r/V.5）
Si
1350
480
GaAs
8500
400
Ge
3900
1900
电子迁移率和空穴迁移率都与温度和掺杂浓度有关。
表4.1给出了T=300K时低掺杂浓度下的一些典型迁移率值。
总的漂移电流是电子的漂移电流与空穴的漂移电流的和：
即
丿时=e（“/+“pP）E（4.9）
例题：
给定电场强度时，计算半导体中产生的漂移电流密度。
考虑硅半导体在T=300/r,掺杂浓度Nd=10"c〃^，M=0。
假定电子与空穴
的迁移率由表4.1给出，计算给定电场强度E=35V/dM产生的漂移电流密度。
解：
由于Nd>N”所以是N型半导体。
假定室温下杂质完全电离，
因此电子浓度：
nq耳=10”c〃厂彳，
、n2（1.5xlOlo）~
空穴浓度卩=丄=厂丄=2.25xlO4c/zr3
h1016
由于n»/7,所以漂移电流为
Jdrf=e（npn+=（1.6x10-,9）（10,6）（1350）（35）=15.6A/cm2
=756mA/mm2
这个例子说明，漂移电流密度是由多数载流子产生的；很小的电场就会产生较犬的漂移电流密度；也意味着产生毫安级的电流占用较小的器件面积。
练习题：
1.T=300K时，硅的掺杂浓度为^rf=10,4cw-3,^=1015c/?
r\电子与空穴的迁移率见表4.1。
若外加电场为E=35Vcm~l,求漂移电流密度°（6.8Ac〃厂'）
2.T=300CTJ,某P型半导体器件的外加电场E=20Vcnr\求漂移电流密度为仏=120加〃严时的杂质浓度o（P0=^=7.81x1016c/h-3）
注意：
上面提到的电子迁移率和空穴迁移率都是指多子迁移率。
4.2迁移率
载流子迁移率反映的是载流子的平均漂移速度与施加电场的关系，定义为“=半。
E
对空穴而言%=吋。
空穴的加速度与电场力的关系
F=eE=ma=加；—=加；""dt"
。
表示载流子在电场作用下沿电场方向的平均速度；「表示两次碰撞的时间间隔。
根据上式得u二*E,所以载流子迁移率
A=—（4.H）
叫
如果将上式的f用空穴的平均碰撞时间％代替，则空穴的迁移率
为
同理，电子的迁移率为
（4.13）
其中唁表示电子受到碰撞的平均时间间隔。
晶体中影响载流子迁移率大小的主要因素是两种散射机制：
即晶格散射（声子散射）与电离杂质散射。
固体的理想周期性势场允许电子在整个晶体中自由运动，不会对电子产生散射。
当温度升高时，半导体晶体中的原子具有一定的热能，在其晶格位置附近做无规则的振动，晶格振动破坏了理想周期势场，导致载流子电子、空穴与振动的晶格原子发生相互作用。
这就是所谓的晶格散射机制。
因为晶格散射与原子的热运动有关，所以出现散射的几率一定是温度的函数。
如呆定义血代表存在晶格散射的迁移率，根据散射理论，在一阶近似的情况下有炖="加（4.13）
当温度下降时，晶格原子的热振动减弱，受到晶格散射的几率降低，使迁移率增大。
在高温下，轻掺杂半导体中晶格散射是迁移率降低的主要机制。
另一种影响载流子迁移率的机制称谓电离杂质散射。
掺入半导体的杂质原子可以控制或改变半导体的特性。
室温下杂质已完全电离，电子和空穴与电离杂质之间存在库仑作用，库仑作用引起的散射也会改变载流子的速度特性。
如呆定义M表示只有电离杂质散射存在的迁移率，则在一阶近似下有
7*3/2
=oc—（414）
其中N严+表示半导体总电离杂质浓度。
温度升高，载流子的随机运动速度增加，减小了位于电离杂质散射中心附近的时间，这相当于库仑作用时间短，受到散射的影响就小，电离散射迁移率"就大；如果电离杂质散射中心数量M增加，那么载流子与电离杂质散射中心碰撞或散射几率相应增加，电离散射迁移率旳就小。
低温或常温下，半导体中电离杂质散射是迁移率降低的主要机制。
如果6表示晶格散射的平均时间间隔，那么刃心就表示在dt时间内受到晶格散射的几率。
同理，如呆巧表示电离杂质散射的平均时间间隔，那么dt/T,就表示在力时间内受到电离杂质散射的几率。
若同时存在两种散射机制且两种散射机制相互独立，则在dt时间内受到的散射的几率为两者之和
其中&为任意两次散射的平均时间间隔。
根据迁移率的定义
（4.12）或（4.13）式，上式可以写成
111—=1
“Pl
（4-16）
其中M代表仅有电离杂质散射时的迁移率；血代表仅有晶格原子散射时的迁移率；“代表总的迁移率。
4.3电导率
4.2节的（4.9）式给出了漂移电流密度的表达式，可以写成：
J血+=（4.17）
其中"代表半导体材料的电导率，单位是电导率是载流子浓度及迁移率的函数。
而迁移率又是掺杂浓度的函数（N严+（主要指电离杂质散射迁移率）。
因此，电导率是掺杂浓度的复杂函数。
电导率的倒数是电阻率。
记为p,单位是6协。
Q=£=―1?
