新冀教版数学八年级上册同步练习172 直角三角形.docx

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新冀教版数学八年级上册同步练习172直角三角形

17.2　直角三角形

知识点1　直角三角形两锐角互余的性质

1．2018·百色在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为（　　）

A．35°B．55°C．65°D．145°

2．如图17－2－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则图中与∠A互余的角有（　　）

A.0个B.1个C．2个D.3个

图17－2－1图17－2－2

3．如图17－2－2，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A的度数为________．

4．直角三角形中两个锐角度数的比是12，则其两个锐角的度数分别是________，________．

5．如图17－2－3，在△ABC中，AD＝BD，AD⊥BC于点D，∠C＝55°，求∠BAC的度数．

图17－2－3

知识点2　直角三角形的判定定理

6．有下列条件：

①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝

∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A.1个B.2个C．3个D.4个

7．如图17－2－4所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，判断△ACD的形状，并说明理由．

图17－2－4

8．在△ABC中，∠C与∠A的差等于∠B.

求证：

△ABC为直角三角形．

知识点3　直角三角形斜边上的中线的性质

9．2018·福建如图17－2－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD＝________．

图17－2－5图17－2－6

10．如图17－2－6，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB的长度为（　　）

A．4B．5C．5.5D．6

11．如图17－2－7，直线a，b相交于点A，C，E分别是直线b，a上的点且BC⊥a于点B，DE⊥b于点D，M，N分别是EC，DB的中点．求证：

MN⊥BD.

图17－2－7

知识点4　含30°角的直角三角形的性质

12．将一个等腰直角三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在直线所成的锐角为30°，如图17－2－8，则三角尺的直角边的长为（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

图17－2－8图17－2－9

13．如图17－2－9，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝________cm.

14．等腰三角形的顶角为30°，一腰上的高为2cm，则该三角形的面积是________．

15．如图17－2－10，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为（　　）

图17－2－10

A．3B．4C．5D．6

16．教材习题A组第2题变式如图17－2－11，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（　　）

A．21B．18C．13D．15

图17－2－11图17－2－12

17．2018·郴州如图17－2－12，∠AOB＝60°，以O为圆心，任意长为半径作弧分别交OA，OB于点C，D；分别以C，D为圆心，大于

CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则点M到OB的距离为（　　）

A．6B．2C．3D．3

17．如图17－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为__________．

图17－2－13

19．如图17－2－14所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连接AE.

求证：

（1）∠AEC＝∠C；

（2）BD＝2AC.

图17－2－14

20．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点．

（1）如图17－2－15①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，试说明AB＋AD＝AC；

（2）如图②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则

（1）中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

图17－2－15

教师详解详析

1．B　[解析]根据直角三角形的两锐角互余，得∠B＝90°－35°＝55°.

2．C　[解析]∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴与∠A互余的角有2个．故选C.

3．52°　[解析]∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝38°.∵AC⊥CD于点C，∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－38°＝52°.

4．30°　60°　[解析]设两锐角的度数分别为x°，2x°，则x＋2x＝90，解得x＝30，则2x＝60.

5．解：

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵∠C＝55°，

∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－55°＝35°.

∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝45°，

∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝45°＋35°＝80°.

6．D　[解析]因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以①可以确定；因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以②可以确定；因为由题意可得∠C＝90°，所以③可以确定；因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以④可以确定．故选D.

7．解：

△ACD是直角三角形．

理由：

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°.

又∵∠A＝∠BCD，

∴∠ACD＋∠A＝90°，

∴△ACD是直角三角形（如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形）．

8．证明：

由题意，得∠C－∠A＝∠B，

∴∠A＋∠B＝∠C.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴2∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC为直角三角形．

9．3

10．D　[解析]∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.

∵E为AC的中点，∴DE＝

AC＝3，

∴AB＝AC＝6.

11．证明：

∵BC⊥a，DE⊥b，M是EC的中点，

∴在Rt△EDC中，DM＝

EC，在Rt△EBC中，BM＝

EC，∴DM＝BM.

∵N是BD的中点，

∴MN⊥BD.

12．D　13.6

14．4cm2　[解析]由已知可得，这个等腰三角形的腰长为4cm，于是可得这个三角形的面积为4cm2.

15．C　[解析]如图，过点P作PH⊥OB交OB于点H.

∵PH⊥MN，PM＝PN，

∴MH＝NH.

∵MN＝2，

∴MH＝1.

在△OPH中，∠O＝60°，∠PHO＝90°，OP＝12，

∴∠OPH＝30°，

∴OH＝6，

∴OM＝OH－MH＝6－1＝5.

16．C　[解析]∵CD⊥AB，F为BC的中点，

∴DF＝

BC＝

×8＝4.

∵BE⊥AC，F为BC的中点，

∴EF＝

BC＝

×8＝4，∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝5＋4＋4＝13.

17．C　[解析]如图，过点M作ME⊥OB于点E，由作图可知OP是∠AOB的平分线，则∠POB＝

∠AOB＝30°，∴ME＝

OM＝3.

18．45°

19．证明：

（1）∵AE是Rt△BAD的斜边BD上的中线，

∴AE＝EB＝

BD，

∴∠B＝∠BAE.

又∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，

∴∠AEC＝2∠B.

∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C.

（2）由

（1）知∠AEC＝∠C，∴AE＝AC.

∵AE＝

BD，

∴AC＝

BD，即BD＝2AC.

20．解：

（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，

∴∠CAB＝∠CAD＝60°.

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°，

∴AB＝AD＝

AC，

∴AB＋AD＝AC.

（2）成立．

理由：

方法一：

如图①，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.

图①

∵AC平分∠MAN，

∴∠CAE＝∠CAF.

又∵∠CEA＝∠CFA，

∴∠ECA＝∠FCA.

又∵CE⊥AM，CF⊥AN，

∴CE＝CF.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∠ADC＋∠CDE＝180°，

∴∠CDE＝∠ABC.

又∵∠CED＝∠CFB＝90°，

∴△CED≌△CFB，

∴ED＝FB，

∴AB＋AD＝AF＋FB＋AE－ED＝AF＋AE.

同

（1）理，得AF＋AE＝AC，

∴AB＋AD＝AC.

方法二：

如图②，在AN上截取AG＝AC，连接CG.

图②

由题意，得∠MAC＝∠CAB＝60°.

∵AG＝AC，

∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∠ABC＋∠CBG＝180°，

∴∠CBG＝∠ADC.

又∵∠CAD＝∠CGB，

∴△CBG≌△CDA，∴BG＝AD，

∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC.