数学建模经典论文.docx
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数学建模经典论文
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
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年月日
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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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太阳能小屋的设计
摘要：
随着非可再生能源的枯竭和环境保护意识的增强，做为一种新兴的清洁能源，太阳能越来越受到人们的重视。
但是，太阳能电池投资成本高，且投资回收成周期长，所以，如何有效的利用太阳能，成为人们关注的焦点。
本文通过对太阳能小屋铺设方案的讨论，采用启发式的算法（参考文献[3]），对一般房屋建筑的太阳能电池板铺排问题给出一般化的求解方案，以期寻求使房屋建筑的全年太阳了个光伏电池发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能的小的最佳铺设方案（参考文献[4]、参考文献[5]）。
对于第一题综合利用启发式算法，对太阳辐射数据进行筛选、提取、积分将离散的庞大数据转化为可以利用的数据，经算法计算得在只利用铺设的情况下得到的35年的发电总量、经济效益、投资回报年限分别为：
、
、
。
问题二较问题一考虑条件多了电池板的朝向与倾角对光伏电池的工作效率的影响，于是本题着重考虑太阳方位角与高度角的数据处理，对大量数据处理得到了太阳方位角与高度角的全年离散数据，分析对原问题结果的影响，得到优化后模型35年的产电量、经济效益、投资回报年限分别为：
、
、
。
问题三基于问题一、二的研究，根据树冠形状的生态原理设计出了圆柱曲面形，顶面倾斜度接近太阳高度角，即接近最适倾角，此时屋顶的太阳能接受能力也尽可能大。
关键词：
启发式算法、太阳能电池板、规则树树冠形状的生态原理
一、问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
附件1-7提供了相关信息。
请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。
在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。
应注意分组连接方式及逆变器的选配。
问题1：
请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设（见附件3），并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：
电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：
根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二、问题分析
该问题属于平面铺设优化问题：
在形状一定的有限面积的平面上铺设形状不一的矩形平面的光伏电池。
给定24种型号的电池，分3种类型，各种电池可选的数量没有严格限制。
考虑电池成本，串并联限制，逆变器选择等，回收效益等因素选择较合理的电池组件安装方式。
因为这三问都要设计光伏电池的安装问题，所以三问应遵循的共性原则有为：
光伏电池的铺设应使太阳能光伏发电量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。
为此应考虑以下条件及原则：
（1）将小屋的墙面及屋顶尽量安装满光伏电池，达到面积利用率尽可能大
（2）考虑到光伏电池的成本，应尽量避免出现光伏电池的重叠安装面积（3）考虑各面上接受的太阳辐射强度，对各面的安装选择合理的电池类型（4）根据各个面的形状特点联系，联系电池的形状对排列做初步估计，即可对电池的选取类型及数量做初步实际估计。
对电池的三种类型的分析:
A单晶硅电池组件:
转化效率相对较高，面积相对较大，成本相对最高，电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m2，辐照强度低于200W/㎡时A单晶硅电池组件转换效率小于转换效率的5%。
B多晶硅电池：
转化效率相对较高，面积相对较大，成本相对较高，电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m2。
C薄膜电池:
转化效率相对较低，面积相对较较小，成本相对最低，电池启动发电的表面总辐射量≥30W/m2。
采用启发式算法解决电池铺设方案问题。
三、模型假设
（1）并联时两端电压不超过10%，为保证正常工作，作假定不超过最小电压的10%
（2）逆变器空间忽略不计。
（3）不考虑光线入射角
（4）将屋顶的北倾斜面并入北立面，原因为：
此倾斜面向北倾斜接近60度，坡度较陡，光能利用率较差，与北墙的光能吸收情况相似。
（5）屋顶面的太阳光辐射强度忽略水平面散射辐射强度、屋顶面倾角，采用水平面总辐射强度代替屋顶每平米的太阳光辐射强度。
四、定义与符号说明
：
总效益
：
电价（0.5元/kw.h）
：
房屋各个面的产电量
：
房屋各个面的成本（i=1,234分别代表东南西和顶面）
逆变器的总成本（常数）
每种电池的使用个数（
=1,2,…24）
：
每种电池的转换效率（
=1,2,…24）
：
每种电池的工作面积（
=1,2,…24）
t:
太阳辐射时间（单位：
小时）
t1:
35年的前10年
t2:
35年的中间15年
t3：
35年的后10年
：
每种电池的单价（
=1,2,…24）
，
，
，
：
分别表示：
东立面的产总电量，南立面的产电总量，西立面的产电总量，顶面的产电总量。
：
0—10年的产电量
：
10—25的产电量
：
25年以后的产电量
：
东、南、西、顶面四面，0—10——25年的产电总量
，
，
，
：
分别表示东、南、西、顶面25年以后的产电量
：
25年以后各个面的产电总量
：
每个墙面的总面积（j=1,2,3,4，分别代表东、南、西、顶面）
：
约束电池的使用个数
：
投资回收年限
：
水平面上直接辐射量
：
水平散射辐射量
：
为倾斜面与水平面上直接辐射量之比
：
为大气层外水平面上太阳辐射量;
：
倾角.
