中考备战数学专题复习精品资料第八讲《一元二次方程及应用》含详细参考答案和教师用书.docx

1、中考备战数学专题复习精品资料第八讲一元二次方程及应用含详细参考答案和教师用书学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2019年中考备战数学专题复习精品资料第二章 方程与不等式 第八讲 一元二次方程及应用 核心知识回顾知识点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程：只含有 个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的 方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为 ，其中二次项是 ，一次项是 ， 是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数3一元二次方程的解（根）：使方程左右两边 的未知数的值，就是一元二次

2、方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。名师提醒（1）一元二次方程的一般形式要特别注意强调a0这一条件；（2）将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正。知识点二、一元二次方程的解法1一元二次方程有如下四种解法：直接开平方法形如的方程，两边 ，转化为两个一元一次方程求解。配方法把一元二次方程通过 化成的形式，再用 求解。公式法一元二次方程满足，利用求根公式x=求解。因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化为的形式，即可解得两根为：。2用配方法解一元二次方程的步骤：化二次项系数为 ，即方程两边都 二次项系数；移项：把 项移到方

3、程的 边；配方：方程两边都加上 ，把左边配成完全平方的形式；开方：方程两边同时开方（直接开平方法），目的是为了降次，得到一元一次方程；得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。名师提醒一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是配方法和公式法。知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1一元二次方程根的判别式 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a0) 的根的判别式，一般用符号 表示，一元二次方程的根的情况由其判别式决定即： 名师提醒在使用根的判别式解决问题时，要注意：（1）当一元二次方程不是一般形式

4、时，要先化为一般形式；（2）当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。2一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)的两个根分别为x1，x2，则：。名师提醒应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点：（1）当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式；（2）应用时，不要漏掉“”号；（3）应用根与系数的公式前，首先确定判别式是否成立，判别式是应用根与系数的公式的前提。知识点四、一元二次方程的应用1列一元二次方程解应用题的一般步骤，同列一元一次方程解应用题的步骤一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行，即：列方程（组）解应用题的一般步骤是：（1）审：弄

5、清题意，分清题目中的已知量和未知量；（2）设：直接或间接设未知数；（3）列：根据题意寻找等量关系列方程（组）；（4）解：解这个方程（组），求出未知数的值；（5）验：检验方程（组）的解是否符合题意；（6）答：写出答案（包括单位名称）。2应用题中常见的等量关系：（1）增长率等量关系：。一般类型：设原来量为a，平均增长（下降）率为x，则一次增长（下降）后的值为a(1x)，两次增长（下降）后的值为a(1x)2.（2）利润等量关系：利润=售价成本（进价），。（3）利息等量关系：利息=本金利率期数；本息和=本金+利息；利息说=利息税率。（4）行程等量关系：路程=速度时间。（5）几何图形的面积、体积问题：按

6、面积、体积的计算公式列方程。名师提醒因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。中考典例剖析考点一：一元二次方程的解例1 （2018荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2-2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 【思路分析】把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值【解答】解：把x=2代入kx2+（k2-2）x+2k+4=0得4k+2k2-4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=-3，

7、因为k0，所以k的值为-3故答案为-3【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解当二次项系数中含有字母时，一定要保证二次项系数不为0。触雷警示若二次项系数中含有字母，则二次项系数有可能为零，当二次项系数为零时，则方程无二次项，即方程不是一元二次方程，所有关于一元二次方程的解法与性质都无从谈起。日常做题时，同学们往往忽视含字母的二次项系数不为0这一条件导致出错！故一定要保证二次项系数不为0。【跟踪训练】1（2018南充）若2n（n0）是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根，则m-n的值为 考点二：解一元二次方程例2 （2018深圳）给出一种运

8、算：对于函数y=xn，规定y=nxn-1例如：若函数y=x4，则有y=4x3已知函数y=x3，则方程y=12的解是（）Ax1=4，x2=-4 Bx1=2，x2=-2 Cx1=x2=0 Dx1=2，x2=-2【思路分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y=3x2，3x2=12，x2=4，x=2，x1=2，x2=-2，故选：B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：二次项系数要化为1，根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是

9、互为相反数，不要丢解例3（2018益阳）规定：ab=（a+b）b，如：23=（2+3）3=15，若2x=3，则x= 【思路分析】根据ab=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可【解答】解：依题意得：（2+x）x=3，整理，得 x2+2x=3，所以 （x+1）2=4，所以x+1=2，所以x=1或x=-3故答案是：1或-3【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键例4（2018齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）【思路分析】移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可【解答】解：2（x-3）=3x（x-3），移项得：

10、2（x-3）-3x（x-3）=0，整理得：（x-3）（2-3x）=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3或x2=【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x-3，这样会漏根思维升华用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。触雷警示解一元二次方程的注意点（

11、1）在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定a,b,c的值，否则会出现符号错误；（2）用因式分解发确定一元二次方程的解时，一定要保证等号右边化为0，否则会出现错误；（3）如果一元二次方程常数项为0，不能在方程的两边同除以未知数，否则会漏掉x=0的解；（4）对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增根。跟踪训练2（2018柳州）一元二次方程x2-9=0的解是 3（2018安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A12 B9 C13 D12或94 （2018巴中）解方程：3x（x-2）=x-25（2018舟

