定积分讲座.docx

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定积分讲座

第五章　定积分

第一节定积分的概念

一、实例

1　曲边梯形的面积

设是区间上的非负连续函数，由直线，，及曲线所围成的图形（如图5.1），称为曲边梯形，曲线称为曲边．现在求其面积.

图1

由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的面积公式去计算．但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，当区间很小时，高的变化也很小，近似不变．因此，如果把区间分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高．那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值．如果将区间无限细分下去．即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体做法如下：

第一步：

分割.在区间内任意插入个分点：

，令，，

使

，

称为区间的一个分法，表为，此分法将区间分成个小区间：

，，…，，…，

它们的长度依次是

，，…，，…，

其中最大的小区间长度记作，过各个分点作垂直于轴的直线，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形（如图1），设第个小曲边梯形的面积记为，则曲边梯形的面积为．

第二步：

近似代替.在每个小区间上任意取一点，用为高，为底的小矩形面积近似替代小曲边梯形的面积值，即

．

第三步：

求和.将个小矩形的面积相加，得和式，就得到整个曲边梯形面积的近似值：

．

第四步：

取极限.当无限增大，且小区间长度的最大值时，上述和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值，即

．

2　变速直线运动的路程

物体作匀速直线运动时，在时间之内所经过的路程等于它的速度与时间的乘积，这里速度为常数.而当物体作变速直线运动时，速度是时间的函数，速度是在不断变化的.因此，我们可以用类似于求曲边体的面积的方法来计算路程.

第一步：

分割.

用将分为个小的时间区间：

，，其中最大的小区间长度记作.

第二步：

近似代替

在每一个时间间隔上任取一点，用点的速度近似代替物体在小区间上的速度.用乘积近似替代物体在小区间上所经过的路程.即

第三步：

求和

将每一个时间间隔内所走的路程相加，得到在时间段内所走过的路程的近似值

.

第四步：

取极限

当分点个数无限增大，且时，上述和式的极限便是物体在时间间隔上所经过路程的精确值，即.

上面两个例子的实际背景完全不同，但处理问题的方法完全一样.概括起来就是：

分割、近似求和、取极限．这就是定积分的思想基础.

二、定积分

设函数在区间上有定义.在区间内任意插入个分点：

，令，，使

，

此分法将区间分成个小区间：

，

此分法表为，分法将其分成个小区间，

第个小区间

的长度记为，令

；在每个小区间上

任意取一点，作乘积之和，

为，称为

函数在区间的积分和，亦称黎曼和；显然，

函数在区间的积分和

于分法有关，也与一组

（，）取法有关．

定义设函数在区间上有定义.任给一个分法和一组，有积分和，若当时，积分和存在极限，设

设数与分法无关，也与在的取法无关，则称函数在区间上可积，极限值称为函数在上的定积分，也称黎曼积分，记作，

即

．

其中称为被积函数，称为积分变量，称为被积表达式，与分别称为积分下限和积分上限，称为积分区间，符号读作函数从到的定积分.

若当时，积分和不存在极限，则称在区间上不可积.

关于定积分的几点说明：

（1）定积分是一种和式的极限，它是一个数值.它的值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所用的表示符号无关．即

．

（2）若函数在上可积，则在上一定是有界的.

（3）规定，特别地，．　　

三、定积分的几何意义

（1）若在上，则由曲边梯形的面积问题知，定积分等于以为曲边的上的曲边梯形的面积，即

．

由此可知图2中阴影部分的面积可分别为

，　．

图6.2

（2）若在上，因，从而，．此时的绝对值与由直线，，及曲线所围成的曲边梯形的面积相等（见图3），即

．

（3）若在上有正有负，则等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积．例如对图4有

．

图3图4

四、定积分的性质

在下面的讨论中，假定函数在所讨论的区间上都是可积的.

性质1被积函数的常数因子可以提到积分号前.即

（为常数）．

性质2函数的和（差）的定积分等于他们定积分的和（差），即

．

性质2可以推广到有限个函数的代数和的情况．

性质3（积分区间的可加性）对于任意三个数，恒有

．

性质4在上,如果，则有．

推论在上,如果，则有．

性质5若在上可积，则在上也可积，且有.

性质6（估值定理）设，是函数在区间上的最大值与最小值，则

　．

证因为，由性质4，得

，

所以　　．

性质7（积分中值定理）设函数在上连续，则在上至少存在一点使得

．

证因为在上连续，所以在上一

定有最小值和最大值，由

估值定理，　，

即　　　．

因为函数在上连续，由连续函数的介值定理得，上至少存在一点，使得

成立，

所以

．

图5

积分中值定理的几何意义：

连续曲线在上曲边梯形的面积等于以区间长度为底，中一点的函数值为高的矩形面积.

上式的推导是假定的情况下导出的，当时，上式仍成立.

例1比较下列各对积分值的大小：

（1）与；

（2）与．

（1）解因为在内，因此有

．

（2）解令在区间上有

，

所以函数在区间上递增，于是

得

所以

例2估计定积分的值.

解用性质6来估计，先求在上的最大值和最小值.因为

，令，得驻点.

比较函数在驻点及区间端点的函数值

从而得于是

第二节定积分的计算

一、利用定义计算定积分

例1利用定义计算定积分．

解因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数是可积的，所以定积分与区间的分法及点的取法无关．因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为．这样每个小区间的长度．取，于是得和式

，

当，即时，由定积分的定义即得所要计算的定积分值为

．

二、牛顿——莱布尼兹公式

1.积分上限函数

如果函数在区间可积，则，函数在区间也可积，将积分变量换成积分变量，

，有.