：
当地维度
：
水平面上日出时角
五、模型的建立与求解
问题1的模型
问题1的要求是：
请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设（见附件3），并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
要想求得总效益，先求解各个面的效益，即求解每个面的产电量及成本（见附件1）。
采用将小屋各面及顶面（即分东立面、西立面、南立面、北立面、屋顶）分开来考虑铺设的方式进行采用启发式算法求得小屋的铺设方案。
因为光伏电池组件启动发电时其表面所应接受到的最低辐射量限值，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m2、薄膜电池表面总辐射量≥30W/m2，且光伏电池组件的转化效率也受太阳光辐照阀值的影响，主要表现为：
辐照强度低于200W/㎡时A单晶硅电池组件转换效率小于转换效率的5%。
所以首先需对小屋各面太阳光辐射强度做一定数据分析处理得结果见表一:
表一：
辐射强度统计
水平面总辐射强度
东向总辐射强度
南向总辐射强度
西向总辐射强度
北向总辐射强度
一年内≧30W/m2的小时数
3979
3241
3799
3713
3088
一年内≧80W/m2的小时数
3561
2133
3142
2235
899
一年内≧200W/m2的小时数
2773
1168
2124
1470
171
一年80W/m2﹣200W/m2的小时数
789
957
1019
766
729
对东立面求解分析,步骤如下:
对电池类型选择做初步选择。
由上表可知一年太阳光辐射强度内介于80W/m2﹣200W/m2的小时数为957小时，这957小时内A单晶硅电池组件的转化效率转换效率小于转换效率的5%，则发电量会微乎其微，东立面一年内太阳光辐射强度≧80W/m2的小时数为2133小时，故对此面的电池选择以B多晶硅电池为主，C薄膜电池为辅，A单晶硅电池组件尽量不考虑。
（2）根据程序的的初步判断得结果为：
[A2,B1,B2,B3,B5,B6,B7]=[1,1,1,4,1,1,7]。
（3）根据电池组件发电的效益最大化目标及墙面、电池面积大小，形状的约束及电池的转化率进一步初步确定电池型号及数量，去除一些不能实现连接或不优越的电池，即选用电池组件8个B7和4个B3（3）根据电池组件的串并联连接分组阵列的输出电压和总功率选配相应工作电压和功率的逆变器，为SN13，同时进一步确定电池型号及数量，再根据逆变器的参数调整设计电池组件分组阵列串并联的方式以满足相应的输出电压和总功率。
（4）确定电池组件进行连接方式为：
4个B7与2个B3进行串联再并上一个这种串联。
（5）根据得出的电池型号、数量对其进行铺设，发现实际会剩余一定量的空隙，剩余面积只得选用C薄膜电池进行补充，对薄膜电池类型、数量、连接方式的考虑及增加电池导致逆变器增加带来的成本增加的影响与之前考虑多晶硅电池多晶硅电池的原理相同，所得结果为：
10块C8,2块C7,连接方式为5个C8与1个C7串联，再并上一个这样的串联组，所选逆变器为SN7。
对西立面求解进行分析：
鉴于东西面所得光照的相似性，西立面的分析与东立面类似，其分析求解过程同东立面，所选电池型号及数量为：
8个B3,7个B7；连接方式及相应所选的逆变器为;3个B3串联，选用逆变器为SN7，4个B3与2个B7串联，5个B7与1个B3串联，再将两者并起来，选用逆变器SN11。
对南立面的分析：
南立面是向阳面。
（1）对电池类型选择做初步选择。