（418）
图5.5表示条形半导体材料电阻，电阻条的长度为厶，
高度为耳，宽度为W,则电阻条的截面积为at%.。
如果在条形
半导体材料的两端施加电压y,产生流过电阻的电流为/。
我们
有电流密度
加在半导体电阻上的电场
式（4.1%）是半导体中的欧姆定律。
其中
-彳是方块电阻，它是电阻率与结深的比值。
所以电阻既是电阻率的函数又是半导体几何形状和图形尺寸的函数。
考虑具有受主掺杂浓度为M（R=0）的P型半导体，由于Na»n,,假定电子与空穴的迁移率为同一数量级，则电导率为b=&P）宀呱］）（4.21）
假定杂质完全电离上式可改写为
非本征半导体的电导率或电阻率的大小由多数载流子浓度决定。
这验证了漂移电流密度由多数载流子贡献的结论。
载流子迁移率的值应根据掺杂浓度和对应的温度下的实际测量曲线求
得。
既然载流子迁移率的大小跟温度有关，那么非本征半导体的电导率或电阻率也与温度有关，其半导体材料制成的电阻器也是温度的函数。
对本征半导体而言，电导率为
6（4.23）
一般来说，电子和空穴的迁移率并不相等，所以本征半导体的电导率中含有电子迁移率和空穴迁移率两个参数。
4.4载流子速度饱和
在前面的讨论中，我们假设了迁移率不受电场影响，也就是说，漂移速度与电场的比值“=土保持不变。
这种假设只有在弱
E
电场情况下才有效。
在强电场的情况下，载流子的漂移速度严重偏离了弱电场区线性关系。
例如，硅中的电子漂移速度在外加电场为3kVcm~｝速度达到饱和，饱和速度为lO7^-1o如果载流子的漂移速度达到饱和，那么漂移电流密度也会达到饱和，不再随外加电场变化。
载流子迁移率饱和的机理是强电场下引起的载流子有效质量变大的缘故。
cm
（饱和迁移率“迦=3r=3.3x102加2/U.S,这是体饱和内
3x10Vcm
迁移率的值，并不是表面饱和迁移率的值。
以后会看到表面迁移率要远小于“⑷。
主要原因是半导体的表面有较多的缺陷。
）
另外一个结论是外加电场不会显著改变电子的随机热运动速度。
外加电场后，在不考虑其它因素的情况下（这里指其后讨论的载流子扩散），半导体内存在两种运动，一种是电子的随机热运动；另一种是载流子在电场作用下沿电场方向的漂移运动。
T=300K时，电子随机热运动的能量为：
133
一叫/=二灯=二（°・°259）=0・03858刃（4.24）
222
电子的随机热运动速度为
133
一叫u：
=-kT=-（0.0259）=0.03858^V
222
uth=^2.0.03858x1.6xIO-19/（9.11xIO-31）=1.164xl07cms~x（4.25）
假设低掺杂硅的电子迁移率为=1350c/n2/V.5,外加电场为E=75V/cm,则漂移速度％=/<£=1350x75=1.0125x105cmo漂移速度只是随机热运动速度的1%,可见，外加电场不会显著改变载流子的随机热运动速度。
但载流子的随机热运动对电流的贡献可以忽略。
4.4载流子扩散电流密度
载流子除了漂移外，还有另外一种输运机制可以在半导体内形成电流。
载流子由高浓度流向低浓度的过程称谓载流子的扩散。
扩散电荷的净流动形成扩散电流。
载流子扩散的经典模型如图5.9所示。
一个容器被薄膜分割成两部分，左侧为某一温度的气体分子，右侧为真空，左侧的气体分子做无规则的热运动，当薄膜破裂后，气体分子就会以扩散的方式进入右侧腔体。
x=0
图5.9被薄膜分割的容器，左侧充满了气体分子
我们简单地讨论半导体中载流子的扩散过程，假设电子浓度是一维变化的，如图5.1（）所示。