12、山）欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=则该方程的一个正根是（）AAC的长 BAD的长 CBC的长 DCD的长考点三：一元二次方程根的判别式例5 （2018威海）关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是 【思路分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式=b2-4ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围还要注意二次项系数不为0【解答】解：关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根，=4-8（m-5）0，且m-50，解得m5.5，且m5，则m的最大整数解是m

13、=4故答案为：m=4【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根例6（2018福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【思路分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx

14、+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根再结合a+1-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根【解答】解：关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，b=a+1或b=-（a+1）当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根a+10，a+1-（a+1），1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根故选：D【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键

15、思维升华（1）一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”四种情况，注意与判别式的对应关系；（2）利用根的确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错。跟踪训练6（2018菏泽）关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak0 Bk0 Ck0且k-1 Dk0且k-17（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根考点四：一元二次方程根与

16、系数的关系例7（2018湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1-x2）2+m2=21，求m的值【思路分析】（1）利用判别式的意义得到=（2m+1）2-4（m2-2）0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-2，再利用（x1-x2）2+m2=21得到（2m+1）2-4（m2-2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值【解答】解：（1）根据题意得=（2m+1）2

17、-4（m2-2）0，解得m-，所以m的最小整数值为-2；（2）根据题意得x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-2，（x1-x2）2+m2=21，（x1+x2）2-4x1x2+m2=21，（2m+1）2-4（m2-2）+m2=21，整理得m2+4m-12=0，解得m1=2，m2=-6，m-，m的值为2【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时， 也考查了根的判别式触雷警示应用根与系数关系的前提研究一元二次方程根与系数的关系的前提：（1）二次项系数a0；（2）判别式0。利用一元二次方程根与系数的关系求方程中所含字母的值或范围时，必须考虑这

18、两个条件。跟踪训练8（2018随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值考点五：一元二次方程的应用例8 （2018遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系销售量y（千克）34.83229.628售价x（元/千克）22.62425.226（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量（2）如果某天销售这种水果获利150元，

19、那么该天水果的售价为多少元？【思路分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润=每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，解得：，y与x之间的函数关系式为y=-2x+80当x=23.5时，y=-2x+80=33答：当天该水果的销售量为33千克（2）根据题意得：（x-20）（-2x+80）=150，解得：x1=35，x2=2520x32，x=25答：如果某天销售这种水果获

20、利150元，那么该天水果的售价为25元【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程思维升华列一元二次方程解决实际问题的关键是找出“等量关系”，在得到方程的解之后，要记得检验它是否符合实际意义。跟踪训练9（2018德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单

21、位：万元）成一次函数关系（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？感悟中考分析课程标准和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，题型覆盖选择题、填空题和解答题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年中考试题中，根的判别式和根与系数的关系仍会作为重点进行考查。真题达标演练一、选择题1（2018盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）A-2 B2 C-4 D42（2018临沂）一元二次方程y2-y

22、-=0配方后可化为（）A（y+）2=1 B（y-）2=1 C（y+）2= D（y-）2=3（2018泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（）A无实数根 B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于3 D有两个正根，且有一根大于34（2018铜仁市）关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为（）Ax1=-1，x2=3 Bx1=1，x2=-3 Cx1=1，x2=3 Dx1=-1，x2=-35（2018娄底）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+k=0的根的情况是（）A有两不相等实数根 B有两相等实数根C无实数根 D不能确定6（2018湘潭）若一元二次方程x2-2x+m=0

23、有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）Am1 Bm1 Cm1 Dm17（2018包头）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A6 B5 C4 D38 （2018遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为（）A4 B-4 C3 D-39（2018眉山）若，是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则的值是（）A B- C- D 10（2018潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2若，则m的

24、值是（）A2 B-1 C2或-1 D不存在11（2018眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A8% B9% C10% D11%二、填空题12（2018扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为 13（2018黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为 14（2018怀化）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等

25、的实数根，则m的值是 15（2018巴中）对于任意实数a、b，定义：ab=a2+ab+b2若方程（x2）-5=0的两根记为m、n，则m2+n2= 16（2018烟台）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x22，则m的取值范围是 三、解答题17（2018兰州）解方程：3x2-2x-2=018（2018梧州）解方程：2x2-4x-30=019（2018成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围20（2018玉林）已知关于x的一元二次方程：x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值

26、范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程21（2018十堰）已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值22（2018绥化）已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根（1）求m的取值范围；（2）当m=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径23（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍（1）按

27、计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值24（2018东营）关于x

28、的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长详细参考答案把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2019年中考备战数学专题复习精品资料第二章 方程与不等式 第八讲 一元二次方程及应用 核心知识回顾知识点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程：只含有 1 个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的 整式 方程，叫做一元二次方程。2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为，其中二次项是 ax2 ，一次项是 bx ， c 是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数3一元二次方程的解（根）：使方程左右两边 相等 的未知数的值，就是一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。知识点二、一元二次方程的解法1一元二次方程有如下四种解法：直接开平方法形如的方程，两边 开平方 ，转化为两个一元一次方程求解。配方法把一元二次方程通过 配方 化成的形式，再用 直接开平方法 求解。公式法一元二次方程满足，利用求根公式x=求解。因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 一次因式 的乘积，即可化为的形式，即可解得两根为：。2用配方法解一元二次方程的步骤：化二次项系数为 1