由上表可知一年太阳光辐射强度大于80W/m2的小时数为3142小时，东立面一年内太阳光辐射强度≧200W/m2的小时数为1168小时，一年内太阳光辐射强度在80W/m2到200W/m2的小时数为1019小时，大于200W/m2与介于80W/m2到200W/m2之间的时间比值接近1:
1，同对东立面的分析，在电池类型的选取上应该以B多晶硅电池为主，A单晶硅电池为辅。
（2）根据南立面的形状及B的形状启发式分析发现，在南立面B多晶硅仅适合铺设两块，这不能组成合适的串并联，故只能考虑A单晶硅电池为辅，C薄膜电池组件为辅。
（3）根据算法算的的结果为：
[A1,A2,A3,A4,A5,A6,C1,C2,C5,C9]=[1,1,10,1,1,1,1,1,2,1]。
（4）结果调整原则同东立面的分析，选用电池组件9个A3和10个C8和2个C10同东立面的电池数量、连接方式、逆变器选择分析相同得：
选用电池组件9个A3（由于加上C导致选用的逆变器成本太大），；连接方式为3个A3串联，再并上2个这样的串联组，逆变器为SN7。
对北立面的分析：
由于北立面约１／２的时间的到的阳光低于８０W/m2，故对北立面进行铺设时，可以考虑成本较低的C薄膜电池组件，经算法运算得，北立面选择不铺设电池组件时收益最高，即北立面上C薄膜电池组件发电所产生经济效益远低于逆变器的价格，铺设只会亏损。
对顶立面的分析：
同对其它面的研究思路一致，分析的应以A为主，B为辅，所选电池型号及数量为:
12块A3,21块A4,3块B7，连接方式及所算用的逆变器为：
3个A4串联，3个A4串联，3个B7串联，再将三个电池串并起来，选用逆变器SN7；6个A4串联，再并上一个此串联组，选用逆变器SN11；6个A3串联，再并上一个此串联组，选用逆变器SN11；3个A4串联，选用逆变器SN7。
最终所得铺设情况，包括电池的型号、数量、连接、逆变器选择见表二：
表二：
太阳能电池组件铺设方案
面
选用电池类型数量
串并联方式
相应逆变器
东
10个C8,2个C7
5个C8串1个C7在并上一个这样的电池串
SN7
西
8个B3,7个B7
3个B3串
SN7
4个B3与2个B7串，5个B7与1个B3串，再将两个电池串并起来
SN11
南
9个A3
3个A3串,再并上一个这样电池串
SN7
北
0
0
0
顶
12个A3，21个A4，3个B7
3个A4串,3个A4串，3个B7串，再将这三个电池串并起来
SN7
6个A4串，在并上一个这样的电池串
SN11
6个A3串，在并上一个这样的电池串
SN11
3个A4串
SN7
数学模型为：
（i=1234）
等价转换：
问题1的要求是
（求积分是转化为求面积，加和）
对于房屋的东南西顶面分别采用启发式算法，人工得到一组初始解，对上述方程组增加约束，以东立面为例（其他面的程序及运行结果见附件2），调用Lingo程序，求解。
求解程序：
max=0.5*52240*（0.214986176*x1+0.3225490944*x2+0.23873168*x3+0.27023568*x4+0.24494547*x5
+0.2928916356*x6+0.265057815*x7+0.3177031044*x8+0.2349290112*x9+0.24077824*x10
+0.3100682496*x11+0.294933504*x12+0.2500332*x13+0.099957*x14+0.0579505527*x15
+0.100024946*x16+0.089936*x17+0.099946*x18+0.003994815*x19+0.00401841*x20
+0.007990695*x21+0.01195356*x22+0.011993107*x23+0.050011948*x24）-（2509.3*x1