设温度处处相等，则电子的平均热运动速度与位置坐标X无关（这种假设意味着温度梯度对电流的影响可以忽略）。
为了计算由于载流子浓度梯度产生的扩散电流，首先计算单位时间内通过人=0处单位面积的净电子流。
若电子的平均自由程即电子在两次碰撞之间走过的平均距离为kh
那么，x=-l处向右运动的电子和％=八句左运动的电子在％时间内都将通过X=O的截面。
在任意时刻，x=-/处有一半的电子向右流动，X=/处有一半的电子向左流动。
在X=O处，沿尤正方向的净电子流为F”，单位是C〃宀S
吒=*恥（-/）-*%（+/）=£uih[«（-/）-n（+l）]（4.26）
将电子浓度在x=0处泰勒级数展开并保留前两项有
（4.27）
整理得
电子电荷为（-£）,所以电流密度为
定义电子的扩散系数Dn=u,hl=v；hTcn,单位是c〃几"，则对一维情况下，电子的扩散电流密度为
J『D比（4.30）
由于扩散系数是正值，所以电子的扩散电流密度方向与浓度梯度相同，即电子的扩散电流密度方向指向电子浓度高的方向。
同理,可以写出空穴的扩散电流密度为
Jp,dif=~eDti（4-31）
空穴的扩散电流密度方向与浓度梯度相反，即空穴的扩散电流密度方向指向空穴浓度低的方向O
图5.11显示了这种效果。
图5」］.CZI浓庫梯度产生的电刊散.&|浓度梯度产生的空穴扩散
4.5半导体中总电流密度
到目前为止，我们已经讨论了半导体中产生的四种相互独立
的电流，它们分别是电子的漂移电流和扩散电流；空穴的漂移电
流和扩散电流。
总电流是四者之和。
对一维的情况下：
J=（叫+ep“”）E*+e（D葺_D葺）
扩展到三维的情况：
（4.32）
j=3人+印
（4.33）
载流子迁移率是描述半导体中电子和空穴在电场力作用下的运动情况；载流子的扩散系是数描述半导体中电子和空穴在载流子浓度梯度作用下的运动情况。
载流子的漂移与载流子的扩散并不是相互独立的，即载流子迁移率与扩散系数是相互关联的。
下一节将会讨论它们之间的关系。
另外，多数情况（即半导体在某些特定的条件）下，半导体中的总电流所包含的四项，我们只需考虑其中一项。
4.5非均匀掺杂半导体（有杂质梯度分布）的爱因斯坦关系
到目前为止，我们讨论的半导体材料多数是假定具有均匀掺杂。
但咼，半导体器件中大都存在非均匀掺杂区。
正因为如此，有必要分析非均匀掺杂半导体达到热平衡状态的过程，以及推导出达到热平衡状态后的爱因斯坦关系，即迁移率和扩散系数的关
4.5.1感生电场
考虑一块非均匀掺杂的N型半导体。
如果半导体处于热平
衡状态，那么整个半导体中的费米能级是恒定值（费米能级值不
随杂质浓度梯度改变）。
能带图如5.12所示（该图实际描述的是本征费米能级与位置坐标％成线性关系）。
假定掺杂浓度随x增加而减小，即也＜0,多数载流子电子从高浓度区向低浓度区沿兀方dx
向扩散。
带负电的电子流走后剩下带正电的施主杂质离子，分离
的正、负电荷产生一个沿兀方向的电场瓦，产生的感应电场会阻止电子的进一步扩散，最终达到平衡。
达到平衡时，某点的电子浓度并不等于该点的施主掺杂浓度。
多数情况下，扩散过程感生的空间电荷数量只占杂质浓度的很小部分，参与扩散的载流子浓
ffls.12非均匀施主掺杂半导体的热平衡状态能帝国
定义：
电子的电势差等于电子势能（费米能级与本征费米能级差值的负值）除以电子电量（-0）,即
^n=-（EF-EFi）（4.34）
e
一维情况下，感生电场的定义：
（由泊松方程可知
d'0（x）__Q（牙）_〃^（兀））
