中考备战数学专题复习精品资料第八讲《一元二次方程及应用》含详细参考答案和教师用书.docx
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中考备战数学专题复习精品资料第八讲《一元二次方程及应用》含详细参考答案和教师用书
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
2019年中考备战数学专题复习精品资料
第二章方程与不等式
第八讲一元二次方程及应用
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程：
只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为，
其中二次项是，一次项是，是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数
3．一元二次方程的解（根）：
使方程左右两边的未知数的值，就是一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
◆◆◆名师提醒◆◆◆
（1）一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件；
（2）将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正。
知识点二、一元二次方程的解法
1．一元二次方程有如下四种解法：
直接开平方法
形如
的方程，两边，转化为两个一元一次方程求解。
配方法
把一元二次方程
通过化成
的形式，再用求解。
公式法
一元二次方程
满足
，利用求根公式
x=
求解。
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个的乘积，即可化为
的形式，即可解得两根为：
。
2．用配方法解一元二次方程的步骤：
①化二次项系数为，即方程两边都二次项系数；
②移项：
把项移到方程的边；
③配方：
方程两边都加上，把左边配成完全平方的形式；
④开方：
方程两边同时开方（直接开平方法），目的是为了降次，得到一元一次方程；
⑤得解：
如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
◆◆◆名师提醒◆◆◆
一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是配方法和公式法。
知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．一元二次方程根的判别式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，一般用符号表示，一元二次方程的根的情况由其判别式决定即：
◆◆◆名师提醒◆◆◆
在使用根的判别式解决问题时，要注意：
（1）当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式；
（2）当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。
2．一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则：
。
◆◆◆名师提醒◆◆◆
应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：
（1）当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式；
（2）应用
时，不要漏掉“－”号；
（3）应用根与系数的公式前，首先确定判别式
是否成立，判别式
是应用根与系数的公式的前提。
知识点四、一元二次方程的应用
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤，同列一元一次方程解应用题的步骤一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行，即：
列方程（组）解应用题的一般步骤是：
（1）审：
弄清题意，分清题目中的已知量和未知量；
（2）设：
直接或间接设未知数；
（3）列：
根据题意寻找等量关系列方程（组）；
（4）解：
解这个方程（组），求出未知数的值；
（5）验：
检验方程（组）的解是否符合题意；
（6）答：
写出答案（包括单位名称）。
2．应用题中常见的等量关系：
（1）增长率等量关系：
。
一般类型：
设原来量为a，平均增长（下降）率为x，则一次增长（下降）后的值为a（1±x），两次增长（下降）后的值为a（1±x）2.
（2）利润等量关系：
利润=售价－成本（进价），
。
（3）利息等量关系：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息；利息说=利息×税率。
（4）行程等量关系：
路程=速度×时间。
（5）几何图形的面积、体积问题：
按面积、体积的计算公式列方程。
◆◆◆名师提醒◆◆◆
因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。
★★★中考典例剖析★★★
考点一：
一元二次方程的解
例1（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．
【思路分析】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：
把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3，
因为k≠0，
所以k的值为-3．
故答案为-3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。
●●●触雷警示●●●
若二次项系数中含有字母，则二次项系数有可能为零，当二次项系数为零时，则方程无二次项，即方程不是一元二次方程，所有关于一元二次方程的解法与性质都无从谈起。
日常做题时，同学们往往忽视含字母的二次项系数不为0这一条件导致出错！
故一定要保证二次项系数不为0。
【跟踪训练】
1．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，则m-n的值为．
考点二：
解一元二次方程
例2（2018•深圳）给出一种运算：
对于函数y=xn，规定y′=nxn-1．例如：
若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（ ）
A．x1=4，x2=-4B．x1=2，x2=-2C．x1=x2=0D．x1=2
，x2=-2
【思路分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：
3x2=12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：
由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，
∴3x2=12，
x2=4，
x=±2，
x1=2，x2=-2，
故选：
B．
【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：
①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．
例3（2018•益阳）规定：
a⊗b=（a+b）b，如：
2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=．
【思路分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．
【解答】解：
依题意得：
（2+x）x=3，
整理，得x2+2x=3，
所以（x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3．
故答案是：
1或-3．
【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
例4（2018•齐齐哈尔）解方程：
2（x-3）=3x（x-3）．
【思路分析】移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：
2（x-3）=3x（x-3），
移项得：
2（x-3）-3x（x-3）=0，
整理得：
（x-3）（2-3x）=0，
x-3=0或2-3x=0，
解得：
x1=3或x2=
．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x-3，这样会漏根．
♥♥♥思维升华♥♥♥
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
●●●触雷警示●●●
解一元二次方程的注意点
（1）在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定a,b,c的值，否则会出现符号错误；
（2）用因式分解发确定一元二次方程的解时，一定要保证等号右边化为0，否则会出现错误；
（3）如果一元二次方程常数项为0，不能在方程的两边同除以未知数，否则会漏掉x=0的解；
（4）对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增根。
跟踪训练
2．（2018•柳州）一元二次方程x2-9=0的解是．
3．（2018•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
4．（2018•巴中）解方程：
3x（x-2）=x-2．
5．（2018•舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=
，AC=b，再在斜边AB上截取BD=
．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长
考点三：
一元二次方程根的判别式
例5（2018•威海）关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．
【思路分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4-8（m-5）≥0，且m-5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：
m=4．
【点评】考查了根的判别式，总结：
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
例6（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
【思路分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴
，
∴b=a+1或b=-（a+1）．
当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；
当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠-（a+1），
∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
故选：
D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
♥♥♥思维升华♥♥♥
（1）一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”四种情况，注意与判别式的对应关系；
（2）利用根的确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错。
跟踪训练
6．（2018•菏泽）关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠-1D．k≤0且k≠-1
7．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
考点四：
一元二次方程根与系数的关系
例7（2018•湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1-x2）2+m2=21，求m的值．
【思路分析】
（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2-4（m2-2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-2，再利用（x1-x2）2+m2=21得到（2m+1）2-4（m2-2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用
（1）中m的范围确定m的值．
【解答】解：
（1）根据题意得△=（2m+1）2-4（m2-2）≥0，
解得m≥-
，
所以m的最小整数值为-2；
（2）根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-2，
∵（x1-x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2-4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2-4（m2-2）+m2=21，
整理得m2+4m-12=0，解得m1=2，m2=-6，
∵m≥-
，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
．也考查了根的判别式．
●●●触雷警示●●●
应用根与系数关系的前提
研究一元二次方程根与系数的关系的前提：
（1）二次项系数a≠0；
（2）判别式△≥0。
利用一元二次方程根与系数的关系求方程中所含字母的值或范围时，必须考虑这两个条件。
跟踪训练
8．（2018•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若
，求k的值．
考点五：
一元二次方程的应用
例8（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
【思路分析】
（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，
解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80．
当x=23.5时，y=-2x+80=33．
答：
当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：
（x-20）（-2x+80）=150，
解得：
x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：
如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；
（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
♥♥♥思维升华♥♥♥
列一元二次方程解决实际问题的关键是找出“等量关系”，在得到方程的解之后，要记得检验它是否符合实际意义。
跟踪训练
9．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：
台）和销售单价x（单位：
万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
☀☀☀感悟中考☀☀☀
分析课程标准和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，题型覆盖选择题、填空题和解答题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年中考试题中，根的判别式和根与系数的关系仍会作为重点进行考查。
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018•盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
2．（2018•临沂）一元二次方程y2-y-
=0配方后可化为（ ）
A．（y+
）2=1B．（y-
）2=1C．（y+
）2=
D．（y-
）2=
3．（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3
4．（2018•铜仁市）关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为（ ）
A．x1=-1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x1=1，x2=3D．x1=-1，x2=-3
5．（2018•娄底）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根B．有两相等实数根
C．无实数根D．不能确定
6．（2018•湘潭）若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
7．（2018•包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．（2018•遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4B．-4C．3D．-3
9．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则
的值是（ ）
A．
B．-
C．-
D．
10．（2018•潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+
=0有两个不相等的实数根x1，x2．若
，则m的值是（ ）
A．2B．-1C．2或-1D．不存在
11．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8%B．9%C．10%D．11%
二、填空题
12．（2018•扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为．
13．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为．
14．（2018•怀化）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．
15．（2018•巴中）对于任意实数a、b，定义：
a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）-5=0的两根记为m、n，则m2+n2=．
16．（2018•烟台）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m的取值范围是．
三、解答题
17．（2018•兰州）解方程：
3x2-2x-2=0．
18．（2018•梧州）解方程：
2x2-4x-30=0．
19．（2018•成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
20．（2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：
x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
21．（2018•十堰）已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
22．（2018•绥化）已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=
时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．
23．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：
2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：
2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：
从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
24．（2018•东营）关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
♦♦♦详细参考答案♦♦♦
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
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第二章方程与不等式
第八讲一元二次方程及应用
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程：
只含有1个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为
，
其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数
3．一元二次方程的解（根）：
使方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
知识点二、一元二次方程的解法
1．一元二次方程有如下四种解法：
直接开平方法
形如
的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程求解。
配方法
把一元二次方程
通过配方化成
的形式，再用直接开平方法求解。
公式法
一元二次方程
满足
，利用求根公式
x=
求解。
因式分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化为
的形式，即可解得两根为：
。
2．用配方法解一元二次方程的步骤：
①化二次项系数为1
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