显然，，都对应唯一一个定积分（数），根据函数定义，它是定义在区间的函数，表为，即

.

称为积分上限函数.

从几何上看，如果，有，对上任意，积分上限函数表示区间上曲边梯形的面积（图中阴影部分）．

图6

定理1如果函数在区间上连续，则在上可导，且

.

证，设自变量有改变量，使得，则有

．

由定积分中值定理有

，（介于与之间），

所以，，

由于时，，.已知函数在上连续，因此有

由此可见，尽管定积分与不定积分的概念是完全不同的，但二者之间存在着密切联系.

2.牛顿——莱布尼兹公式

已知用积分上限函数能够表示连续函数的原函数．反之，又可应用原函数求定积分．

定理2若函数在上连续，且是的一个原函数，则

．　　　

（1）

证因为是的一个原函数，由微分学基本定理又知也是的一个原函数，所以

令得，代入上式得

再令，并把积分变量换成，便得到

通常把记为或，于是牛顿－莱布尼茨公式可写成

（1）式称为定积分的基本公式，亦称牛顿－莱布尼兹公式．这个公式进一步揭示了定积分和不定积分之间的关系.有了牛顿-莱布尼兹公式，求连续函数的定积分问题就转化为求被积函数的原函数问题.

例2　计算.

解　

例3计算.

解　

例4设求．

解

．

3.定积分的分部积分法

设函数，在上具有连续导数，则

　，

　，

即　　　　　．

（2）

或　　　　　．　　（3）

（2）式或（3）式称为定积分的分部积分公式．

例5求．

解

．

4.定积分的换元积分法

定理3若函数在区间连续,且函数在上有连续导数,且当时有，则

．　　　（4）

证假设是的一个原函数，则

，即

，

于是　

．

（4）式称为定积分的换元积分公式.

注：

1.　作变换，要求从变到，从到单值变化，并且在区间上有连续导数．

　　2.不定积分换元，最终结果必须还原成原来的变量．定积分换元，其积分上、下限必须同时作相应改变，因为积分区间是积分变量的变化范围，换元后，新的积分变量与原积分变量的变化范围一般不相同，所以积分区间必须随新积分变量作相应改变．定积分换元，在求出原函数后，不用再进行变量还原，直接把改变后的积分上、下限代入相减即可．

例6求．

解设，则．当，于是

．

例7设在上连续，证明

（1）如果是上的偶函数，则　　　　　　　　　　　　；

（2）如果是上的奇函数，则

　　　　　．

证因为，对积分作变量代换，则

．

于是　　．

（1）当为偶函数时，即，则，所以

　　　　．

（2）当为奇函数，即，则，所以　

　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　

由例7可知：

关于原点对称的区间上的奇函数或偶函数的定积分计算可以化，如

，注：

应用定积分的换元积分法时，可以不引进新变量而利用“凑微分”法积分，这时积分上、下限就不需要改变．

例8求.

解

.

第三节广义积分

一、无界区间上的广义积分

1；

2；

3.

二、无界函数的广义积分（瑕积分）

一、瑕点：

如果函数在点的任意邻域内无界，称点是函数的瑕点.比如说，的瑕点是，的瑕点是与.

二、瑕积分：

如果区间上点是函数的瑕点，且函数在去掉包含点的任意小区间外都可积，称为函数的瑕积分.

1如果区间的右端点是瑕点，而极限存在（或不存在），称瑕积分收敛（或发散），其极限称为函数在区间的积分，且；

2如果区间的左端点是瑕点，而极限存在（或不存在），称瑕积分收敛（或发散），其极限称为函数在区间的积分，且；

3如果瑕点，而两个瑕积分（也可能只有一个是瑕积分）都收敛（或至少由一个发散），称瑕积分收敛（或发散）且

.

第四节定积分的应用

微元法

应用定积分计算实际问题，首先根据问题的实际意义作出积分和，然后再取极限，从而就将实际问题抽象为定积分.但是，将作积分和与取极限两步截然分开的作法比较麻烦.在实际应用中将作积分与取极限两步合并为一步，即“微元法”简便易行.

定积分是分布在区间上的整体量，因为整体是由局部组成的，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手.这里所说的“局部”不是区间分法的小区间，而是小区间在极限过程中缩小为一“点”了.但是，我们看待这个“点”仍具有小区间的意义，例如，它的“长”是.具体作法是，首先将区间上的整体量化为区间上每一点的微分，亦称微元，这是“化整为零”；然后对区间上每一点的微元无限累加——“连续作和”，这是“积零为整”，就得到了欲求的积分.具体过程是：

1曲边梯形的面积求区间上的连续曲线

，轴，直线与所围成曲边梯形的面积.首先求曲边梯形的面积微元.在上任取一点，在点上的面积微元就是高为，宽为的矩形面积，即

（矩形面积=高宽）

再将每一点的面积微元从到连续累加起来，即由到的定积分，就得到所求的曲边梯形的面积

.

2物体运动的路程已知物体沿直线运动，在时刻

的速度是，求从时刻到时刻物体运动的路程.首先求物体运动路程的路程微元.在时间间隔上任取一个时刻，物体在时刻的运动速度是，“运动时间”是微元，在时间物体运动的路程微元

（路程=速度时间）

再将每个时刻的路程微元从时刻到时刻连续累加起来，即由到的定积分，就得到所求的物体运动的路程

.

3变力作的功已知变力（方向不变）沿力的