dx2£sdx
（435）
E—〃血
1dxedx
假定费米能级跟兀成线性关系，则感生电场为常量。
如果处于热平衡状态的半导体中的本征费米能级随距离变化，那么半导体内存在一个电场，电场方向指向费米能级增高的方向。
假设半导体内满足准中性条件（掺杂浓度远高于本征载流子浓度，且完全电离），即电子浓度与施主杂质浓度基本相等，则有
所以
Ef一Eh=kTIn（4.37）
＜叫/
热平衡时，费米能级d为恒定值，上式对距离求导
（4.38）
dEFi_kTdNd（x）dx心（a）dx
将上式带入（4.35）式
比较（4.35）和（4.39）两式可以求出本征费米能级与杂质分布
的函数关系。
本征费米能级随施主掺杂浓度的降低而升高,本征费米能级与费米能级的位置随掺杂浓度的降低相互靠近，这意味着电子浓度随施主掺杂浓度降低而减小。
习题：
半导体中施主杂质浓度由Nd=IO5exp一；给出，其中x10,厶=10匕〃花I厶丿
=0,0259x^=25^/..
考虑非均匀掺杂的半导体，其能带图如5.12所示。
假定无外加电场影响，半导体处于热平衡状态，电子电流和空穴电流都为零。
可写为
如果准中性条件有效，则有,7=/Vf/（x）,带入上式得
（442）
0=eNd（a-）/7kEv+eDn~'-
kT1dNd（x）—^（x）dx
将方程的两边同乘以知
（4.42）
所以根据式（4.42）可知
Dn=—Z<,=乂厲（4.43）
同理，可以求出空穴的扩散系数与空穴迁移率之间的关系
kT
D产一人“叫（4.44）
e
（4.43）与（4.44）两式相除
这就是著名的爱因斯坦关系。
这个关系式表明扩散系数与迁移率是相互关联的，并不是相互独立的。
扩散系数与迁移率的比值等于热电压。
表5.2列出JT=300/C时,Si.Ge.GaA$的扩散系数。
表5.2T=300K时,（“=cm1/V.sD=cm2/”的典型迁移率和扩散系数
再
D“
"p
Si
1350
35
480
12.4
GaAs
8500
220
400
10.4
Ge
3900
101
1900
49.2
重要概念:
电导率一它是关于载流子漂移的材料参数；可表示为载流子的漂移电流密度与所加电场强度之比：
=OEe
扩散一离子从高浓度区向低浓度区运动的过程。
扩散系数一离子在两次碰撞之间的平均速度与平均自由程的乘
积D"==（9加咕）U伽=U!
iiitTcn
扩散电流一由于杂质浓度梯度作用产生的载流子扩散而形成的电流Je-diffusion=ClDn忑，Jp-dijfusion=-ClDp卡。
漂移电流一载流子在电场的作用下作漂移运动而形成的电流。
Je-dnft=救店小阿=护“/£
漂移速度一弱电场中载流子沿电场方向的平均漂移速度。
爱因斯坦关系一载流子的扩散系数与其迁移率比值为一常数
电离杂质散射一载流子与电离的杂质原子之间的相互作用。
晶格散射一载流子与热振动的晶格原子的相互作用。
迁移率一电场强度与载流子漂移速度的比值〃=匕字。
E
电阻率一电导率的倒数，计算电阻的材料参数0=夕。
饱和速度一强电场时，载流子漂移速度的饱和值。
思考题：
1•写出半导体中载流子总电流密度的表达式？
2•载流子的漂移电流密度是由外加电场引起的，是不是可以将载流子的扩散电流密度归结为是由内电场引起的？
为什么？
3.论述载流子迁移率大小为什么与温度和掺杂浓度有关？
4•是什么原因引起的载流子速度饱和？
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