2（x1＋x2）＋4]（1＋k）＝.

所以（1＋k）＝＝，解得k1＝±.

因为k1＞－，所以k1＝.

于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.

19.已知关于x的绝对值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.

（1）当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？

（2）试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．

解　

（1）原方程等价于x2＋ax＋b＝2，①

或x2＋ax＋b＝－2，②

由于Δ1＝a2－4b＋8>a2－4b－8＝Δ2，

∴Δ2＝0时，原方程的解集M中恰有3个元素，即a2－4b＝8；

（2）必要性：

由

（1）知方程②的根x＝－，方程①的根x1＝－－2，x2＝－＋2，

如果它们恰为直角三角形的三边，即（－）2＋（－－2）2＝（－＋2）2，

解得a＝－16，b＝62.

充分性：

如果a＝－16，b＝62，可得解集M为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角

形恰为直角三角形．

∴a＝－16，b＝62为所求的充要条件．

20.已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右

焦点到右准线的距离等于短半轴的长．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆

于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（3）在

（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值

范围．

20．解：

（1）由题意知，解得，

故椭圆的方程为．…………………………4分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得．①

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入，

整理，得．②

由①得，代入②

整理，得．

所以直线与轴相交于定点．…………………………10分

（3）当过点直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，．

由得．

∴，，．

则．

因为，所以．

所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．

此时．

所以的取值范围是．…………………………16

21.已知P是椭圆上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．

解析　由＝＋，

又＋＝＝2＝－2，

设Q（x，y），则＝－＝－（x，y）

＝，

即P点坐标为，又P在椭圆上，

则.

即。

22.已知（－）n（n∈N*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.

求展开式中含x的项．

解：

解：

由题意知，第五项系数为C·（－2）4，

第三项的系数为C·（－2）2，

则有＝，

化简得n2－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3（舍去）．

通项公式Tr＋1＝C·（）8－r·（－）r

＝C·（－2）r·x－2r，（r＝0,1，…，8），

令－2r＝，则r＝1，

故展开式中含x的项为T2＝－16x.

23.如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱的中点，求：

与平面所成的角的正弦值的大小；

解：

如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得

,

∵，∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

平面PAC的一个法向量

设AD与平面PAC所成的角