+2498.2*x2+2334.3*x3+2456.4*x4+2232.5*x5+2267.6*x6+2025.8*x7+2063.6*x8+1785.5*x9+1844.0*x10+
1803.8*x11+1900.4*x12+1873.5*x13+335.7*x14+296.4*x15+304.7*x16+280.5*x17+311.7*x18+174.5*x19+173.4*x20+
175.9*x21+176.4*x22+198.4*x23+204.9*x24）-20500;
1.2766*x1+1.9384*x2+1.2766*x3+1.6378*x4+1.6352*x5+1.9384*x6+1.6352*x7+1.9384*x8+1.4701*x9+
1.6269*x10+1.9404*x11+1.9404*x12+1.6680*x13+1.4300*x14+0.9392*x15+1.5752*x16+1.5400*x17+1.5400*x18
+0.1101*x19+0.1107*x20+0.2183*x21+0.3266*x22+0.2904*x23+1.1712*x24<=26.98;
x1<=1;x2<=1;x3<=1;x4<=1;x5<=1;x6<=0;x7<=1;x8<=1;x9<=7;x10<=10;x11<=1;x12<=1;x13<=10x14<=16;x15<=25;x16<=15;x17<=15;
x18<=15;x19<=220;x20<=218;x21<=110;x22<=74x23<=83;x24<=20;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;@gin（x7）;@gin（x8）;@gin（x9）;@gin（x10）;@gin（x11）;@gin（x12）;@gin（x13）;@gin（x14）;
@gin（x15）;@gin（x16）;@gin（x17）;@gin（x18）;@gin（x19）;@gin（x20）;@gin（x21）;@gin（x22）;@gin（x23）;@gin（x24）;
运行截图（见图一）：
图一：
东立面运行截图
对运行结果进行分析，结合东立面的面积大小和电池板的形状。
对Lingo所求得的解结合实际情况进行优化。
得到局部最优解：
选用电池组件8个B7和4个B3及9个C8。
铺排方式见图二：
图二：
东立面铺设效果图
东立面的产电量：
每种电池成本计算公式=
（元）
（求解结果见附件）。
=
=
35年发电总量：
35年总经济效益：
投资的回收年限：
问题2的模型
问题1的要求是：
综合考虑电池板的朝向与倾角对光伏电池的工作效率的影响，选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
鉴于本题中综合考虑方位角与倾角的朝向的复杂性及本次竞赛时间的紧迫性，故简化条件仅考虑调整电池板的倾角的对光伏电池的工作效率的影响，并假设电池的选取不变，则相应的逆变器也不发生变化。
因此本题只需去解由于采光面积的变化而造成影响的收益及回收年限变化。
数学模型只需在第一问中的模型中改变平面的面积为架空后的理想受光面积。
由NASA查的大气层外水平面上太阳辐射量Ho，再由公式
（1）
（2）（3）（4）计算得电池板相对于水平面的最佳倾角为：
37度。
则电池板采光面积扩大为原面积/
（见文献[1]），假设铺设不变，将面积的
等效为收益的
倍（即1.25倍）。
（1）
（2）
（3）
（4）
35年发电总量：
35年总经济效益：
投资的回收年限：
安装效果（见图三）：
图三：
问题二铺设效果图
那么接下来就可以在已解决的单因素问题的基础上加条件变化：
此处即继续考虑方位角的影响。
此处只做得对太阳辐射数据的处理并计算南、东、西面电池板由于方位角原因采取的最适偏角结果如下，求解程序见附件4。
运行结果见（图四）：
图四：
电池板最佳方位角程序运行结果图
问题3的要求是：
限定小屋使用空间大小，满足建筑采光要求设计太阳能小屋，使其铺设太阳能电池的发电效率尽可能高，成本尽可能低，并兼顾建筑成本，达到性价比较优等原则。
建筑设计朝向可以根据需要设计，允许偏离正南朝向。
仿生太阳能小屋理论来源：
图五：
规则树树冠形状的生态原理示意图
见参考文献文献[2]
树的枝叶繁茂受光照的影响，根据树冠形状的生态原理设计如下仿生太阳能小屋：
基本形成原理：
（1）设计一个半径5米，高5.4米的圆柱
（2）北半圆柱在半径中点处垂直半径切下（3）在切割处理后的剩余立体上的北面上棱斜向下20度角切割。
经这几步处理后的立体即为所设计的小屋。
且此小屋明显符合房屋大小约束。
图六：
仿生太阳能小屋的立体效果图：
图七：
仿生太阳能小屋的弧面展开图
图八：
仿生太阳能小屋的投影图
具体数据如下解释：
=
R=5m
AD=2.8m
BE=4.72m
CF=5.4
DE=3.93m
EF=6.54m
CD=
S东=
S东南=
S北=
考虑建筑采光要求至少应满足窗地比（开窗面积与房间地板面积的比值，可不分朝向）≥0.2的要求；建筑节能要求应满足窗墙比（开窗面积与所在朝向墙面积的比值）南墙≤0.50、东西墙≤0.35、北墙≤0.30，并为了减少窗户的个数，在东南、西南各建一个窗户且两个设计相同（即相当于将南窗平分为两个分别并在东、西窗上，形成了东南窗、西南窗）。
以东南窗为例，此窗属东面的的面积范围为
（取面
），属南窗的部分范围为
（
），故得东南窗为
。
位置取在南向东、西方偏45度，距地面2米，居中。
北窗面积范围为
，取窗
。
北窗的位置不妨取在北面距地面2m居中。
此小屋的电池安装分析:
因为小屋已经是向南弧面墙所以对弧面墙可采用铺设的方式，采用薄膜电池，鉴于其形状可变性可以将这类电池贴于墙面。
对于屋顶，倾角也已相对优化，也可以考虑铺设A、B两种电池。
鉴于1、2问的研究背面舍去铺设更为合理。
由于时间问题，此思路的铺设方案尚未研究成熟，还不能实施得出结果。
但此仿生太阳能小屋依然体现了它的一些的优点：
（1）顶面向南倾斜20度角，使得太阳照射屋顶时更接近垂直照射（大同太阳高度角的分布峰值约为37度），比以前的屋顶只倾斜10度更优越。
（2）南面太阳能利用率最高，此小屋将南面设计为弧面增加了受光面积
（3）东西面同样还是圆柱的弧形，这样就兼顾了方位角对东西面的光能利用的影响，增加了产电量。
（4）北面选择平行于北方的水平面，这样就减少了位于北侧的墙面积与空间体积。
因为小屋的的空间受一定限制，故减小了北侧的面积、体积就相应地有利于增加太阳能吸收率高的面。
（5）这样设计的小屋东、西、南合在一个曲面上，就可以将南窗与东、西面结合，合为东南、西南窗，减少了一个窗的个数，在安装电池组件时就可以使得面积利用率增加。
（6）根据圆形面积最大原理，小屋采用弧面设计能有效的节约建造成本。
六、对模型的评价
本文建立模型的优缺点在于：
（1）对本平面铺设优化问题：
在形状一定的有限面积的平面上铺设形状不一的矩形平面的光伏电池，采用了启发式算法。
这样的算法就可以减少由于底面矩形有“洞”带来的不能完全将选定原件安装在可放范围的太多复杂情况，简单原理解释：
即优先考虑底面即原件的长、宽，再优先考虑面积大小，在综合考虑串并联的情况然后决定方案，就大大减小了约束的范围。
（2）由于本题的全局最优解很难得到，采用启发式算法从局部最优开始去优化得到全局较
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